Scritto #3 - 2011-07-12 (14:30-16:30, U1-08)

(1) [6u] Al variare di $\lambda \in \RR $, sia

\[ X_\lambda =\{ (x,y)\in \RR ^2\mid \max \{ |x|,|y|\} =\lambda \} ; \]

si considerino i seguenti sottospazi di $\RR ^2$ con la topologia indotta dalla topologia euclidea:

\[ \begin{aligned} X& =\bigcup _{\lambda \in [1,2]} X_\lambda = \{ (x,y) \in \RR ^2 : 1 \leq \max \{ |x|,|y| \} \leq 2 \} ~ , \\ D& =\{ (x,y)\in \RR ^2\mid x^2+y^2\leq 1\} ~ , \\ S^1& =\{ (x,y)\in \RR ^2\mid x^2+y^2=1\} ~ . \end{aligned} \]
  1. Dimostrare che $X$ è compatto.

  2. Costruire una mappa continua e suriettiva $f\from X\to D$, tale che $f$ sia iniettiva sul complementare di $X_1$, $f(X_1)=\{ 0\} $ e $f(X_2)=S^1$.

  3. Dimostrare che $f$ è una mappa quoziente.

  4. Determinare se $X/(X_1\cup X_2)$ è omeomorfo a $S^2$ oppure no (non si richiede una dimostrazione completa, ma solo una argomentazione intuitiva, anche grafica).

(2) [5u] Si consideri $\RR ^2$ con la topologia euclidea, e sia

\[ \rho \from \ZZ \times \RR ^2\to \RR ^2, \quad \rho (k,(x,y))=(x+k,e^ ky). \]
  1. Dimostrare che $\rho $ definisce un’azione.

  2. Determinare quali orbite sono sottospazi chiusi di $\RR ^2$.

  3. Sia $\varphi \from \RR ^2 \to \RR $ la mappa definita da $ \varphi (x,y) = y e^{-x}. $ Dimostrare che $\varphi $ induce una mappa continua e suriettiva definita sullo spazio quoziente $X=\RR ^2/\ZZ $ a valori in $\RR $, $ \overline\varphi \from X \to \RR $. Determinare poi se lo spazio quoziente $X$ è connesso e/o compatto.

  4. Sia $Y$ lo spazio quoziente di $\RR ^2$ rispetto alla relazione di equivalenza

    \[ (x,y) \sim (x’,y’) \iff x-x’\in \ZZ . \]

    Mostrare che la mappa $ F\from \RR ^2 \to \RR ^2 $ definita da

    \[ F(x,y) = (x,\varphi (x,y)) \]

    è un omeomorfismo, che induce un omeomorfismo $ f\from X \to Y $ tra gli spazi quozienti $X$ e $Y$. (Suggerimento: scrivere esplicitamente una inversa per $F$, e quindi per $f$)

  5. Determinare se $X$ e $Y$ sono di Hausdorff.

(3) [4u] Si considerino quattro punti $A$, $B$, $C$, $D$ in $\EE ^3$. Siano $\va = A-O$, $\vb = B-O$, $\vc = C-O$, $\vd = D-O$ i vettori delle loro coordinate in $\RR ^3$. Per ogni vettore $\vx = x_1 \ve _1 + x_2\ve _2+x_3\ve _3 \in \RR ^3$ (dove $\ve _ i$ sono i vettori della base standard di $\RR ^3$), si indichi con $\hat\vx $ il vettore $\ve _0 + x_1 \ve _1 + x_2\ve _2+x_3\ve _3$ dello spazio vettoriale $\RR \oplus \RR ^3$ con base $\ve _0,\ve _1,\ve _2,\ve _3$.

  1. Dimostrare che la misura del volume $V$ del tetraedro $ABCD$ è uguale a

    \[ V = \dfrac {1}{6} \lvert \det (\hat\va ,\hat\vb , \hat\vc , \hat\vd ) \rvert = \dfrac {1}{6} \lvert \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{bmatrix} \rvert \]

    (Si ricordi che la misura del volume del tetraedro è per definizione uguale a $\dfrac {1}{6} \det ( B-A,C-A,D-A))$

  2. Dimostrare che per ogni $k\in \RR $ si ha

    \[ k^3 \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & |\va |^2 & |\vb |^2 & |\vc |^2 & |\vd |^2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & k a_1 & kb_1 & kc_1 & kd_1 \\ 0 & k a_2 & kb_2 & kc_2 & kd_2 \\ 0 & k a_3 & kb_3 & kc_3 & kd_3 \end{bmatrix} = - \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & |\va |^2 & |\vb |^2 & |\vc |^2 & |\vd |^2 \\ 0 & k a_1 & kb_1 & kc_1 & kd_1 \\ 0 & k a_2 & kb_2 & kc_2 & kd_2 \\ 0 & k a_3 & kb_3 & kc_3 & kd_3 \end{bmatrix} \]

    e dedurre che

    \[ 288 V^2 = \det \begin{bmatrix} 1 & |\va |^2 & |\vb |^2 & |\vc |^2 & |\vd |^2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ 0 & a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & |\va |^2 & |\vb |^2 & |\vc |^2 & |\vd |^2 \\ 0 & -2 a_1 & -2b_1 & -2c_1 & -2d_1 \\ 0 & -2 a_2 & -2b_2 & -2c_2 & -2d_2 \\ 0 & -2 a_3 & -2b_3 & -2c_3 & -2d_3 \end{bmatrix} \]
  3. Dedurre che1

    \[ 288 V^2 = \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & |\va -\vb |^2 & |\va - \vc |^2 & |\va -\vd |^2 \\ 1 & |\vb -\va |^2 & 0 & |\vb - \vc |^2 & |\vb -\vd |^2 \\ 1 & |\vc -\va |^2 & |\vc -\vb |^2 & 0 & | \vc -\vd |^2 \\ 1 & |\vd -\va |^2 & |\vd -\vb |^2 & |\vd -\vc |^2 & 0 \end{bmatrix}~ . \]

    (Si ricordi che se $H$ e $K$ sono due matrici, $\det ( (H^ t) K ) = \det (H) \det (K)$)

  4. Sia $T_ s$ un tetraedro (non degenere) in $\EE ^3$ con cinque spigoli lunghi $1$ e uno spigolo lungo $s\in \RR $. Calcolare il volume di $T_ s$; dimostrare che il tetraedro $T_ s$ non esiste se $s^2\geq 3$. Esiste certamente se $0 < s^2 < 3$?

Footnotes

  1. Formula di Tartaglia, con il determinante di Cayley-Menger