Scritto #4 - 2011-09-28 (14:30-16:30, U1-09)

(1) [4u] Sia $f\from \RR \to \CC $ la funzione definita da

\[ f(t) = \dfrac {1}{1+t^2}(1+e^{it}), \]

e $j\from \RR \to \PP ^1(\RR )$ l’inclusione definita da $j(t) = [1:t]$.

  1. Dimostrare che esiste una unica funzione continua $F\from \PP ^1(\RR ) \to \CC $ tale che $F\circ j = f$.

  2. Dimostrare che $f(\RR ) = F(\PP ^1(\RR )) \subset \CC $.

  3. Dimostrare che $f(\RR )\subset \CC $ è compatto.

  4. Dimostrare che $f(\RR )\subset \CC $ è connesso.

(2) [5u] Sia $X\subset \EE ^3$ il cubo $X=[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$, e $G$ il gruppo di tutte le rotazioni di $SO(3)$ che mandano $X$ in sé.

  1. Dimostrare che gli elementi di $G$ sono tutti rotazioni di angolo $2k\pi /n$, con $k\in \ZZ $ e $n=1,2,3,4$ attorno ad assi di rotazione passanti per l’origine $(0,0,0)$.

  2. Determinare il numero di elementi delle orbite di $(1,1,1)$, $(1,1,0)$ e $(1,0,0)$.

  3. Determinare il numero di elementi dello stabilizzatore dei punti $(1,1,1)$ $(1,1,0$ e $(1,0,0)$.

  4. Quanti elementi ha $G$?

  5. Dimostrare che lo spazio quoziente $X/G$ è connesso e compatto.

(3) [4u] Si considerino nel piano proiettivo $\PP ^2(\CC )$ tre rette distinte $h$, $r_1$ e $r_2$ che non passino tutte per uno stesso punto e due punti $Q_1,Q_2$ tali che $Q_ i \not\in h\cup r_1\cup r_2$ per $i=1,2$.

  1. Per $i=1,2$, si dimostri che per ogni $x\in r_ i$ esiste un unico punto $f_ i(x)\in h$ tale che i tre punti $x$, $Q_ i$ e $f_ i(x)$ sono allineati.

  2. Mostrare che $f_ i \from r_ i \to h$ è una corrispondenza biunivoca, per $i=1,2$.

  3. Al variare di $x\in r_1$, sia $g(x)\in r_2$ il punto definito da

    \[ g(x) = f_2^{-1}( f_1(x) ) \in r_2. \]

    Mostrare che se $r_1\cap r_2$ non è allineato con $Q_1$ e $Q_2$, allora per ogni $x$ si ha $g(x) \neq x$.

  4. Se $h$ è la retta all’infinito, $r_1=\{ (x,0):x\in \CC \} $ e $r_2=\{ (0,y):y\in \CC \} $ gli assi cartesiani nella carta affine $\AA ^2_0(\CC )$, determinare l’espressione di $g(x)$ nelle coordinate $x$ e $y$, con le coordinate di $Q_ i$ come parametri. È una proiettività?

(4) [8u] Sia $x_ n$ la successione in $\RR $ definita per $n\geq 1$ da

\[ x_ n = \sum _{k=1}^ n \dfrac {1}{k}, \]

e sia $p\from \RR \to X=\RR /\ZZ $ la proiezione sul quoziente, dove $X$ è il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza $x\sim y \iff x-y\in \ZZ $.

  1. Dimostrare che l’insieme

    \[ Y=\{ p(x_ n): n \geq 1 \} \subset X \]

    ha infiniti elementi.

  2. Dimostrare che la successione $\{ p(x_ n)\} $ ha almeno un punto di accumulazione in $X$.

  3. Dimostrare che la chiusura di $Y$ in $X$ è uguale a $X$. (Attenzione: molto difficile)