Scritto #2 - 2012-07-03 (14:30-16:30, U1-10)

(1) [6u] Per ogni $n\in \NN $, $n > 0$, sia $X_ n=\{ z \in \CC : z^ n = 1 \} \subset S^1$ l’insieme delle radici $n$-esime dell’unità, e

\[ X = \bigcup _{n=1}^\infty X_ n \]

la loro unione, con la topologia metrica di $\CC $. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. La chiusura di $X$ in $\CC $ è uguale a $S^1$: $\overline{X}=S^1$.

  2. $X$ non è connesso.

  3. $X$ non è compatto.

  4. Esiste una successione $\{ z_ j\} $ di punti di $X$ che non ammette sottosuccessioni convergenti ad alcun elemento di $X$.

  5. Non esiste una successione $\{ z_ j\} $ di punti di $X$ che non ammette sottosuccessioni convergenti ad alcun elemento di $S^1\subset \CC $.

  6. Se $f_1,f_2\from S^1 \to \RR $ sono due funzioni continue tali che $\forall x\in X, f_1(x) = f_2(x)$, allora $\forall x\in S^1$, $f_1(x) = f_2(x)$.

(2) [4u] Posto $X=\RR ^3\setminus \{ 0\} $, $G=\RR ^*$, si consideri l’applicazione

\[ \rho \from G\times X\to X, \quad \rho (\lambda ,(x_0,x_1,x_2))=(\lambda x_0, \lambda ^2 x_1,\lambda ^3x_2). \]
  1. Dimostrare che $\rho $ è un’azione.

  2. Determinare se il quoziente $X/G$ è compatto, e se è connesso.

  3. Si considerino le applicazioni $\phi _0,\phi _1,\phi _2\from \RR ^2\to X/G$

    \begin{gather*} \phi _0(z,w)=[(1,z,w)], \quad \phi _1(z,w)=[(z,1,w)], \\ \phi _2(z,w)=[(z,w,1)]. \end{gather*}

    Si dimostri che $\phi _0,\phi _1,\phi _2$ sono continue e aperte. Sono omeomorfismi con l’immagine?

  4. Determinare se $X/G$ è di Hausdorff.

(3) [5u] Siano $A$, $B$ e $C$ tre punti non allineati di un piano affine $\AA ^2(\KK )$ su campo finito $\KK $, e $P_{AB}$, $P_{BC}$ e $P_{CA}$ tre punti allineati rispettivamente con $AB$, $BC$ e $CA$. Si supponga anche che $P_{AB} \not\in \{ A,B\} $, $P_{BC}\not\in \{ B,C\} $, $P_{CA}\not\in \{ C,A\} $.

  1. Dimostrare che esiste un riferimento affine in $\AA ^2(\KK )$ per cui $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ e $C=(0,1)$, e che esistono $\rho _ A,\rho _ B,\rho _ C \in \KK ^*$, tali che

    \[ \left\{ \begin{aligned} (P_{AB} - A ) & = \rho _ C (B - P_{AB}) \\ (P_{BC} - B ) & = \rho _ A (C - P_{BC} ) \\ (P_{CA} - C ) & = \rho _ B (A - P_{CA} )~ . \end{aligned}\right. \]
  2. Dimostrare che $A\neq P_{BC} $, $B\neq P_{CA}$, $C\neq P_{AB}$, e quindi esistono uniche tre rette $a$ per $A$ e $P_{BC}$, $b$ per $B$ e $P_{CA}$, $c$ per $C$ e $P_{AB}$.

  3. Mostrare che

    \[ a = \left\{ P \in \AA ^2(\KK ) : \det \begin{bmatrix} A_1 & B_1 & P_1 \\ A_2 & B_2 & P_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} + \rho _ A \det \begin{bmatrix} A_1 & C_1 & P_1 \\ A_2 & C_2 & P_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = 0 \right\} ~ . \]

    Scrivere le analoghe equazioni per $b$ e $c$.

  4. Mostrare che se $a\cap b \cap c \neq \emptyset $, allora $\rho _ A \rho _ B \rho _ C = 1$.

  5. Viceversa, mostrare che se $\rho _ A \rho _ B \rho _ C = 1$, allora $a\cap b\cap c \neq \emptyset $.

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