Scritto #5 - 2013-02-19 (14:30-16:30, U9-09)

(1) [6u] Sia $X\subset \EE ^2$ la scala infinita

\[ X = \{ (x,y) \in \EE ^2 : (x \in [0,1] \wedge y \in \ZZ ) \vee ( x\in \{ 0,1\} )\} , \]

e $g\from \EE ^2 \to \EE ^2$ l’isometria definita da

\[ g\from (x,y) \mapsto (1-x, y+3). \]
  1. Mostrare che $g(X) = X$.

  2. Sia $G$ il gruppo generato da $g$, cioè $G=\{ g^{k} : k \in \ZZ \} $. Mostrare che $G$ agisce su $X$ mediante isometrie.

  3. Mostrare che l’azione di $G$ su $X$ è libera.

  4. Si consideri lo spazio topologico quoziente $X/G$: dimostrare che è compatto e connesso.

  5. Si dia una descrizione (anche grafica) del quoziente $X/G$. È possibile disegnarlo su un piano?

(2) [6u] Sia $G$ l’insieme di tutte le trasformazioni affini $g\from \RR \to \RR $ che si scrivono come $g(x) = ax+b$, con $a > 0$.

  1. Mostrare che $G$ è un gruppo, rispetto alla composizione di funzioni.

  2. Mostrare che la funzione $\Phi \from (0,+\infty )\times \RR \to G$ definita da $(a,b) \mapsto \Phi ( (a,b) ) = \left( x \mapsto ax+b \right) \in G$ è una bijezione.

  3. Per ogni $z\in \RR $ e ogni intervallo aperto $U\subset \RR $ si indichi con $W(z,U)\subset G$ l’insieme

    \[ W(z,U) = \{ g \in G : g(z) \in U \} . \]

    Cos’è $\Phi ^{-1}(W(z,U))$? Mostrare che la famiglia di tutti i $W(z,U)$, al variare di $z$ e $U$, non è una base per una topologia di $G$ (sotto quali condizioni $W(z,U)\subset W(w,V)$? )

  4. Mostrare che la famiglia $\mathcal{W}$ formata da tutte le intersezioni finite $W(z_1,U_1) \cap W(z_2,U_2) \cap \ldots \cap W(z_ n,U_ n)$, al variare di $z_ i \in \RR $ e $U_ i\subset \RR $ aperti, con $i=1,\ldots , n$, è una base per una topologia $\tau $ di $G$.

  5. Dimostrare che $G$, con la topologia $\tau $, è uno spazio topologico di Hausdorff.

(3) [6u] Sia $\KK $ un campo, e $E$ un piano affine su campo $\KK $. Se $OXY$ è un riferimento affine di $E$, per ogni terna ordinata $A,B,C$ di punti di $E$ si indichi con $(ABC)_{OXY}$ il determinante della matrice $ \begin{bmatrix} a_ x & b_ x & c_ x \\ a_ y & b_ y & c_ y \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $ i cui coefficienti $a_ x$, $a_ y$, $b_ x$, $b_ y$, $c_ x$, $c_ y$ sono le coordinate (rispettivamente) di $A$, $B$, $C$ nel riferimento $OXY$.

Ricordiamo che per tre punti allineati (con $A\neq B$) si indica anche con $\dfrac {AC}{AB}$ il rapporto $\overrightarrow {AC} : \overrightarrow {AB}$, cioè l’unico $\rho \in \KK $ tale che $\overrightarrow {AC} = \rho \overrightarrow {AB}$; si ponga per semplicità $ \dfrac {AC}{BA} = \dfrac {CA}{AB} = - \dfrac {CA}{BA} = - \dfrac {AC}{AB} ~ . $

  1. Si mostri che tre punti $A,B,C \in E$ sono allineati se e soltanto se $(ABC)_{OXY}=0$ in un qualsiasi sistema di riferimento $OXY$.

  2. Si mostri che, date due terne ordinate $A,B,C$ e $A’,B’,C’$ di punti di $E$, il rapporto $ \dfrac {(ABC)_{OXY}}{(A’B’C’)_{OXY}} $ non dipende dal sistema di riferimento $OXY$. In questo caso quindi si può omettere di scrivere $OXY$ nell’espressione del rapporto.

  3. (Teorema del lato comune) Si mostri che se $A,B,P,Q\in E$ sono quattro punti, con $A\neq B$ e $P\neq Q$ tali che la retta $AB$ e la retta $PQ$ si intersecano in un unico punto $M$, allora

    \[ \dfrac {(ABP)}{(ABQ)} = \dfrac { MP}{ MQ }. \]

    Quando succede che $M=Q$ oppure $M=P$ la formula è valida?

  4. Siano $A,B,C$ tre punti non allineati nel piano affine $E$, e $P$, $Q$ e $R$ tre punti rispettivamente sulle rette $AB$, $BC$ e $CA$. Mostrare che se $P,Q,R$ sono allineati, per ogni coppia $X,Y$ di punti distinti allineati con $P,Q,R$ si ha

    \[ \dfrac {(XYA)}{(XYB)} = \dfrac {PA}{PB}, \qquad \dfrac {(XYB)}{(XYC)} = \dfrac {QB}{QC}, \qquad \dfrac {(XYC)}{(XYA)} = \dfrac {RC}{RA}~ . \]

    Dedurre che vale il Teorema di Menelao: se $P,Q,R$ sono allineati, allora $ \dfrac {AP}{PB} \dfrac {BQ}{QC} \dfrac {CR}{RA} = -1 $.

  5. Vale anche il viceversa, cioè se $ \dfrac {AP}{PB} \dfrac {BQ}{QC} \dfrac {CR}{RA} = -1 $ allora $P,Q,R$ sono allineati?