(#2) - 20 luglio 2010, 14:30-16:30, aula U9-07

(1) [4u] Sia $f\from \RR ^2 \to \RR ^2$ la mappa definita da $f(x,y) = (x+y,xy)$, dove $\RR ^2$ ha la topologia della metrica euclidea.

  1. Dimostrare che $f$ è continua.

  2. Per quali valori di $\vw \in \RR ^2$ la controimmagine $f^{-1}(\vw )$ è un sottospazio compatto non vuoto di $\RR ^2$?

  3. Per quali valori di $\vw \in \RR ^2$ si ha che $f^{-1}(\vw )$ è connesso?

  4. La mappa $f$ è una mappa aperta?

(2) [6u] Sia $X\subset SO(3)$ l’insieme di tutte le rotazioni di $SO(3)$ di angolo $\pi $, cioè

\[ X = \{ g \in SO(3) : g^2 = I, g \neq I\} , \]

dove $I$ è la matrice identità $3\times 3$.

  1. Mostrare che la funzione

    \[ A\mapsto \operatorname {Traccia}\left( A^ t A \right) \]

    è il quadrato di una norma definita sullo spazio vettoriale delle matrici quadrate $3\times 3$.

  2. Dimostrare che la funzione $d\from SO(3) \times SO(3) \to \RR $ definita da

    \[ d(A,B) = \sqrt { \operatorname {Traccia}\left[ (A^ t - B^ t)(A-B)\right] } \]

    è una metrica (distanza) su $SO(3)$.

  3. L’insieme $X \cup \{ I\} $ è un sottogruppo di $SO(3)$? È chiuso?

  4. Dimostrare che se $g\in X$, allora la distanza di $g$ dall’identità $I$ è uguale a $2\sqrt {2}$.

  5. Dimostrare che $X$ è compatto.

(3) [4u] Siano $A,B,C,D$ quattro punti indipendenti dal punto di vista affine in $\AA ^3(\QQ )$, e $T$ il tetraedro con vertici $ABCD$.

  1. Sia $Q$ il baricentro di $T$. Dimostrare che se una affinità $f\from \AA ^3(\QQ ) \to \AA ^3(\QQ )$ manda $T$ in sé $f(T) = T$, allora $f(Q) = Q$.

  2. Determinare quando i punti medi $M$ e $N$ degli spigoli $AB$ e $CD$ sono allineati con il baricentro $Q$.

  3. Quando il tetraedro $\hat T$ che ha per vertici i baricentri delle facce di $T$ è immagine di $T$ con una affinità?

  4. Scrivere in un sistema di riferimento affine (opportuno) le coordinate di $A,B,C,D,M,N,Q$.

(4) [4u] Siano in $\PP ^2(\CC )$ fissati i quattro punti $A=[1:0:0]$, $B=[0:1:0]$, $C=[0:0:1]$, $D=[1:1:1]$.

  1. Esistono tre punti (distinti) allineati in $\{ A,B,C,D\} $?

  2. Quante sono le proiettività $f\from \PP ^2(\CC ) \to \PP ^2(\CC )$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C)=C$?

  3. Quante sono le proiettività $f\from \PP ^2(\CC ) \to \PP ^2(\CC )$ tali che $f(A)=B$, $f(B)=C$, $f(C)=D$, $f(D)=A$?