Scritto #3 - 2012-07-17 (14:30-16:30, U9-04)

(1) [8u] Si dice che uno spazio topologico $X$ è irriducibile se per ogni coppia di chiusi $F,G$ con $X=F\cup G$ vale $X=F$ o $X=G$. Si dice che un sottospazio $A\subset X$ è irriducibile se lo è nella topologia indotta.

  1. Dimostrare che se $X$ è irriducibile e $A\subset X$ è aperto, allora $A$ è irriducibile.

  2. Dato uno spazio topologico $X$, si consideri la famiglia

    \[ \mathcal{F}_ X=\{ F\subset X \text { chiuso}\mid \not\exists F_1, ... , F_ k \text { chiusi irriducibili di $X$},~ F=F_1\cup \dotsb \cup F_ k\} \]

    dei sottoinsiemi chiusi di $X$ che non si possono scrivere come unione finita di chiusi irriducibili. Dimostrare che $\mathcal{F}_ X$ non contiene alcun elemento minimale $Y$, cioè tale che $A\in \mathcal{F}_ X\wedge A\subset Y\implies A=Y$.

  3. Sia $X$ uno spazio topologico con la proprietà che per ogni catena discendente di chiusi $F_1\supset F_2\supset ... F_ n\supset ... $ esiste $N$ tale che $F_ n=F_ N$ per $n\geq N$. Dimostrare che $\mathcal{F}_ X$ è vuoto.

  4. Sia $X$ uno spazio topologico con la proprietà che ogni suo sottospazio è compatto. Dimostrare che $X$ è unione di un numero finito di chiusi irriducibili.

(2) [4u] Sia $G\subset SO(2)$ un sottogruppo finito. Sia $p \from \RR \to SO(2)$ la funzione definita da

\[ p(t) = \begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix} \]
  1. Mostrare che $\tilde G = p^{-1} (G) \subset \RR $ è un sottogruppo additivo discreto di $\RR $.

  2. Si mostri che $p$ induce un omeomorfismo tra i due spazi quozienti $\RR /\tilde G \approx SO(2) / G$.

  3. Si dimostri che $G$ non può agire in modo transitivo su $SO(2)$.

  4. Mostrare che per ogni $G$ di ordine $l > 1$ si ha $G\cong Z_ l = \{ z \in \CC ^* : z^ l = 1 \} \subset \CC ^* $.

(3) [6u] Sia $X=\PP ^2(\CC )$ il piano proiettivo complesso, con coordinate omogenee $[x:y:u]$, e retta impropria $u=0$. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. Ogni retta di $X$ diversa dalla retta impropria ha uno e un solo punto all’infinito.

  2. Il punto $[1:1:1]$ non è allineato a nessuna coppia di punti scelti tra $[1:0:0]$, $[0:1:0]$ e $[0:0:1]$.

  3. Una proiettività $f\from X \to X$ manda terne di punti allineati in terne di punti allineati, e terne di punti non allineati in terne di punti non allineati.

  4. Per ogni scelta di tre punti $A,B,C\in X$ non allineati, esiste almeno una proiettività $f\from X \to X$ tale che $f([1:0:0])=A$, $f([0:1:0])=B$, $f([0:0:1])=C$.

  5. Fissati $A,B,C$ non allineati, sia $\mathcal{F}$ l’insieme formato da di tutte e sole le proiettività $f\from X \to X$ che mandano $[1:0:0]$, $[0:1:0]$, $[0:0:1]$ in $A,B,C$ rispettivamente. L’insieme

    \[ T = \left\{ f([1:1:1]) : f\in \mathcal{F} \right\} \subset X \]

    è uguale all’insieme dei punti $P\in X$ che non sono allineati a due dei tre punti $A,B,C$, comunque presi.

  6. Nella topologia indotta dalla topologia quoziente di $X$, $T$ è omeomorfo a $(\CC \smallsetminus \{ 0\} ) \times (\CC \smallsetminus \{ 0\} )$, ed è connesso.