8 giu 2010 (14:30, U1-01)

(1) [4u] Si consideri la seguente funzione $f\from \CC \to \CC $, definita da

\[ f(z) = \begin{cases} \dfrac {z \bar z}{ z^2 - \bar z^2} & \text {se $z^2 \neq \bar z^2$} \\ 0 & \text {se $z^2 = \bar z^2$.}\\ \end{cases} \]
  1. Per quali $w\in \CC $ la controimmagine $f^{-1}(w) = \{ z\in \CC : f(z) = w \} $ è compatta?

  2. Per quali $w\in \CC $ la controimmagine $f^{-1}(w)$ è connessa?

  3. È vero che per ogni $w\in \CC $ la controimmagine $f^{-1}(w)$ è un chiuso di $\CC $?

  4. Esiste un chiuso $K\subset \CC $ la cui controimmagine $f^{-1}(K)$ non è un chiuso di $\CC $?

(2) [6u] Sia $X$ lo spazio di tutte le matrici $2\times 2$ a coefficienti in $\RR $ non tutti nulli, con la metrica euclidea (i.e. identificando $X$ con $\RR ^4\smallsetminus \{ 0\} $), e $G=SO(2)$ il gruppo di tutte le matrici ortogonali con determinante $1$. Si consideri l’azione di $G$ su $X$ definita dal prodotto di matrici, cioè se $g\in G$ e $x\in X$, allora $g\cdot x$ è il prodotto righe-per-colonne di $g$ con $x$.

  1. Si determini lo stabilizzatore di $x$, al variare di $x$ in $X$.

  2. Si determini se la mappa $X\to \RR $ definita da

    \[ \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \in X \mapsto \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \in \RR \]

    induce una mappa continua $r\from X/G \to (0,+\infty ) \subset \RR $.

  3. Si determini se la mappa $X \to \PP ^1(\CC )$ definita da

    \[ \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \in X \mapsto [a+ib : c + id ] \in \PP ^1(\CC ) \]

    induce una mappa continua $h\from X/G \to \PP ^1(\CC )$.

  4. La funzione $f\from X/G \to (0,+\infty ) \times \PP ^1(\CC )$ definita da $f([x]) = (r(x),h(x))$ è continua?

  5. La funzione $g\from (0,+\infty ) \times \CC ^2\smallsetminus \{ 0\} \to X$ definita da

    \[ (r,(a+ib , c+id ) ) \to \dfrac {r}{\sqrt {a^2+b^2+c^2+d^2}}\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \]

    induce una mappa continua $g\from (0,+\infty ) \times \PP ^1(\CC ) \to X/G$?

(3) [4u] Al variare dei parametri $s,t\in \QQ $, siano $A,B,C$ i tre punti di $\AA ^3(\QQ )$ di coordinate

\[ A = (1,2,3t), \quad B = (1,2s,3t), \quad C = (s,2s,3). \]
  1. Determinare i valori di $s,t\in \QQ $ per cui i tre punti sono allineati e distinti.

  2. Si scriva l’equazione cartesiana del luogo dei baricentri dei tre punti $A,B,C$, al variare di $s,t\in \QQ $.

  3. Trovare, se esiste, l’equazione di un piano di $\AA ^3(\QQ )$ che contenga $A,B,C$ per ogni $s,t\in \QQ $.

  4. Per i valori di $s,t\in \QQ $ per cui i tre punti sono allineati, trovare una mappa affine $\AA ^3(\QQ ) \to \AA ^3(\QQ )$ tale che

    \[ \begin{aligned} (1,0,0) & \mapsto A \\ (0,1,0) & \mapsto B \\ (0,0,1) & \mapsto C. \end{aligned} \]

(4) [4u] Sia $\EE ^2$ il piano euclideo.

  1. Dimostrare che ogni rotazione di $\EE ^2$ è composizione di due riflessioni (lungo rette).

  2. Sia $R\from \EE ^2 \to \EE ^2$ la rotazione con centro $C=(1,1)$ di angolo $\theta = \dfrac {\pi }{3}$: si scriva come composizione di due riflessioni.

  3. Dimostrare che ogni isometria del piano euclideo $\EE ^2$ può essere scritta come la composizione di al più tre riflessioni (lungo rette).

  4. Sia $f\from \EE ^2 \to \EE ^2$ la funzione definita da

    \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

    Scriverla come composizione di riflessioni.