Scritto #5 - 2012-02-02 (14:30-16:30, U9-07)

(1) [4u] Si consideri la funzione $\sigma \from \PP ^1(\RR ) \times \PP ^1(\RR ) \to \PP ^3(\RR )$ definita ponendo

\[ \sigma ( [x_0:x_1], [y_0:y_1] ) = [ x_0y_0 : x_0y_1 : x_1y_0 : x_1y_1 ] \in \PP ^3(\RR ) \]

per ogni $( [x_0:x_1], [y_0:y_1] ) \in \PP ^1(\RR ) \times \PP ^1(\RR )$.

  1. Dimostrare che $\sigma $ è ben definita e continua.

  2. Sia $X\subset \PP ^3(\RR )$ l’immagine di $\sigma $, cioè $X= \sigma (\PP ^1(\RR ) \times \PP ^1(\RR ) )$. Dimostrare che $X$ è compatto e connesso.

  3. Dimostrare che $X$ è chiuso in $\PP ^3(\RR )$ e che la funzione $\sigma $ è iniettiva.

  4. Dimostrare che per ogni $A=[x_0:x_1]\in \PP ^1(\RR )$ fissato, la funzione $\PP ^1(\RR ) \to \PP ^3(\RR )$ definita da

    \[ [y_0:y_1] \mapsto \sigma ( (A,[y_0:y_1]) ) \in \PP ^3(\RR ) \]

    è la parametrizzazione di una retta proiettiva in $\PP ^3(\RR )$. Dedurre che per ogni punto $P\in X$ esistono due rette $l,r$ di $\PP ^3(\RR )$ passanti per $P$ e interamente contenute in $X$.

Per il prossimo esercizio, si ricordi che se $A$ è una matrice $2 \times 2$ a coefficienti complessi, allora la trasposta coniugata (aggiunta Hermitiana) di $A$ si indica con $A^*$ ed è la matrice con coefficienti $\overline{a}_{ji}$, se $a_{ij}$ sono i coefficienti di $A$.

(2) [5u] Sia $SU(2)$ il gruppo delle matrici unitarie con determinante $1$

\[ SU(2) = \left\{ A \in GL(2,\CC ) : AA^* = A^*A = I,\quad \det (A) = 1 \right\} . \]

Consideriamo in $SU(2)$ le quattro matrici: $\vu =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $\vi =\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$, $\vj =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, $\vk = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$.

  1. Dimostrare che $SU(2)$ è compatto.

  2. Dimostrare che $SU(2)$ è omeomorfo alla sfera $S^3 = \{ x \in \RR ^4 : \lVert x \rVert ^2 = 1 \} $.

  3. Dimostrare che $G = \{ \pm \vu , \pm \vi , \pm \vj , \pm \vk \} \subset SU(2)$ è un sottogruppo compatto di $SU(2)$.

  4. Si consideri l’azione di $G$ su $SU(2)$ data da

    \[ g \cdot x = gx \]

    per ogni $g\in G$ e ogni $x\in SU(2)$, dove il prodotto è il prodotto di matrici. Determinare la cardinalità dell’orbita di $x$ in $SU(2)$, al variare di $x$ in $SU(2)$.

  5. Determinare al variare di $x$ in $SU(2)$ il gruppo di isotropia di $x$ in $G$, con l’azione definita sopra. Il quoziente $SU(2)/G$ è compatto nella topologia quoziente?

(3) [6u] Sia $[0,1]\subset \RR $ l’intervallo unitario, $\NN =\{ 0,1,2\ldots ,n,\ldots \} $ e $X= [0,1]^\NN $ l’insieme di tutte le funzioni $x\from \NN \to [0,1]$. Per ogni famiglia finita di aperti di $[0,1]$

\[ U_0,U_1, U_2, \ldots , U_ N \subset [0,1] \]

(con $U_ i \subset [0,1]$ aperto per $i=0,1,\ldots , N$) si consideri in $X$ l’insieme

\[ \Phi (U_0,U_1,\ldots , U_ N) := \left\{ x \in X : \forall i\in \{ 0,1,\ldots , N\} , x(i) \in U_ i \right\} \subset X. \]

Sia $\mathcal{A}$ la famiglia di tutti i possibili insiemi $\Phi (U_0,U_1,\ldots , U_ N)$ al variare di $N\in \NN $ e degli $U_ i$.

  1. Dimostrare che $\emptyset \in \mathcal{A}$ e $X \in \mathcal{A}$.

  2. Dimostrare che $A_1,A_2 \in \mathcal{A} \implies A_1 \cap A_2 \in \mathcal{A}$.

  3. Siano $A_1 = \{ x\in X : x(0) < 1/2,~ x(1) > 1/2\} $ e $A_2 = \{ x \in X : x(0) > 1/2,~ x(1) < 1/2\} $. Dimostrare che $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$, e che $A_1 \cup A_2 \not\in \mathcal{A}$. Determinare se $\mathcal{A}$ è una topologia per $X$.

  4. Per ogni $N\in \NN $, sia $A_ N$ l’insieme definito da

    \[ A_ N = \left\{ x\in X : x(N) \in [0,1/2) \right\} . \]

    Dimostrare che $A_ N \in \mathcal{A}$. Descrivere l’insieme

    \[ A = \bigcup _{N\in \NN } A_ N. \]
  5. Dimostrare che $\mathcal{A}$ è una base per una topologia su $X$.

  6. Si consideri la funzione $d\from X\times X \to \RR $ definita da $ d(x,y) = \sum _{n\in \NN } \dfrac {\lvert x(n)-y(n)\rvert }{2^ n}. $ Dimostrare che $d$ è ben definita, che è una metrica su $X$, e che gli intorni sferici in $X$

    \[ B_ r(z) = \left\{ x \in X : d(x,z) < r \right\} \]

    sono aperti di $X$ rispetto alla topologia generata da $\mathcal{A}$.

(4) [4u] Sia $\EE ^2$ il piano euclideo.

  1. Dimostrare che ogni isometria di $\EE ^2$ è composizione di un numero finito di riflessioni (lungo rette).

  2. Sia $R\from \EE ^2 \to \EE ^2$ la rotazione con centro $C=(-1,1)$ di angolo $\theta = \dfrac {\pi }{3}$: si scriva la sua equazione e la si decomponga come composizione di due riflessioni.

  3. Al variare di $g$ nel gruppo di tutte le isometrie del piano, determinare se la decomposizione di $g$ nel numero minimo di riflessioni è unica o meno

  4. Sia $f\from \EE ^2 \to \EE ^2$ la funzione definita da

    \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

    Dimostrare che è una isometria; determinarne il centro, se è una rotazione; scriverla come composizione di riflessioni.