Scritto #2 - 2011-06-28 (14:30-16:30, U9-07)

(1) [4u] Su $X=\RR ^2$ con la topologia standard, sia $\sim $ la relazione definita da

\[ (x,y)\sim (x’,y’)\iff \exists (a,b)\in \ZZ \times \ZZ : (x’,y’)=(a+(-1)^ bx,b+y). \]
  1. Dimostrare che $\sim $ è una relazione di equivalenza.

  2. Dire se il quoziente $X/_\sim $ è compatto; dire se è connesso.

  3. Dire se la proiezione $\pi \from X\to X/_\sim $ è aperta; dire se è chiusa.

  4. Dire se il quoziente $X/_\sim $ è di Hausdorff.

(2) [5u] Sia $\rho \from \PP ^1(\CC )\to \PP ^1(\CC )$ l’applicazione

\[ \rho ([Z_0:Z_1])=[\overline{Z_1} : \overline{Z_0}]. \]
  1. Dimostrare che $\rho $ è ben definita.

  2. Dire se $\rho $ è continua, aperta, chiusa.

  3. Dire se $\rho $ è una mappa proiettiva.

  4. Dimostrare che l’applicazione

    \[ f\from \PP ^2(\RR )\to \PP ^1(\CC ), \quad f([X:Y:Z])=[X:Y+iZ] \]

    è ben definita, suriettiva e continua.

  5. Determinare quali sono le rette proiettive $l\subset \PP ^2(\RR )$ per cui esiste una retta proiettiva $l’\subset \PP ^2(\RR )$ tale che

    \[ \rho (f(l))=f(l’). \]

(3) [6u] Si consideri la funzione $d\from \PP ^1(\RR )\times \PP ^1(\RR ) \to \RR $, definita ponendo

\[ d([x:u],[\hat x:\hat u]) = \dfrac { \left( x\hat u - u \hat x \right)^2 }{\left( x^2+u^2 \right)\left( \hat x^2 + \hat u^2 \right) }. \]

Sia $\pi \from \RR ^2\smallsetminus \{ 0\} \to \PP ^1(\RR )$ la proiezione sul quoziente.

  1. Dimostrare che $d$ è ben definita e continua.

  2. Mostrare che $d(p,q)=0$ se e soltanto se $p=q$, per ogni $p,q\in \PP ^1(\RR )$.

  3. Fissati $a,b\in \PP ^1(\RR )$, $a\neq b$, si consideri la funzione

    \[ f\from \PP ^1(\RR ) \to \RR \]

    definita da

    \[ f(z) = d(a,z) + d(z,b). \]

    Dimostrare che $f$ ha massimo $M$ e minimo $m$ strettamente positivi $M\geq m > 0$. Si dimostri poi che nel caso in cui $a=[1:0]$ e $b=[1:1]$ il minimo $m$ è strettamente minore di $\dfrac {1}{2}$, calcolando il valore $f([2:1])$.

  4. Determinare se $d$ è una metrica su $\PP ^1(\RR )$. Qual è il valore di $d([1:0],[1:1])$?

  5. Se $A,B\in S^1\subset \EE ^2\cong \RR ^2$ sono due punti tali che $\pi (A) = a$ e $\pi (B) =b$, con $a,b\in \PP ^1(\RR )$ qualsiasi, si determini (se esiste) una formula che lega il valore di $d(a,b)$ e l’area del triangolo $OAB$.

  6. Fissati $a,b\in \PP ^1(\RR )$, $a\neq b$, si determini il luogo di tutti i punti $P \in \EE ^2$, $P\neq 0$, tali che $d(a,\pi (P)) = d(b,\pi (P))$.