3. Alcuni œrrori

Described image figs/e_to_the_pi_minus_pi.png

Person: Hey, check it out: e^pi-pi is 19.999099979. That's weird. Hat Guy: Yeah. That's how I got kicked out of the ACM in college. Person: . . . what? Hat Guy: During a competition, I told the programmers on our team that e^pi-pi was a standard test of floating-point handlers--it would come out to 20 unless they had rounding errors. Person: That's awful. Hat Guy: Yeah, they dug through half their algorithms looking for the bug before they figured it out. {{alt text: Also, I hear the 4th root of (9^2 + 19^2 22) is pi.}}

[http://xkcd.com/217/]

(48) Consideriamo il seguente sottoinsieme di $\RR ^2$ (con la topologia euclidea):

\[ X = \{ (x,y) \in \RR ^2 : xy \not\in \ZZ \} . \]
  1. È aperto? È chiuso?

  2. Consideriamo l’iperbole $C$ di equazione $x^2-y^2 = 1$. L’intersezione $X\cap C$ è aperta nella topologia di $C$? È chiusa nella topologia di $C$? E nella topologia di $\RR ^2$?

  3. $X$ e $X\cap C$ sono compatti? sono connessi?

  4. Si consideri la funzione $\varphi \from \ZZ \times X \to \RR ^2$ definita ponendo

    \[ \varphi (k,(x,y) ) = (2^ kx,2^ ky). \]

    È vero che l’immagine di $\varphi $ è contenuta in $X$?

Soluzioni:

a) [...] L’insieme $X$ è infatti composto da

\[ X = \RR ^2 \smallsetminus (\ZZ \times \ZZ ) \cup \{ (x,y)\in \RR ^2 : x,y\in \QQ ,~ \text {e}~ xy\in \ZZ \} , \]

quindi $X=\RR ^2 \smallsetminus $ una infinità numerabile di punti. Dato che tra un numero razionale ed uno irrazionale $\exists $ infiniti n° reali, segue che $\exists $ infinite coppie di numeri $(x_3,y_3)$ con $x_3,y_3\in \RR $. Questo vale per ogni coppia $(x,y)\in \RR ^2$ e quindi a maggior ragione in ogni coppia $(x,y)\in \RR ^2 \smallsetminus $ una infinità numerabile di punti.

[...] $X$ non è aperto, per $x\in \RR $ $\exists y\in \RR $ tale che $xy\in \ZZ $ (un numero per il reciproco).

[...] $X$ è aperto perché è l’unione di tutte le palle aperte di raggio $1$ e centro in $(x,y)\in \RR ^2$ tali che $x\in \ZZ $, $y\in \ZZ $.

[...] Un insieme è aperto $\iff $ il suo complementare è chiuso o equivalentemente se non contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

[...] $X$ è un sottoinsieme chiuso di $\RR ^2$. Infatti $X^ c=\{ (x,y)\in \RR ^2 : xy\in \ZZ \} = \ZZ ^2$. $\ZZ ^2$ è composto da punti isolati, ed è quindi un insieme aperto.

[...] $X$ non contiene $(0,0)$, allora $X\neq \RR ^2$ ma anche il suo complementare non contiene $(0,0)$. quindi $y$ ($X$?) non è chiuso.

[...] $X=f^{-1}(\RR - \ZZ ) $ $\implies $ la controimmagine tramite la $f$ continua di un chiuso è un chiuso.

b) [...] $C$ non è connesso perché la sua immagine attraverso una funzione continua è $\{ 1\} $ che non è connesso.

[...] $C\cap X$ è aperto; poiché è aperto non può essere anche chiuso poiché $C\cap X$ non è connesso.

[...] la controimmagine di uno SCONNESSO è SCONNESSA (se $f$ è continua)

[...] $X\cap C$ è l’intersezione di 2 insiemi non limitati $X\cap C$ è non limitato $X\cap C$ è non compatto

(49) Dimostrare che:

  1. $S^1$ non è omeomorfo ad un intervallo.

  2. Gli intervalli $(0,1)$ e $[0,1]$ non sono omeomorfi.

  3. Se uno spazio topologico $X$ è connesso e $X=A\cup B$ con $A\neq \emptyset $ e $B\neq \emptyset $, allora o $\overline{A} \cap B \neq \emptyset $ oppure $\overline{B} \cap A \neq \emptyset $.

  4. Se $X\subset \RR $ non è un intervallo, allora non è connesso.

Soluzioni:

a) [...] $S^1$ è compatto $\implies $ è omeomorfo a un intervallo chiuso e non a un intervallo aperto.

[...] $S^1$ non è omeomorfo a un intervallo; $S^1=\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \} $. Sappiamo che $I\sim C=$ circonferenza con $C=\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^2+y^2=1 \} $. $C\subset S^1$ e $C\not\sim S^1$ $\implies $ $I\not\sim S^1$.

[...] Supponiamo per assurdo $S^1\approx I$ Allora esisterebbe $f\from S^1 \to I$ biunivoca, continua t.c. $f^{-1}$ continua. Ma applicando $f$ a $S^1$ si perde l’iniettività della funzione, il che è assurdo. Allora $S^1\not\approx I$.

[...] Sia $f\from [0,1] \to S^1$ $f(\vartheta ) = e^{2\pi i \vartheta } \in S^1$ $f(\{ 0,1\} ) = (1,0) \in S^1$ $f$ è continua $\{ 0,1\} $ non connesso, $(1,0)\in S^1$ connesso $ \implies S^1$ e $ [0,1]$ non possono essere omeomorfi.

[...] $S^1\approx [0,1]$ infatti $f\from [0,1] \to S^1$ t.c. $f(t) \mapsto e^{i2\pi t} = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ $f$ è continua, $f(1) = (1,0)$ è iniettiva [...] è suriettiva e $f^{-1}$ è continua infatti $\exists f^{-1}\from S^{1} \to [0,1]$ t.c. $f(y) = \log _ e(y) \cdot \dfrac {1}{2i \pi }$.

b) [...] non $\exists $ una funzione biunivoca continua $[0,1] \to (0,1)$ prendiamo $f\from (0,1) \to [0,1]$ tale che $x\mapsto y=x$ vediamo subito che non è iniettiva in quanto $y=1$, $y=0$ non hanno controimmagine tramite $f$

[...] se per assurdo $\exists $ $f\from (0,1) \to [0,1]$ t.c. $f$ omeomorfismo, significherebbe che $f$ è biunivoca, continua, con inversa continua. In particolare, si avrebbe che $f^{-1}(0) = 0$, $f^{-1}(1)=1$. Ma $\{ 0\} \not\in (0,1)$ e $\{ 1\} \not\in (0,1)$, quindi siamo giunti ad un assurdo. Questo dimostra che $(0,1)$ e $[0,1]$ non sono omeomorfi.

[...] l’immagine di un aperto attraverso una funz. continua è aperto, invece $[0,1]$ è chiuso.

[...] $X=(0,1) \approx [0,1] =Y$ $\implies $ esisterebbe una funzione continua e biunivoca da $(0,1)$ a $[0,1]$ $\implies $ $f(X) = Y$ e dato che è continua la controimmagine di $[0,1]$ essendo chiuso dovrebbe essere un chiuso essendo $f$ continua ma $f^{-1}(Y) = X$ è aperto $\implies $ assurdo $(0,1) \not\approx [0,1]$

c) [...] $X=A\cup B$ è connesso $A\neq \emptyset $, $B\neq \emptyset $ poiché $X$ è connesso, esso non può essere unione di due aperti non vuoti disgiunti (o rispettivamente chiusi) quindi se $A$, $B$ sono aperti $\to A\cap B\neq \emptyset $ per definizione $\implies $ allora anche $\bar A\cap B$ e $\bar B \cap A$ sono $\neq \emptyset $ se $A$ è aperto e $B$ è chiuso (o viceversa) per forza $B=X\smallsetminus A$ e $X=A\oplus B$ poiché $X=A\cup B$ $\implies $ quindi $\bar A \cap B \neq \emptyset $ (o $\bar B\cap A\neq \emptyset $ se $B$ aperto e $A$ chiuso)

d) [...] Se $X\subset \RR $ non è un intervallo allora non è connesso se $X$ non è un intervallo $\implies $ presi $a,b\in X$ $\exists s\not\in X$ t.c. $a < s < b$ possiamo quindi supporre $X=(a,b)\smallsetminus \{ s\} $ $\implies $ $X$ risulta essere l’unione disgiunta di due aperti: $(a,s)$, $(s,b)$ ossia $X=(a,s)\cup (s,b)$ $\implies $ $X$ non è connesso per definizione.

[...] Se $X\subset \RR $ non è un intervallo, o è l’insieme vuoto, o è un insieme di punti isolati, o è un’unione disgiunta di intervalli. In tutti e tre i casi siamo di fronte a esempi di insiemi non connessi.