Scritto #1 - 2011-06-14 (15:00-17:00, U9-07)

(1) [4u] Si consideri la funzione $F\from \RR ^2\smallsetminus \{ 0\} \to \RR ^2$, definita ponendo

\[ F(x,y) = \left( \dfrac {2xy}{x^2+y^2}, \dfrac {x^2-y^2}{x^2+y^2}. \right) \]

Dimostrare i seguenti fatti.

  1. La funzione $F$ induce una funzione continua $f\from \PP ^1(\RR ) \to \RR ^2$.

  2. L’immagine di $f$ in $\RR ^2$ è la circonferenza unitaria $S^1 = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 = 1 \} $.

  3. La funzione $f\from \PP ^1(\RR ) \to \RR ^2$ è iniettiva.

  4. Dedurre che lo spazio proiettivo $\PP ^1(\RR )$ è omeomorfo alla circonferenza $S^1$.

(2) [6u] Sia $F$ la matrice $2\times 2$ definita da

\[ F = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

e $\varphi \from \ZZ \times \RR ^2 \to \RR ^2$ la funzione definita da

\[ \varphi \left(k, \vx \right) = F^ k \vx \]

per ogni $\vx \in \RR ^2$, dove $F^ k$ indica il prodotto di $k$ copie di $F$ (se $k > 0$), oppure il prodotto di $-k$ copie dell’inversa $F^{-1}$ (se $k < 0$), oppure l’identità quando $k=0$. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. La funzione $\varphi $ è ben definita ed è una azione di $\ZZ $ su $\RR ^2$.

  2. I due punti $(1,0)$ e $(0,1)$ appartengono alla medesima orbita in $\RR ^2$.

  3. L’azione $\varphi $ induce una azione $\phi $ di $G=\ZZ $ su $\PP ^1(\RR )$, definita ponendo

    \[ \phi ( k, [x:u]) = [x’:u’],\quad \text { con } \begin{bmatrix} x’ \\ u’ \end{bmatrix} = F^ k \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}. \]
  4. Esistono esattamente due punti $p_0$ e $p_1$ in $\PP ^1(\RR )$ fissati dall’azione di $G=\ZZ $ su $\PP ^1(\RR )$ (cioè fissati da ogni $g\in G$). Come si scrive l’azione di $G$ su $\RR ^2$ (e quindi su $\PP ^1(\RR )$) in una base di $\RR ^2$ che contiene i due vettori $\tilde p_0$ e $\tilde p_1$, se $[\tilde p_ i] = p_ i$ per $i=0,1$?

  5. Se il punto $p \in \PP ^1(\RR )$ non è fissato, $p\not\in \{ p_0,p_1\} $, allora il suo stabilizzatore $G_ p$ è banale e la sua orbita $Gp$ in $\PP ^1(\RR )$ ha $p_0$ e $p_1$ per punti di accumulazione. (usare il punto precedente)

  6. Lo spazio quoziente $\PP ^1(\RR )/G$ non è di Hausdorff.

(3) [5u] Siano $a,b,c > 0$ tre parametri positivi fissati. Sia $T$ il tetraedro in $\EE ^3$ di vertici $O=(0,0,0)$, $A=(a,0,0)$, $B=(0,b,0)$, $C=(0,0,c)$, e $S$ la sua sfera inscritta, di raggio $r$ e centro $X$. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. Per ogni spigolo $s$ di $T$, il piano bisettore dell’angolo diedro tra le due facce che insistono su $s$, passa per $X$.

  2. Il centro $X$ appartiene alla retta per $O$ di giacitura $(1,1,1)$, e la distanza del punto di coordinate $(t,t,t)$ dal piano che contiene $A$, $B$ e $C$ è uguale a

    \[ \dfrac {|t(ab+ac+bc) - abc|}{\sqrt {a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}. } \]
  3. L’area $d$ del triangolo $ABC$ è uguale a

    \[ d = \dfrac {1}{2} \sqrt {a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}. \]

    (Si consideri che il volume di un tetraedro di lati $\va $, $\vb $ e $\vc $ è per definizione uguale a $1/6V$, dove $V$ è il volume del parallelogramma di lati $\va $, $\vb $, e $\vc $, con $\va ,\vb ,\vc \in \RR ^3$, e che il volume di un tetraedro è uguale a $1/3Ah$, dove $A$ è l’area di una sua faccia e $h$ l’altezza corrispondente)

  4. Il centro della sfera $S$ ha coordinate baricentriche (rispetto ai vertici $O$, $A$, $B$ e $C$ del tetraedro) proporzionali a $2d:bc:ac:ab$, dove $d$ indica l’area del triangolo $ABC$. In altre parole,

    \[ X = \dfrac { 2dO + bcA + acB + abC }{ 2d + bc + ac + ab} = \dfrac {abc}{2d+bc+ac+ab}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. \]
  5. Determinare per quali valori di $a,b,c$ il centro $X$ coincide con il baricentro di $T$.