Scritto #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10)

(1) [6u] Si consideri la topologia euclidea standard su $\QQ $. Per ogni $x\in \QQ $ si indichi con $Z_ x$ l’insieme definito da

\[ Z_ x = \left\{ kx : k\in \ZZ \smallsetminus \{ 0\} \right\} \subset \QQ ~ . \]
  1. Determinare per quali $x\in \QQ $ risulta che $Z_ x$ è chiuso in $\QQ $.

  2. Per quali $x\in \QQ $ risulta che $Z_ x$ è compatto? Per quali risulta connesso?

  3. Dimostrare che per ogni $x\in \QQ $ l’insieme $Z_ x\cap \NN $ è chiuso in $\QQ $, e che il suo estremo inferiore è un elemento di $Z_ x$. Chiamiamo tale estremo inferiore $b(x)$.

  4. Si consideri la funzione $f\from \QQ \to \QQ $ definita da

    \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac {1}{b(\dfrac {1}{x})}, & \text {se $x\neq 0$;} \\ 0, & \text {se $x=0$}~ . \end{cases} \]

    Mostrare che la funzione $f$ è ben definita.

  5. Mostrare che $f$ è continua in $0$.

  6. Esiste $x_0\in \QQ $, $x_0 \neq 0$, tale che la funzione $f$ è continua in $x_0$?

(2) [6u] Sia $X=\PP ^2(\CC )$ e si consideri la mappa

\[ \rho \from \RR \times X\to X, \quad \rho (t,[x:y:u])=[e^{it}x:y:u]. \]
  1. Dimostrare che $\rho $ definisce un’azione di $\RR $ su $X$.

  2. Deteminare lo stabilizzatore di ogni punto di $X$.

  3. Determinare se lo spazio quoziente $X/\RR $ è compatto e se è connesso.

  4. Determinare se lo spazio quoziente $X/\RR $ è di Hausdorff.

(3) [6u] Sia $\gamma \subset \EE ^2$ una circonferenza nel piano euclideo $\EE ^2$, con centro $A$ e raggio $r$. Per ogni $P\in \EE ^2$ si definisca la quantità

\[ w(P;\gamma ) = \lVert {P - A}\rVert ^2 - r^2. \]
  1. Mostrare che se $P$ è un punto esterno alla circonferenza $\gamma $, allora $w(P;\gamma )$ è il quadrato della distanza tra $P$ ed i due punti in cui le due tangenti a $\gamma $ passanti per $P$ toccano $\gamma $.

  2. Date due circonferenze distinte $\gamma $ e $\Gamma $ in $\EE ^2$, dimostrare che il luogo dei punti

    \[ \mathcal{R}(\gamma ,\Gamma ) = \{ P \in \EE ^2 : w(P;\gamma ) = w(P;\Gamma ) \} \]

    è una retta se $\gamma $ e $\Gamma $ hanno centri distinti, ed è vuoto se esse sono concentriche.

  3. Mostrare che se $A$ e $B$ sono i centri di $\gamma $ e $\Gamma $, e se $A\neq B$, allora $\mathcal{R}(\gamma ,\Gamma )$ è ortogonale alla retta passante per $A$ e $B$.

  4. Mostrare che

    \[ \gamma \cap \Gamma \subset \mathcal{R}(\gamma ,\Gamma ). \]
  5. Mostrare che se $A$, $B$ e $C$ sono tre punti non allineati in $\EE ^2$, e $\gamma _ A$, $\gamma _ B$ e $\gamma _ C$ tre circonferenze con centri rispettivamente in $A$, $B$ e $C$, allora esiste un unico punto $Q\in \EE ^2$ tale che

    \[ Q \in \mathcal{R} (\gamma _ A,\gamma _ B) \cap \mathcal{R} (\gamma _ B,\gamma _ C) \cap \mathcal{R} (\gamma _ C,\gamma _ A)~ . \]
  6. Dedurre dai punti precedenti che se tre circonferenze sono mutuamente tangenti e con centri non allineati, allora le tre tangenti comuni si incontrano in un punto.