Scritto #1 - 2012-06-19 (14:30-16:30, U9-05)

(1) [6u] Sia $K$ un campo finito, e sia $X=\AA ^ n(K)$, $n > 0$. Dati due punti

\[ x=(x_1,\dotsc ,x_ n), \quad y=(y_1,\dotsc , y_ n) \]

di $X$, si denoti con

\[ d(x,y)=\sharp \{ i\mid x_ i\neq y_ i\} \]

il numero di indici $i$, $1\leq i\leq n$ tali che $x_ i\neq y_ i$.

  1. Dimostrare che $d$ è una distanza.

  2. Determinare se $(X,d)$ è uno spazio metrico completo, e se è compatto.

  3. Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di $n$ elementi, con la topologia discreta. Dimostrare che l’applicazione

    \[ G\times X\to X, \quad (\sigma ,x)\to (x_{\sigma ^{-1}(1)}, ... ,x_{\sigma ^{-1}(n)}) \]

    è un’azione, e che $G$ agisce come un gruppo di isometrie.

  4. Determinare se la topologia del quoziente $X/G$ è metrizzabile.

  5. Mostrare che le traslazioni sono isometrie, e per $n=1,2$, determinare se esistono affinità di $X=\AA ^ n(K)$ in sé che non siano isometrie.

  6. Mostrare che se $f\from X \to X$ è una affinità tale che $f(O) = O$ che sia anche una isometria, allora esiste una permutazione $\sigma \in G$ tale che per ogni $i\in \{ 1,\ldots , n\} $ si ha $f(\ve _ i) = a_ i \ve _{\sigma (i)}$ per certi $a_ i \in K^*$, dove gli $\ve _ i$ sono i vettori della base canonica di $K^ n$.

(2) [4u] Sia $I^3$ il cubo $I^3\subset \EE ^3$ definito da $I^3 = [0,1] \times [0,1] \times [0,1]$.

  1. Si mostri che il volume del tetraedro $T_0\subset I^3$ con vertici

    \[ (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \]

    e quello del tetraedro $T_1 \subset I^3$ con vertici

    \[ (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1) \]

    coincidono.

  2. Si mostri che il gruppo simmetrico $\Sigma _3$ (di ordine 6) delle permutazioni di tre elementi agisce su $I^3$ permutando le coordinate, e che

    \[ I^3 = \bigcup _{g \in \Sigma _3} g T_1. \]

    Si deduca che il volume di $T_0$ e $T_1$ è uguale a $\frac{1}{6}$.

  3. Sia $\rho $ l’isometria $(x,y,z) \mapsto (-y,-z,-x)$ di $\EE ^3$. È una rotazione? Si mostri che genera un gruppo ciclico $G$ di ordine $6$.

  4. Si determini per quale valore $\varphi \in \RR $, $\varphi > 0$, le $G$-orbite dei due punti $(1,\varphi ,0)$, $(1,-\varphi ,0)$ di $\EE ^3$ sono vertici di un icosaedro regolare. (suggerimento: per quale valore di $\varphi $ i tre punti $(1,\varphi ,0)$, $(1,-\varphi ,0)$ e $(\varphi ,0,1)$ sono equidistanti? Si guardi la figura, in cui l’icosaedro è inscritto nel cubo $[-1,1]^3$).

    img #5

(3) [4u] Si consideri in $\PP ^2(\CC )$ (con coordinate $[x:y:u]$) il gruppo $G$ di tutte le proiettività che mandano la retta $u=0$ (retta impropria) in sé.

  1. Mostrare che per ogni coppia di punti distinti $A,B$ nella retta $u=0$, esiste almeno una proiettività in $G$ che manda $[1:0:0]$ e $[0:1:0]$ in $A$ e $B$.

  2. La proiettività del punto precedente è unica?

  3. Descrivere il sottogruppo di $G$ formato dalle proiettività che fissano ogni punto della retta impropria $u=0$. Agisce in modo transitivo sulla carta affine $\{ u\neq 0\} \subset \PP ^2(\CC )$?

  4. Scrivere le equazioni omogenee di tutte le possibili coppie di rette $r_1$ e $r_2$ i cui punti all’infinito siano rispettivamente $[1:0:0]$ e $[0:1:0]$, e tali che $r_1\cap r_2 \in \{ x=y\} \subset \PP ^2(\CC )$.