1. Esercizi svolti

(1) Determinare gli elementi dei seguenti insiemi:

  1. $\{ x\in \ZZ : \forall z\in \ZZ , \exists y \in \ZZ : xz = y \} $;

  2. $\{ x\in \ZZ : \exists y \in \ZZ : \forall z\in \ZZ , xz = y \} $;

  3. $\{ x\in \RR : \exists y \in \ZZ : \forall z \in \QQ , xz= y \} $.

Sol:
  1. Osserviamo che si può scrivere

    \[ \{ x\in \ZZ : \forall z\in \ZZ , \exists y \in \ZZ : xz = y \} = \{ x\in \ZZ : \forall z\in \ZZ , xz \in \ZZ \} , \]

    e dato che il prodotto di interi è sempre un numero intero si ha

    \[ \{ x\in \ZZ : \forall z\in \ZZ , xz \in \ZZ \} = \ZZ . \]
  2. Fissto un $x\in \ZZ $, definiamo l’insieme

    \[ S_ x = \{ x z : z \in \ZZ \} . \]

    Allora si può scrivere

    \[ X = \{ x \in \ZZ : \exists y \in \ZZ : \forall z \in \ZZ , xz = y \} = \{ x \in \ZZ : \exists y \in \ZZ : S_ x = \{ y \} \} . \]

    Ora, si può facilmente vedere che

    \[ S_ x = \begin{cases} \{ 0\} & \text {se $x=0$} \\ \text {l’insieme dei multipli di $x$} & \text {se $x\neq 0$}. \\ \end{cases} \]

    Quindi se $x\neq 0$ sicuramente $x\not\in X$, mentre se $x=0$ si ha $x\in X$. Segue che $X = \{ 0 \} $.

  3. Ora calcoliamo l’insieme $Y = \{ x\in \RR : \exists y \in \ZZ : \forall z \in \QQ , xz= y \} $. Si può procedere come sopra, oppure nel modo seguente: se $x_0\in Y$, allora per definizione esiste $y\in \ZZ $ tale che $ x_0 z = y$ per ogni $z\in \QQ $. Se $x_0 \neq 0$, allora questo significa che esiste un certo intero $y$ (fissato) per cui ogni $z\in QQ$ è uguale a $\frac{y}{x_0}$, ma questo è falso. Quindi necessariamente deve essere $x_0 = 0$, cioè $Y \subset \{ 0\} $. Mostriamo che $\{ 0\} \subset Y$, cioè che $0\in Y$, ovvero

    \[ \exists y \in \ZZ : \forall z \in \QQ , 0 z = y. \]

    Come sopra, basta prendere $y=0$. Questo significa che $Y=\{ 0\} $.

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(2) Determinare se i seguenti insiemi sono aperti della topologia indicata. Quali sono chiusi?

  1. $\{ x\in \QQ : x\leq 2\} $ (nella topologia di $\QQ $).

  2. $\{ x\in \QQ : x\leq 2\} $ (nella topologia di $\RR $).

  3. $\{ x\in \QQ : x^2\leq 2\} $ (nella topologia di $\QQ $).

  4. $\{ x\in \QQ : x^2\leq 2\} $ (nella topologia di $\RR $).

  5. $\{ x\in \RR : x^2\leq 2\} $ (nella topologia di $\RR $).

Sol: Sappiamo che nelle topologie di $\RR $ e $\QQ $ gli intervalli del tipo $(-\infty ,b)$, $(a,\infty )$ sono aperti. Questo implica che gli intervalli del tipo $[b,\infty )$, $(-\infty ,a]$ sono chiusi (complementari di aperti).

  1. $\{ x\in \QQ : x\leq 2\} $ (nella topologia di $\QQ $): è chiuso (perché si può scrivere come intervallo $(-\infty ,2]$) e non è aperto (perché il punto $2$ non è interno).

  2. $\{ x\in \QQ : x\leq 2\} $ (nella topologia di $\RR $): non è chiuso (se fosse chiuso dovrebbe contenere tutti i suoi punti di accumulazione; ma basta prendere opportunamente una successione di razionali che converge a $\sqrt {2} < 2$ per notare che questo non è vero) e non è aperto (non solo $2$ non è interno: nessun punto è interno in $\RR $!).

  3. $\{ x\in \QQ : x^2\leq 2\} $ (nella topologia di $\QQ $): Dal momento che $\sqrt {2}\not\in \QQ $, si può scrivere

    \[ \begin{split} \{ x\in \QQ : x^2\leq 2\} & = [-\sqrt {2},\sqrt {2}] \cap \QQ \\ & = (-\sqrt {2},\sqrt {2}) \cap \QQ \\ \end{split} \]

    e quindi l’insieme preso in considerazione è sia chiuso che aperto.

  4. $\{ x\in \QQ : x^2\leq 2\} $ (nella topologia di $\RR $): come sopra, non è né chiuso né aperto.

  5. $\{ x\in \RR : x^2\leq 2\} $ (nella topologia di $\RR $): qui l’insieme è uguale a $[-\sqrt {2},\sqrt {2}]$, che è chiuso e non è aperto (gli estremi non sono interni ma appartengono all’intervallo).

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(3) È vero che se un insieme $X$ è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera? E il viceversa (cioè è vero che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito di punti)?

Sol: Mostriamo che se un insieme $X$ è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera, cioè ogni ricoprimento mediante aperti di $X$ ammette un sottoricoprimento finito. Infatti, se $\{ U_ i\} $ è un ricoprimento di $X$, dal momento che $X$, essendo finito, ha un numero finito di sottoinsiemi, solo un numero finito degli aperti che costituiscono il ricoprimento $\{ U_ i\} $ sono distinti. Basta quindi eventualmente eliminare le ripetizioni nel sottoricoprimento (cioè cancellare gli aperti $U_ i$ che compaiono più volte) per ottenere il sottoricoprimento finito cercato.

Viceversa: mostriamo che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito di punti. In particolare, deve essere compatto rispetto alla topologia discreta (dato che è compatto rispetto ad ogni possibile topologia), che ha per aperti tutti i sottoinsiemi di $X$. Ma allora deve esistere un sottoricoprimento finito di ogni ricoprimento: prendiamo come ricoprimento di $X$ la famiglia di insiemi contenenti un solo elemento di $x$:

\[ X = \bigcup _{x\in X} \{ x\} . \]

Ma questo ricoprimento non ha sottoricoprimenti (se togliamo uno qualsiasi degli aperti $\{ x\} $ il punto $x$ non è coperto da un aperto del ricoprimento), e quindi deve essere necessariamente finito. Ma se tale ricoprimento è finito, allora $X$ ha un numero finito di punti.

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(4) Determinare se i seguenti sottospazi di $\RR ^2$ (con la topologia metrica di $\RR ^2$) sono connessi oppure no.

  1. $X=\{ (x,y)\in \RR ^2 : xy=1 \} $;

  2. $Y=\{ (x,y)\in \RR ^2 : (xy-1)(x-y)=0 \} $;

  3. $Z=\{ (x,y)\in \RR ^2 : {x}^{2}y-x{y}^{2}-x+y=0 \} $.

Sol:
  1. $X=\{ (x,y)\in \RR ^2 : xy=1 \} $: consideriamo in $\RR ^2$ i due aperti $U=\{ (x,y) \in \RR ^2 : x > 0$ e $V=\{ (x,y)\in \RR ^2 : x < 0 \} $. Le intersezioni $A = X\cap U $ e $B= X \cap V$ sono non vuote (infatti $(1,1) \in A$ e $(-1,-1) \in B$), disgiunte (dato che $U\cap V = \emptyset $), tali che $X=A\cup B$ (dato che $(x,y) \in X \iff xy=1 \implies x \neq 0$) e sono aperti nella topologia indotta di $X$ (visto che $U$ e $V$ sono aperti nella topologia di $\RR ^2$). Questo significa che $X$ non è connesso.

  2. $Y=\{ (x,y)\in \RR ^2 : (xy-1)(x-y)=0 \} $: per la legge di annullamento del prodotto, $(xy-1)(x-y) = 0$ se e solo se uno dei due fattori $(xy-1)$ e $(x-y)$ si annulla. Cioè, se indichiamo con $R$ la retta $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x-y=0 \} $, si ha

    \[ Y = X \cup R, \]

    ($Y$ è l’unione dell’iperbole $X$ con la retta $R$). Ma osserviamo che $X$ è unione dei suoi due rami $A$ e $B$ (vedi sopra), che sono connessi (non è difficile trovare due funzioni continue e suriettive $f\from (-\infty ,0) \to B$ e $g\from (0,\infty ) \to A$). Quindi $Y$ è unione dei tre spazi connessi $A$, $B$ e $R$, e $A\cap R \neq \emptyset $, $B\cap R \neq \emptyset $. Possiamo dedurre (per esempio, dalla proposizione 12.9) che $Y$ è connesso (in questo caso basta una giustificazione intuitiva).

  3. $Z=\{ (x,y)\in \RR ^2 : {x}^{2}y-x{y}^{2}-x+y=0 \} $: risulta $Z=Y$.

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(5) Si consideri la famiglia $\tau $ di tutti i sottoinsiemi di $\NN = \{ 0,1,2, ... \} $ costitutita dall’insieme vuoto, da $\NN $ e da tutti i sottoinsiemi del tipo

\[ \{ 1\} , \{ 1,2\} , \{ 1,2,3\} , \{ 1,2,3,4\} , \{ 1,2,3,4,5\} ... \]

È vero che $\tau $ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia, $\NN $ è connesso? È compatto?

Sol: Per mostrare che è una topologia dobbiamo mostrare che $\emptyset \in \tau $, $\NN \in \tau $, che l’unione di una famiglia qualsiasi di elementi di $\tau $ è ancora un elemento di $\tau $ e che l’intersezione di una famiglia finita di elementi di $\tau $ è ancora un elemento di $\tau $. Osserviamo quindi che ogni elemento di $\tau $ diverso da $\emptyset $ e da $\NN $ si può scrivere come $U_ n = \{ k \in \NN : 1\leq k \leq n\} $ per un certo $n\geq 1$. Consideriamo quindi una famiglia (finita o infinita) di aperti $U_{n_ i}$. Sia $X$ l’unione

\[ X = \bigcup _{i} U_{n_ i}. \]

Vogliamo mostrare che $X\in \tau $. Osserviamo che se $x\in X$ e $1 \leq y\leq x$, allora $y\in X$. Infatti, se $x\in X$, allora esiste $U_{n_ i}$ per cui $x\in U_{n_ i}$ (oppure $X=\NN $, ma questo caso lo escludiamo perché banale). Ma dato che $U_{n_ i}$ contiene tutti gli interi $k\geq 1$ e $k\leq n_ i$, deve essere $x \leq n_ i$, e quindi $U_{n_ i}$ (e di conseguenza $X$) contiene tutti i numeri $y\leq x$, $y\geq 1$. Ma questo significa che se $X$ è limitato, allora esiste $U_ M$ tale che $X=U_ M$, e quindi è aperto. Ma se $X$ non è limitato? Allora, per lo stesso argomento, risulta

\[ X= \{ k \in \NN : 1 \leq k \} = \{ 1,2, ... \} \]

C’è quindi un problema: l’unico insieme di $\tau $ non limitato è $\NN = \{ 0,1,2, ... \} $, che contiene in più l’elemento $0$ ... Quindi $\tau $ non è una topologia.

Per chi vuole proseguire togliendo lo $0$ da $\NN $ ...

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(6) Se $X$ è uno spazio topologico con due sottospazi $A$ e $B$ non vuoti e disgiunti tali che $\overline{A} \cap B = \emptyset $, allora è vero che $X$ di certo non è connesso?

Sol: No, basta prendere per esempio $X= \RR $, $A=\{ 0\} $ e $B=\{ 1\} $. I due sottoinsiemi $A$ e $B$ sono non vuoti e disgiunti, e $\overline{A} = A$, per cui $\overline{A} \cap B = \emptyset $. Ma $X=\RR $ è connesso.
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(7) Determinare se l’intervallo $I = \{ x, \in \RR : 0\leq x \leq 1 \} $ meno un punto $x_0\in I $ è compatto e connesso, al variare di $x_0$. ($I\smallsetminus x_0 = \{ x \in I : x\neq x_0\} $ ).

Sol: Per prima cosa dimostriamo che $I\smallsetminus \{ x_0\} $ non è mai compatto. Per il teorema di Heine-Borel, basta dimostrare che per ogni $x_0 \in I$ lo spazio $I\smallsetminus \{ x_0\} $ non è chiuso nella topologia di $\RR $. Infatti, fissato $x_0$ esiste una successione $\{ x_ n\} $ in $I\smallsetminus \{ x_0\} $ che converge a $x_0$, cioè $x_0$ è di accumulazione per $I\smallsetminus \{ x_0\} $. Ma $x_0 \not\in I \smallsetminus \{ x_0\} $, e quindi abbiamo trovato un punto di accumulazione di $I\smallsetminus \{ x_0\} $ non contenuto in $I\smallsetminus \{ x_0\} $ (cioè esso non contiene tutti i suoi punti di accumulazione, ovvero non è chiuso).

Per quanto riguarda la connessione, sappiamo che i sottoinsiemi connessi di $\RR $ sono tutti e soli gli intervalli. Ma $I\smallsetminus \{ x_0\} $ è un intervallo se $x_0=0$ oppure $x_0=1$ (infatti, rispettivamente si ha $(0,1]$ e $[0,1)$ ), mentre non lo è se $0 < x_0 < 1$. Se ne deduce immediatamente che:

\[ I \smallsetminus \{ x_0\} \text {\ è:} \begin{cases} \text {connesso} & \text {se $x_0=0$ oppure $x_0=1$;} \\ \text {non connesso} & \text {se $0 < x_01$.} \\ \end{cases} \]
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(8) Si consideri il sottoinsieme di $\RR $ definito da

\[ X = \left\{ x\in \RR : x = \dfrac {p}{q}, p,q\in \ZZ , |pq|\leq 10^{100}\right\} . \]

Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia euclidea di $\RR $):

  1. $X$ è chiuso;

  2. $X$ è aperto;

  3. $X$ è compatto.

Sol: L’insieme $X$ consiste di tutti i numeri reali che si possono scrivere come quoziente di due interi il cui modulo del prodotto non supera $10^{100}$ (e quindi ha al più 100 cifre). Siano $p$ e $q$ due interi positivi (e quindi $p\geq 1$, $q\geq 1$). Se $pq \leq 10^{100}$, allora $q \leq \frac{10^{100}}{p} \leq 10^{100}$, dato che $p\geq 1$. Lo stesso vale per $q$. Ne segue che ci sono un numero finito di coppie $(p,q)$, con $p\geq 1$, $q\geq 1$ e tali che $pq\leq 10^{100}$ e quindi solo un insieme finito di numeri (che chiamiamo $X_{ > 0}$ che si possono scrivere come $x=frac{p}{q}$, con $p\geq 1$ e $q\geq 1$. Ora, se $p=0$ ci sono infiniti $q$ tali che $|pq|\leq 10^{100}$, ma tutti danno luogo allo stesso elemento $0\in X$. Invece, non può essere $q=0$. Da ciò si deduce che $X$ può essere quindi scritto come l’unione di tre insiemi finiti: l’insieme $X_{ > 0}$ definito sopra, l’insieme $\{ 0\} $ e $X_{ < 0} = - X_{ > 0}$, cioè l’insieme degli opposti di tutti gli elementi di $X_{ < 0}$. Quindi $X$ è finito.

Ogni punto di $\RR $ è chiuso; ogni unione finita di chiusi è chiusa; dunque ogni insieme finito di $\RR $ è chiuso. Pertanto $X$ è chiuso.

Dato che $\RR $ è connesso, non può contenere sottoinsiemi sia chiusi che aperti diversi da $\emptyset $ e $\RR $, quindi $X$ non è aperto.

$X$ è anche compatto: da ogni ricoprimento mediante aperti di $X$ si può estrarre un sottoricoprimento finito come segue. Se $\{ U_ i\} _{i\in J}$ è la famiglia di aperti del ricoprimento, allora

\[ X \subset \bigcup _{i\in J} U_ i. \]

Per ogni $x\in X$, esiste quindi almeno un $i(x) \in J$ tale che $x\in U_{i(x)}$ (non è necessariamente unico). Fatta la scelta per $i(x)$, si ottiene facilmente che

\[ X \subset \bigcup _{x\in X} U_{i(x)}, \]

e quindi esiste un sottoricoprimento finito di $X$, dato che $X$ è finito.

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(9) Si consideri nel piano euclideo $\EE ^2$ (con la topologia metrica) il sottoinsieme

\[ X = \{ (x,y) \in \EE ^2 : x^2 - y^2 \leq 1 \} . \]

Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera:

  1. $X$ è chiuso;

  2. $X$ è aperto;

  3. $X$ è compatto;

  4. $X$ è connesso.

Sol: Osserviamo che la funzione $f\from \EE ^2 \to \RR $ definita da $f(x,y) = x^2 - y^2$ è una funzione continua. Ma allora la controimmagine di un chiuso di $\RR $ è un chiuso di $\EE ^2$, e la controimmagine di un aperto di $\RR $ è un aperto di $\EE ^2$. La controimmagine dell’intervallo $(-\infty ,1]$ (che è un chiuso di $\RR $) è uguale a

\[ f^{-1} \left( (-\infty ,1] \right) = \{ (x,y) \in \EE ^2 : f(x) \in (-\infty ,1] \} = X, \]

e quindi $X$ è chiuso.

$X$ non è aperto: consideriamo per esempio il punto di coordinate $(1,0)$. Ogni suo intorno circolare contiene punti del tipo $(1+\epsilon ,0)$ e $(1-\epsilon ,0)$, con $\epsilon > 0$ piccolo a piacere. Ma $(1+\epsilon )^2 \leq 1$ accade solo per $\epsilon = 0$, e quindi $(1,0)$ non è interno a $X$.

Per il teorema di Heine-Borel, $X$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Dato che è chiuso, è compatto se e solo se è limitato. Non è limitato: per ogni $R\in \RR $ il punto di coordinate $(0,R)$ appartiene a $X$, dato che per ogni $R$ accade che $-R^2 \leq 1$. Quindi non è compatto.

Per mostrare che è connesso, basta osservare che è connesso per archi: osserviamo che dal punto $O=(0,0)$ si può raggiungere un qualsiasi punto $(x_0,y_0)$ di $X$ mediante un cammino rettilineo. Infatti, se $x_0^2 - y_0^2 \leq 1$, allora per ogni $t\in [0,1]$ si ha

\[ (tx_0)^2 - (ty_0)^2 = t^2 ( x_0^2 - y_0^2 ) \leq t^2 \leq 1 \]

, e quindi il punto $\gamma (t) = (tx_0, t y_0)$ sta in $X$. Quindi $\gamma (t)$ definisce un cammino continuo che parte da $(0,0)$ (per $t=0$) e arriva a $(x_0,y_0)$ (per $t=1$), e $X$ è connesso per archi.

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(10) Determinare i punti di accumulazione in $\RR $ del sottoinsieme di $\QQ $ definito da

\[ \{ \dfrac {p}{10^ q} : p,q\in \ZZ \} . \]

È vera o no la seguente uguaglianza?

\[ \{ \dfrac {p}{10^ q} : p,q\in \ZZ \} = \{ \dfrac {p}{100^ q} : p,q\in \ZZ \} \]

Sol: Sia $X = \{ \dfrac {p}{10^ q} : p,q\in \ZZ \} $ il sottoinsieme di $\QQ $ in questione. Si tratta di tutti i numeri razionali che hanno rappresentazione decimale con un numero finito di cifre (anche dopo la virgola).

Prima di procedere, osserviamo che non tutti i numeri razionali si possono scrivere in forma decimale con un numero finito di cifre: $\frac{1}{3}$ e tutte le frazioni con gruppi di cifre periodiche non possono. Ma per ogni numero reale $x$ (razionale o no) esiste una successione di numeri decimali canonica (con numero di cifre crescente) che converge a $x$: quella che si ottiene troncando alla $q$-esima cifra la parte decimale. Ciascuno dei termini della successione è un elemento di $X$, per cui ogni numero reale è limite di una successione di elementi di $X$; segue che la chiusura di $X$ è uguale a $\RR $. Ora, i punti di $\RR \smallsetminus X$ sono sicuramente di accumulazione. Rimane da vedere quali punti di $X$ sono di accumulazione o, equivalentemente, quali punti di $X$ sono isolati. Se esistesse un punto $x_0 \in X$ isolato (cioè tale che esiste $\epsilon > 0$ per cui nell’intervallo $(x_0 - \epsilon , x_0 + \epsilon )$ non ci sono altri elementi di $X$ all’infuori di $X$), allora per un certo $\epsilon > 0$ dovrebbe essere che nessun numero dell’intervallo

\[ \left( \dfrac {\bar p}{10^{\bar q}} , \dfrac {\bar p}{10^{\bar q}} + \epsilon \right) \]

è di $X$. Ma la somma di due frazioni in $X$ è ancora in $X$ (perché?), e quindi basta prendere un $l$ intero abbastanza grande per cui $\dfrac {1}{10^ l} < \epsilon $ ed ottenere l’elemento $\dfrac {\bar p}{10^{\bar q}} + \dfrac {1}{10^ l}$ di $X$ che verifica le disuguaglianze

\[ \dfrac {\bar p}{10^{\bar q}} < \dfrac {\bar p}{10^{\bar q}} + \dfrac {1}{10^ l} < \dfrac {\bar p}{10^{\bar q}} + \epsilon . \]

Dunque tutti i numeri reali sono di accumulazione per $X$.

Ora, consideriamo i due insiemi

\[ X = \{ \dfrac {p}{10^ q} : p,q\in \ZZ \} \]

e

\[ Y= \{ \dfrac {p}{100^ q} : p,q\in \ZZ \} . \]

Dato che $10^2 = 100$, ogni elemento di $Y$ si può scrivere come

\[ \dfrac {p}{100^ q} = \dfrac {p}{10^{2q}}, \]

e quindi $Y \subset X$. Ma, viceversa, ogni elemento di $X$ si può scrivere come

\[ \dfrac {p}{10^ q} = \dfrac {p \cdot 10^ q }{ 10^ q \cdot 10^ q } = \dfrac {10^ q p}{100^ q}, \]

e quindi $X \subset Y$. Segue che $X=Y$.

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(11) Quali tra i seguenti insiemi sono aperti (nelle topologie corrispondenti)? Quali chiusi? Quali compatti?

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 \leq 2xy + 1 \} $;

  2. $\{ (z,w) \in \CC ^2 : z^2 - w^3 = 1 = |z|^2 - w^3\} $;

  3. $\{ xe^{ix} : x > 0\} \subset \CC \cong \RR ^2$;

  4. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : \max (|x+y|,|x-y|) \leq 1 \} $.

Sol: L’insieme $X= \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 \leq 2xy + 1 \} $ è anche l’insieme di soluzioni dell’equazione

\[ x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 \leq 1, \]

cioè le controimmagini dell’intervallo chiuso $[-1,1]$ mediante la funzione continua

\[ f(x,y) = x-y. \]

Dunque $X$ è chiuso. Si tratta della striscia compresa tra le rette di equazioni $y=x-1$ e $y=x+1$. Non è vuoto ($(0,0) \in X$) e non è tutto $\RR ^2$ ( $(0,2) \not\in X$ ), e quindi non è aperto (dato che gli unici aperti-chiusi di $\RR ^2$ sono l’insieme vuoto e $\RR ^2$ stesso). Il punto $(n,n)$, per ogni $n\in \ZZ $, è in $X$ e quindi $X$ non è limitato: $X$ non è compatto.

L’insieme $X \{ (z,w) \in \CC ^2 : z^2 - w^3 = 1 = |z|^2 - w^3\} $ è chiuso, perché la funzione $f\from \CC ^2 \to \CC ^2$ definita da

\[ f(z,w) = (z^2-w^3, |z|^2 - w^3 ) \]

ha componenti continue e quindi è continua. Pertanto la controimmagine di $(1,1) \in \CC ^2$, che è un chiuso di $\CC ^2$, è un chiuso. Osserviamo che se $(z,w) \in X$, allora

\[ z^2 = |z|^2 \iff z^2 = z \overline{z} \iff z(z-\overline{z}) =0 \]

e quindi $z$ è reale. Dunque $X\neq \CC ^2$. Il sistema ha soluzioni? Per esempio $(z,w) = (1,0)$ è una soluzione, e quindi $X\neq \emptyset $. Ne segue che $X$ non può essere sia aperto che chiuso, e quindi non è aperto (dato che è chiuso). Ora, è compatto se e solo se è limitato. Ora, per ogni $t\in \RR $ esistono sicuramente dei $w\in \CC $ tali che

\[ w^3 = t^2 - 1 \iff t^2 - w^3 = 1, \]

e quindi $X$ non è limitato.

Passiamo a $ X = \{ xe^{ix} : x > 0\} \subset \CC \cong \RR ^2$, come è rappresentato in figura:

img #2

Il punto $0 \in \CC $ è di accumulazione per $X$: infatti, nell l’intorno circolare $B_\epsilon (0)$ ci sono sempre infiniti punti di $X$

\[ B_\epsilon (0) \cap X = \{ xe^{ix} : 0 < x < \epsilon \} . \]

Dato che $0\not\in X$, $X$ non è chiuso. Non è nemmeno aperto: in coordinate polari, $X$ si scrive come $\{ (r,\theta ) : r=\theta \} $,che non è un aperto di $ (0,\infty ) \times S^1$. Non è limitato, dato che $|xe^{ix}| = |x|$, e quindi non è compatto.

Finiamo con l’insieme $X = \{ (x,y) \in \RR ^2 : \max (|x+y|,|x-y|) \leq 1 \} $. Come sopra, risulta chiuso (dato che controimmagine dell’intervallo chiuso $(-\infty ,1]$ mediante la funzione

\[ f(x,y) = \max (|x+y|,|x-y|). \]

È il quadrato (chiuso) di $\RR ^2$ con vertici nei punti $(\pm 1,0)$, $(0,\pm 1)$, e quindi non è né vuoto né $\RR ^2$: non è aperto. È limitato: se $ \max (|x+y|,|x-y|) \leq 1$, allora $|x+y|\leq 1$, $|x-y|\leq 1$ e quindi $-1 \leq x+y \leq 1$, $-1 \leq x-y\leq 1$, $-1\leq y-x\leq 1$. Sommando le prime due si ha $-2\leq 2x \leq 2 \implies -1\leq x\leq 1$. Sommando la prima e la terza si ha $-2\leq 2y \leq 2$ e quindi $|y|\leq 1$.

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Nota 1. Per favore usare l’italiano e la punteggiatura correttamente:

«Considero quindi i punti tali che $f(x,y) \to x-y$ allora questi punti devono essere $\leq \{ 1\} $ $\implies $ sono tutti punti di accumulazione e sono contenuti nel nostro insieme quindi il nostro insieme è chiuso ma non è aperto perché se considero i punti $(x,y)$ che sono uguali al $\{ 1\} $ allora questi avranno un’intorno che non è completamente contenuto nel nostro insieme inoltre non è compatto perché non è limitato»

Nota 2. È vero che la controimmagine di un aperto (risp. chiuso) mediante una funzione continua è un aperto (risp. chiuso). Ma non è vero che la controimmagine di un non-aperto è per forza un non-aperto!

(12) Quali sono i punti di accumulazione dei seguenti insiemi di punti:

  1. $\{ (1+\dfrac {1}{t}) e^{it}\in \CC : t \in \RR , t > 0 \} \subset \CC $;

  2. $\{ \dfrac {p}{q} : p,q \in \ZZ , 1\leq q^2 \leq 1000\} \subset \RR $;

  3. $\{ \dfrac {p}{q} : p,q \in \ZZ , q\geq 1, p^2 \leq 1000\} \subset \RR $;

  4. $\{ \dfrac {p}{q} : p,q \in \ZZ , q\geq 1000, p \geq 1000\} \subset \RR $.

Sol: Se $X = \{ (1+\dfrac {1}{t}) e^{it}\in \CC : t \in \RR , t > 0 \} \subset \CC $, allora $X$ è l’immagine della funzione

\[ f\from (0,\infty ) \to \CC \]

definita da

\[ f( t) = (1+\dfrac {1}{t}) e^{it}. \]
img #3

Tutti i punti di $A= (0,\infty )$ sono di accumulazione per il dominio $A = (0,\infty )$, e quindi le immagini $f(t)$ sono di accumulazione per $X = f(A)$. Mostriamo che anche tutti i punti della circonferenza unitaria $S^1 = \{ z \in \CC : |z|=1 \} $ sono di accumulazione per $X$. Infatti, se $z_0 = e^{i\theta _0}$ è un punto della circonferenza, per ogni $\epsilon > 0$ si ha

\[ B_\epsilon (z_0) \cap X = \{ (1+\dfrac {1}{t}) e^{it} : \left|(1+\dfrac {1}{t}) e^{it} - e^{i\theta _0} \right| < \epsilon , t > 0 \} , \]

che contiene tutti i punti (con $k\in \ZZ $, $k > 0$)

\[ (1+\dfrac {1}{\theta _0+2k\pi }) e^{i(\theta _0+2k\pi )} \]

tali che

\[ \dfrac {1}{\theta _0+2k\pi } < \epsilon . \]

Questi sono infiniti, se $k\to \infty $. Vogliamo mostrare che se $y\not\in X$, allora $|y|=1$. Infatti, sia $|y|\neq 1$ e $y\not\in X$ un punto di accumulazione: se $|y| < 1$, $y$ non può essere di accumulazione (perché?), quindi $|y| > 1$. Ora, sia $y=r_0e^{i t_0}$, con $r_0 > 1$ e $t_0 > 0$. L’intorno $B_\epsilon (y)$ contiene l’aperto

\[ U_{\epsilon ',\epsilon ''} = \{ z e^{it} : |z-z_0| < \epsilon ’, |t-t_0| < \epsilon ” \} , \]

se $\epsilon ’$ e $\epsilon ”$ sono abbastanza piccoli. Ma dato che $y\not\in X$, $r_0 \neq 1+ 1/(t_0+2k\pi )$ per tutti i $k$, e quindi per $\epsilon ’$ e $\epsilon ”$ abbastanza piccoli $U_{\epsilon ',\epsilon ''}$ non interseca $X$: $y$ non può essere di accumulazione.

Veniamo a $X = \{ \dfrac {p}{q} : p,q \in \ZZ , 1\leq q^2 \leq 1000\} \subset \RR $; in ogni intervallo $[a,b]$ di $\RR $ cadono un numero finito di elementi di $X$, e quindi $X$ non ha punti di accumulazione.

Se invece $X = \{ \dfrac {p}{q} : p,q \in \ZZ , q\geq 1, p^2 \leq 1000\} \subset \RR $, se $x$ è di accumulazione, allora ci devono essere infiniti $p_ n/q_ n \in X$ distinti che formano una successione convergente a $X$. Ma i $p_ n$ possono assumere solo valori tra $-\sqrt {1000} $ e $\sqrt {1000}$, mentre la successione $q_ n$ necessariamente deve tendere a $\infty $: l’unico punto di accumulazione è $0$.

L’ultimo, $X = \{ \dfrac {p}{q} : p,q \in \ZZ , q\geq 1000, p \geq 1000\} \subset \RR $, chiaramente ha tutta la semiretta $\RR _{\geq 0} = [0,\infty )$ di accumulazione. Infatti, se $p_ n/q_ n$ è una successione di razionali positivi, $1000 p_ n / (1000 q_ n) \in X$ per ogni $n$.

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(13) Sia $C\subset \QQ $ un sottospazio compatto di $\QQ $, con la topologia della metrica euclidea.

  1. $C$ è chiuso (in $\QQ $)?

  2. $C$ è limitato?

  3. Può essere connesso?

  4. Si dia, se esiste, un esempio di un tale $C$ che abbia un numero infinito (numerabile) di punti.

  5. Esiste un tale $C$ con un insieme non numerabile di punti?

Sol: Ogni compatto in un Hausdorff (e quindi in un metrico) è chiuso, e quindi $C$ è chiuso. Ogni compatto in un metrico è limitato, e quindi $C$ è limitato. Può essere connesso: basta che abbia un punto solo! Un compatto di $\QQ $ è l’insieme $X=\{ 0\} \cup _{n\geq 1} \{ 1/n\} $. I razionali sono numerabili, e quindi non possono avere sottoinsiemi non numerabili.
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(14) Sia $\QQ $ la retta razionale con la topologia della metrica euclidea.

  1. Dimostrare che $\QQ $ non è connesso, e determinarne le componenti connesse.

  2. Si consideri l’insieme di tutti gli intervalli di $\QQ $ del tipo

    \[ U_{h,k} = \{ x\in \QQ : h < x < k, \text { con $h$ e $k$ in $\ZZ $} \} . \]

    Dimostrare che è una base per una topologia di $\QQ $.

  3. $\QQ $ è connesso rispetto alla topologia generata dalla base degli $U_{h,k}$?

Sol: Le componenti connesse di $\QQ $ sono i singoli punti: è un esercizio già svolto (quale?). Per mostrare che l’insieme degli intervalli $U_{h,k}$ è una base, basta osservare che ogni razionale è contenuto in qualche $U_{h,k}$, e che l’intersezione di $U_{h,k}$ con $U_{h',k'}$, quando non vuota, è uguale a $U_{\max (h,h'),\min (k,k')}$. Rispetto alla topologia generata da questa base, $\QQ $ è connesso: infatti, supponiamo che $A\subset \QQ $ sia un insieme aperto e chiuso che contiene $n\in \ZZ \subset \QQ $. Allora, se $n+1\not\in A$, deve esistere un intorno $U_{h,k}$ di $n+1$ che non interseca $A$ (dato che $A$ è anche chiuso). Ma ogni intorno della base di $n$ ha intersezione non vuota con ogni intorno della base di $n+1$, e quindi deve essere necessariamente $n+1\in A$. Nello stesso modo si dimostra che se $n\in A$, allora $n-1 \in A$. Ma allora $A$, se $A$ contiene $0$ (e deve esistere un aperto chiuso che contiene $0$!), contiene tutti i punti interi $\ZZ $, e quindi $A=\QQ $.
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(15) Determinare quali dei seguenti sottoinsiemi sono aperti, chiusi, e compatti (nelle rispettive topologie).

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^3 + 3x^2y + 3xy^2 +y \geq 1 \} $;

  2. $\{ z \in \CC : z^3 = - \overline{z} \} $;

  3. $\{ (z,w)\in \CC ^2 : z^2 = w(w-1) \} $ ;

  4. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : (x^2+y^2 - 1)^{-1} \in \ZZ \} $;

  5. $ \{ t + \sqrt {-1} t \cos \frac{1}{t} : t \in \RR \smallsetminus \{ 0\} \} $.

Sol: L’insieme $X=\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^3 + 3x^2y + 3xy^2 +y \geq 1 \} $ è la controimmagine dell’intervallo chiuso $[1,\infty )$ mediante la funzione continua

\[ f(x,y) = (x+y)^3 - y^3 + y. \]

Quindi è chiuso. Rato che $\RR ^2$ è connesso, per mostrare che non è aperto basta vedere che non è né $\emptyset $$\RR ^2$. Infatti, $f(0,0) = 0 < 1 \implies X \neq \RR ^2$. Analogamente, $f(0,2)= 2 > 1 \implies X \neq \emptyset $. Il sottoinsieme chiuso $X$ è compatto se e solo se è limitato (per il teorema di Heine–Borel): non è limitato, dato che contiene tutti i punti $(0,n)$, con $n\geq 1$.

Passiamo ora a $X = \{ z \in \CC : z^3 = - \overline{z} \} $. In coordinate polari, $z=r e^{i\theta }$, dunque $X$ è il sottoinsieme di tutti i punti di $\CC $ che soddisfano l’equazione

\[ r^3 e^{3i\theta } = re^{(\pi - \theta )i}, \]

da cui segue

\[ {\left\{ \begin{aligned} r^3 & = r & & \text {($r\geq 0$)} \\ 3\theta & = \pi -\theta + 2k\pi & & \text {con $k \in \ZZ $,} \end{aligned}\right. } \]\[ {\left\{ \begin{aligned} r\in \{ 0,1\} \\ \theta = \dfrac {\pi }{4} + k \dfrac {\pi }{2} & & \text {con $k\in \ZZ $.} \end{aligned}\right. } \]

Si tratta quindi di cinque punti $0$, $e^{\pi /4 + k \pi /2}$, con $k=0,1,2,3$. È un insieme finito di punti: è chiuso, compatto e non aperto.

L’insieme $X= \{ (z,w)\in \CC ^2 : z^2 = w(w-1) \} $ è la controimmagine in $\CC ^2$ di $\{ 0\} $ (chiuso di $\CC $) mediante la funzione $\CC ^2 \to \CC $ definita da

\[ f(z,w) = z^2 - w(w-1). \]

Si tratta quindi di un chiuso. Per mostrare che non è aperto, come sopra, mostriamo che $X\neq \emptyset $ e che $X\neq \CC ^2$. Infatti $(0,0) \in X \implies X \neq \emptyset $; $(1,0) \not\in X \implies X \neq \CC ^2$. Per la compattezza, occorre vedere se è limitato. Basta prendere, per $n$ grande, la coppia $(z,w)=(\sqrt {n(n-1)}, n )$ e osservare che è un elemento di $X$ per ogni $n$: quindi non è limitato.

L’insieme $X=\{ (x,y) \in \RR ^2 : (x^2+y^2 - 1)^{-1} \in \ZZ \} $ è la controimmagine di $\ZZ $ mediante la funzione

\[ f(x,y) = (x^2 + y^2 - 1)^{-1}, \]

che però non è definita su $\RR ^2$ ma sui punti di $\RR ^2$ per cui $x^2+y^2\neq 1$ (cioè tutti i punti tranne quelli della circonferenza unitaria). Si ha che $(x,y) \in X$ se e solo se esiste $k\in \ZZ $ tale che

\[ \dfrac {1}{x^2+y^2-1} = k \]

dove $k\in \ZZ $. L’intero $k$ non può essere zero, e quindi si tratta dell’unione di tutte le circonferenze di raggio $\sqrt {1+ \dfrac {1}{k}}$, con $k\neq 0$ (per $k=-1$ si ha la circonferenza degenere di raggio nullo). L’insieme $X$ è chiuso nel sottospazio $U=\RR ^2 \smallsetminus \{ x^2+y^2=1\} $, ma non è chiuso in $\RR ^2$: la successione di punti di $X$ definita da $(\sqrt {1+1/n},0)$ converge a $(1,0)$ che non è in $X$. Non è nemmeno limitato, e quindi non è compatto. Se $X$ è un aperto di $U$, allora esiste $V\subset \RR ^2$ aperto di $\RR ^2$ tale che $V\cap U = X$, e quindi $X$ sarebbe aperto di $\RR ^2$ perché intersezione di due aperti $U$ e $V$. Viceversa, se $X$ è aperto di $\RR ^2$, allora è aperto di $U$ dato che $X=U\cap X$.

L’insieme non è un aperto di $\RR ^2$ (e quindi non è aperto di $U$): basta mostrare che l’intersezione con l’asse delle $x$ non è un aperto di $\RR $ (per lo stesso motivo). Si tratta di

\[ Y= \{ x\in \RR : x = \pm \sqrt {1 + 1/k} \} . \]

Non è aperto perché, per esempio, il punto $\sqrt {2}$ non è interno: ogni intorno circolare di $\sqrt {2}$ di raggio piú piccolo di $\sqrt {2} - \sqrt {3/2}$ non contiene altri punti di $Y$.

Sia $X= \{ t + \sqrt {-1} t \cos \frac{1}{t} : t \in \RR \smallsetminus \{ 0\} \} $. Per $n\geq 1$ intero, il punto $z_ n = \frac{1}{n} + \sqrt {-1} \frac{\cos n}{n}$ è di $X$; la successione converge a $0$, e quindi $0$ è di accumulazione per $X$ ma non è di $X$: dunque $X$ non è chiuso di $\CC $. Se $X$ fosse aperto, sarebbe aperta l’intersezione con l’asse reale, cioè l’insieme

\[ \{ t \in \RR :t\neq 0, \cos \frac{1}{t} = 0 \} = \{ t \in \RR : t\neq 0, \frac{1}{t} = \frac{\pi }{2} + k \pi , \text { con $k\in \ZZ $} \} , \]

cioè

\[ \{ \dfrac {1}{\pi /2 + k \pi } : k \in \ZZ \} . \]

Come sopra, questo non è un insieme aperto di $\RR $ (basta osservare che per esempio $2/\pi $ non è interno).

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(16) Dimostrare le seguenti proposizioni, quando sono vere. Altrimenti mostrare che sono false. Per ogni $x\in \RR $, denotiamo con $[x]$ la classe di equivalenza di $x$ rispetto alla relazione $ x\sim y \iff x-y\in \ZZ $. Sullo spazio quoziente $ X=\RR /_\sim $ (omeomorfo alla circonferenza $S^1$) definitamo la funzione

\[ d([x],[y]) = \inf \{ |s-t| : s \in [x], t\in [y] \} . \]
  1. La funzione $d\from X\times X \to \RR $ è ben definita.

  2. La funzione $d\from X\times X \to \RR $ è una metrica, tale che per ogni $x,y,z\in \RR $ si ha

    \[ d( [x], [y] ) = d([x+z],[y+z]). \]
  3. La distanza tra due punti di $X$ non può essere maggiore di $1/2$.

  4. Presi $n$ punti a caso su $X$, ce ne sono sempre almeno due con distanza $d([x_1],[x_2]) \leq \dfrac {1}{n}$.

  5. Per $n\geq 1$ intero, e $\alpha \in \RR $ qualsiasi, esiste un intero $q \in [1,n]$ tale che $d([q\alpha ],[0]) \leq \dfrac {1}{n+1}$.

  6. Dedurre il Teorema di approssimazione di Dirichlet: per ogni $n\geq 1$ intero e $\alpha \in \RR $, esiste una coppia di interi $p,q \in \ZZ $ tali che $|q\alpha - p | \leq \dfrac {1}{n+1}$ e $q\leq n$.

Sol: (a), (b) sono facili, tenuto conto che

\[ d([x],[y]) = \inf \{ |x-y+k| : k \in \ZZ \} = \min \{ |x-y+k| : k \in \ZZ \} . \]

Osserviamo che dalla proprietà $d([x+z],[y+z]) = d([x],[y])$ segue che $d([x],[y]) = d([x-y],[0])$. Ogni classe $[x]$ ha un unico rappresentante $t\in [x]$ con $0\leq t < 1$, e $X$ è uguale all’intervallo $[0,1]$ con gli estremi identificati (una circonferenza). L’omeomorfismo con la circonferenza è dato dalla funzione $\theta \mapsto e^{2\pi i \theta }$.

Punto (c): Se $t\in [0,1/2]$, allora $d([t],[0]) = t$. Se $t\in [1/2,1]$, allora $d([t],[0]) = 1-t$. Cioè $d([t],[0]) = \min ( t,1-t)$. Dato che $t+(1-t)=1$, il minimo tra $t$ è $1-t$ è certamente minore di $1/2$. Il massimo si ha per $t=1/2$, cioè $d([1/2],[0]) = 1/2$. In generale, dati due punti qualsiasi $[x]$ e $[y]$, si ha

\[ d([x],[y]) = d([x-y],[0]) \leq 1/2, \]

e dunque la distanza tra due punti di $X$ non può essere maggiore di $1/2$.

Punto (d): Siano $[x_1]$,$[x_2]$, …$[x_ n]$ gli $n$ punti arbitrari di $X$. Le distanze reciproche sono le stesse dei punti $[x_1-x_1]$, $[x_2-x_1]$, …, $[x_ n-x_1]$ traslati di $-x_1$, cioè possiamo sempre supporre che $x_1=0$. Possiamo naturalmente supporre che $x_ i \in [0,1)$ per ogni $i$. Supponiamo per assurdo che non esistano due punti con distanza minore o uguale a $1/n$, cioè tutte le coppie di punti distano almeno $1/n$. Riordinando gli indici, si ha

\[ 0=x_1 \leq x_2 \leq \ldots x_ n < 1. \]

Dato che per ipotesi $d([x_{i+1}],[x_{i}]) > \frac{1}{n}$, per ogni $i=1\ldots ,(n-1)$, si ha

\[ \frac{1}{n} < d( [ x_{i+1} - x_{i} ], [0] ) = \min ( x_{i+1}-x_ i, 1 - x_{i+1}+x_ i) \implies x_{i+1} - x_ i > \frac{1}{n} \]

(dato che il minimo di due numeri in $[0,1)$ è piú grande di $1/n$, entrambi lo devono essere, e quindi in particolare uno dei due). Ma allora

\[ x_ n = x_ n-x_0 = (x_1-x_0) + (x_2-x_1) + \ldots + ( x_ n - x_{n-1}) > \dfrac {1}{n} + \dfrac {1}{n} + \ldots + \dfrac {1}{n} = 1, \]

assurdo.

Il punto (e) segue dal (d), prendendo in considerazione gli $n+1$ punti di $X$

\[ [x_0] = [0], [x_1] = [\alpha ], \ldots , [x_ n] = [n\alpha ]. \]

Esistono $i$ e $j$ in $0,1,\ldots ,n$ tali che

\[ d([i\alpha ], [j\alpha ]) \leq \dfrac {1}{n+1}, \]

e dunque (supponendo $i < j$)

\[ d([(j-i)\alpha ],[0]) \leq \dfrac {1}{n+1}, \]

cioè l’asserto con $q=j-i$. Se $i,j \in [0,n]$ e $i < j$, allora $j-i = q \in [1,n]$.

Passo emph(f): se $\alpha \in \RR $ e $n\geq 1$, sappiamo che esiste $q\in \ZZ $, $1\leq q\leq n$ tale che $d([q\alpha ],[0]) \leq \dfrac {1}{n+1}$. Ma dato che esiste $p\in \ZZ $ tale che

\[ d([q\alpha ],[0]) = |q\alpha -p|, \]

si ha che esistono $p,q \in \ZZ $ tali che $1\leq q\leq n$ e $|q\alpha -p| \leq \dfrac {1}{n+1}$.

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(17) Utilizzando eventualmente il risultato dell’esercizio precedente, calcolare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di $\RR $.

  1. $\{ a+b\sqrt {3} : a,b \in \QQ \} $;

  2. $\{ a+b\sqrt {3} : a,b \in \ZZ \} $;

  3. $\{ a + b \log _2 3 : a,b \in \ZZ \} $ (perché $\log _2 3$ è irrazionale?);

  4. $\{ \dfrac {2^ h}{3^ k} : h,k \in \ZZ \} $.

Sol: Passo (a): $X=\{ a+b\sqrt {3} : a,b \in \QQ \} $; dato che $X\supset \QQ $, i punti di accumulazione di $\QQ $ sono anche punti di accumulazione di $X$. Ma tutti i punti di $\RR $ sono di accumulazione per $\QQ $, e quindi tutti i punti di $\RR $ sono di accumulazione per $X$.

Passo (b): una dimostrazione completa (senza presupporre altro) è la seguente. Sia $X=\{ a+b\sqrt {3} : a,b \in \ZZ \} $; il numero $\sqrt {3}$ è irrazionale (perché?). Mostriamo che tutti i punti di $\RR $ sono di accumulazione per $X$, cioè che per ogni $\epsilon > 0 $ e per ogni $x\in \RR $ esistono punti di $X$ in $B_\epsilon (x)$, cioè che per ogni $\epsilon $, per ogni $x\in \RR $ esistono $a,b\in \ZZ $ tali che $|a+b\sqrt {3} - x | < \epsilon $. Sia $n$ un intero fissato. Per l’esercizio precedente, esistono una coppia di interi $p,q$ tali che $|q\sqrt {3} - p| < \frac{1}{n}$, con $1\leq q \leq n$, e cioè (dividendo per $q$)

\[ |\sqrt {3} - \frac{p}{q}| < \frac{1}{nq}. \]

Supponiamo, senza perdere in generalità, che $p$ e $q$ siano privi di fattori comuni (altrimenti …) e positivi. Per ogni $a,b$ si ha quindi

\[ \begin{aligned} |a+b\sqrt {3} - x| & = |a+ b(\frac{p}{q} + \sqrt {3} - \frac{p}{q} ) - x| \\ & \leq |a+b\frac{p}{q} - x | + |b(\sqrt {3} - \frac{p}{q})|\\ & \leq |a+b\frac{p}{q} - x| + \frac{|b|}{nq}. \end{aligned} \]

Osserviamo ora che (nella notazione dell’esercizio precedente) i $q$ punti

\[ [0], [\frac{p}{q}], \ldots , [j\frac{p}{q}] \ldots \]

con $j=0,\ldots , (q-1)$ sono tutti distinti: infatti se esistono $0\leq i < j < q$ tali che $[i\frac{p}{q}] = [j \frac{p}{q}]$ allora esiste $k\in \ZZ $ tale che

\[ jp = ip + kq \iff (j-i)p = kq, \]

e questo non è possibile se $p$ e $q$ non hanno divisori in comune. Ma allora i punti $ [0], [\frac{p}{q}], \ldots , [j\frac{p}{q}] \ldots $ non sono altro che i $q$ punti

\[ [0], [\frac{1}{q}], \ldots [\frac{j}{q}], \ldots [\frac{q-1}{q}]. \]

Ogni $x\in \RR $, a meno di somma con un intero, dista certamente meno di $\dfrac {1}{q}$ da uno di questi punti, cioè esistono $a$,$b$, con $0\leq b\leq q$, tali che $ |a+b\frac{p}{q} - x| < \dfrac {1}{q}$. Ma allora esistono esistono $a,b$ tali che

\[ \begin{aligned} |a+b\frac{p}{q} - x| + \frac{|b|}{nq} & \leq \dfrac {1}{q} + \frac{1}{n} \leq \dfrac {2}{q}. \end{aligned} \]

La tesi segue se al crescere di $n$, il corrispondente $q =q_ n$ tende all’infinito. Supponiamo di no: allora la successione $\dfrac {p_ n}{q_ n}$ (definita dalla coppia $p,q$ del teorema di Dirichlet al variare di $n$) è una successione di numeri razionali con denominatore $q_ n$ limitato.Ma per ogni $n$ si ha $|\sqrt {3} - \frac{p_ n}{q_ n}| < \frac{1}{nq_ n} \to 0$, e dunque la successione converge a $\sqrt {3}$ (che non è razionale). Dato che la successione dei denominatori $q_ n$ è limitata (ipotesi di assurdo), esiste una sottosuccessione $q_{n_ i}$ costante. Ma la sottosuccessione $\frac{p_{n_ i}}{q_{n_ i}}$ è sottosuccessione di una successione convergente (a $\sqrt {3}$), e quindi è convergente. Dato che il denominatore $q_{n_ i}$ è costante, anche il numeratore $p_{n_ i}$ è definitivamente costante: cioè la sottosuccessione $\frac{p_{n_ i}}{q_{n_ i}}$ da un certo $i$ in poi è costante (e quindi è uguale al suo limite, che è il limite di $p_ n/q_ n$). Questo è assurdo, perché vorrebbe dire che $\sqrt {3}$ è razionale.

Passo (c): Come sopra, dato che $\log _23$ è irrazionale, tutti numeri reali sono di accumulazione. Perché è irrazionale? Perché $p/q = \log _2 3 \iff 2^ p = 3^ q$, e $2$ e $3$ sono coprimi.

Passo (d): consideriamo il logaritmo di $X=\{ \dfrac {2^ h}{3^ k} : h,k \in \ZZ \} $, cioè

\[ Y=\{ \log _2 \dfrac {2^ h}{3^ k} : h,k \in \ZZ \} . \]

Si può scrivere anche

\[ Y= \{ h + k \log _2 3 h,k \in \ZZ \} \subset \RR . \]

I punti di accumulazione di $Y$ in $\RR $ sono tutti i punti di $\RR $, e dunque i punti di accumulazione di $X$ sono tutti i punti di $\RR $ il cui logaritmo è un punto di accumulazione di $Y$, cioè la semiretta $[0,\infty )$.

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(18) Sia $X$ uno spazio topologico. Dimostrare (o falsificare) le seguenti affermazioni.

  1. Le componenti connesse di $X$ sono sottoinsiemi sia aperti che chiusi di $X$.

  2. Se $X$ ha un numero finito di componenti connesse, allora queste sono sia aperte che chiuse.

  3. Se $A$ è un sottoinsieme denso di $X$ (cioè la cui chiusura è $X$), e $B\subset X$ è un altro sottoinsieme tale che $B\supset A$, allora $B$ è denso in $X$.

  4. Se $X$ è connesso, allora ogni sottoinsieme denso di $X$ è connesso.

  5. Se $X$ è omeomorfo a $[0,1)$, allora $X$ è omeomorfo anche a $[0,1]$.

Sol: Sono tutti esercizi assegnati in precedenza: le componenti connesse non sono sia aperti che chiusi (esempio: $\QQ $). Se ce ne sono un numero finito, allora sí (dato che sono comunque dei chiusi). Se $A$ è denso in $X$ e $B$ contiene $A$, allora $A\subset B$ $\implies $ $\overline{A} \subset \overline{B}$, e dunque $\overline{B} = X$ (da cui segue che $B$ è denso). Non è vero che se $X$ è connesso, allora i sottoinsiemi densi sono connessi (si pensi a $\QQ \subset \RR $ oppure a $\RR \smallsetminus \{ 0\} \subset \RR $. I due intervalli $[0,1)$ e $[0,1]$ non sono omeomorfi, dato che uno è compatto e l’altro no, e quindi non è vero che se $X$ è omeomorfo all’uno deve essere omeomorfo all’altro.
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(19) Si determinino i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di $\RR $ o di $\CC $ (nella topologia della metrica euclidea di $\RR $ o di $\CC $ rispettivamente), e determinarne la chiusura (in $\RR $ o in $\CC $). Quali sono compatti? Quali sono chiusi?

  1. $X_1 = \{ \dfrac {p}{q} : p,q\in \ZZ , q \neq 0,\ p=q \mod 100 \} $;

  2. $X_2 = \{ \dfrac {p^2}{q} : p,q\in \ZZ , q \neq 0 \} $;

  3. $X_3 = \{ \dfrac {p}{q^2+1} : p,q\in \ZZ \} $;

  4. $Z_1 = \{ z \in \CC : 1+z^2 \in \QQ \} $;

  5. $Z_2 = \{ z\in \CC : z (1-z) \in \ZZ \} $.

Sol: (a): Si ha che

\[ \begin{aligned} X_1 & = \{ \dfrac {q+100 k}{q} : q\neq 0, (q,k) \in \ZZ ^2 \} \\ & = \{ 1 + 100 \dfrac {k}{q} : q \neq 0, (q,k) \in \ZZ ^2 \} \\ & = 1 + \{ 100 x : x \in \QQ \} \\ & = 1 + 100 \QQ = \QQ , \end{aligned} \]

e dunque tutti i punti di $\RR $ sono di accumulazione per $X_1$; la chiusura è $\overline{X_1} = \overline{\QQ } = \RR $. Non è né chiuso né limitato, e dunque non è compatto.

(b) Osserviamo che se $\dfrac {a}{b} \in \QQ $, con $a,b\in \ZZ $ e $b\neq 0$, allora se anche $a\neq 0$ si ha

\[ \dfrac {a}{b} = \dfrac {a^2}{ab}. \]

Altrimenti, se $a=0$, $0=\dfrac {a}{b} = \dfrac {a^2}{b}$. Quindi $\QQ \subset X_2 \subset \QQ $, cioè $X_2=\QQ $. Ne segue che $X_2$ non è chiuso, non è compatto, e ha tutti i numeri reali come punti di accumulazione. Osserviamo che la distanza tra i due quadrati $(p-1)^2$ e $p^2$ successivi è $2p-1$:

\[ p^2 - (p-1)^2 = 2p-1. \]

Allora per ogni $q$ la distanza tra $\dfrac {p^2}{q}$ e $\dfrac {(p-1)^2}{q}$ è uguale a$\frac{2p-1}{q}$. Allora se si ha una successione $\frac{p_ n^2}{q_ n} \to \alpha \in \RR $ con $q_ n\to \infty $, deve essere $\frac{2p_ n-1}{q_ n} =2\frac{p_ n}{q_ n} - \frac{1}{q_ n} \to 0$, e quindi $\frac{p_ n}{q_ n} \to 0$, cioè l’unico punto di accumulazione di $X_2$ è $0$. Dato che sopra abbiamo mostrato che i punti di accumulazione di $X_2$ sono tutti i punti di $\RR $, possiamo concludere che $\RR =\{ 0\} $, e dunque che $\RR $ non è una estensione di $\QQ $, come si è soliti credere. (Dove è l’errore nel ragionamento appena visto?)

(c) Veniamo ora a $X_3 = \{ \dfrac {p}{q^2+1} : p,q\in \ZZ \} $. Per ogni $\alpha \in \RR $, per ogni $q\in \ZZ $, per ogni $p\in \ZZ $, la distanza tra $\frac{p}{q^2+1}$ e $\frac{p+1}{q^2+1}$ è $\frac{1}{q^2+1}$, quindi per ogni $\alpha \in \RR $ e per ogni $q\in \ZZ $ esiste $p\in \ZZ $ tale che la distanza tra $\alpha $ e $\dfrac {p}{q^2+1}$ non superi $\dfrac {1}{q^2+1}$, cioè per $r=\dfrac {1}{q^2+1}$ si ha

\[ B_{r}(\alpha ) \ni \dfrac {p}{q^2+1}. \]

Ma allora ogni $\alpha \in \RR $ è di accumulazione per $X_3$, dato che per ogni $\epsilon > 0$ esiste $r\in \ZZ $ tale che $\frac{1}{q^2+1} < \epsilon $. Dunque $X_3$ non è chiuso, non è compatto, e ha per chiusura $\RR $.

(d) Osserviamo che se $w\in \CC $ si ha che

\[ w\in \QQ \iff w+1 \in \QQ , \]

e dunque

\[ Z_1 = \{ x\in \CC : z^2 \in \QQ \} . \]

Se $z=a+ib$, con $a,b\in \RR $, allora

\[ (a+ib)^2 = a^2 - b^2 + 2iab. \]

Quindi $(a+ib)^2 \in \QQ $ se e solo se $ab=0$ e $a^2-b^2 \in \QQ $. Dunque $z\in Z_1$ è del tipo $a$ oppure $ib$, con $a,b\in \RR $. L’insieme dei reali $a$ tali che $a^2\in \QQ $ contiene in particolare i razionali, e quindi $Z_1$ contiene $\QQ $. L’insieme dei complessi $ib$, con $b\in \RR $, tali che $(ib)^2 \in \QQ $ come sopra contiene una copia di $\QQ $, e quindi $Z_1$ contiene $i\QQ $. Dunque i punti di accumulazione per $Z_1$ sono i numeri reali (di accumulazione per la copia $\QQ $) oppure l’asse dei numeri puramente immaginari $i\RR $ (di accumulazione per la copia $i\QQ $). Non è chiuso, non è compatto. La sua chiusura è

\[ \overline{Z_1} = \{ a+ib \in \CC : a,b\in \RR , ab=0 \} . \]

(e) Si ha

\[ \begin{aligned} Z_2 & = \{ z \in \CC : z^2 - z \in \ZZ \} \\ & = \{ z \in \CC : z^2-z=k, \text {per qualche $k\in \ZZ $} \} \\ & = \{ \dfrac {1\pm \sqrt {1+4k}}{2} : k \in \ZZ \} \end{aligned} \]

Per ogni $R > 0$, l’insieme dei punti di $Z_2$ nell’intorno $B_0(R)$ è finito, e quindi $Z_2$ non ha punti di accumulazione in $\CC $. È un sottospazio chiuso di $\CC $, perché controimmagine di $\ZZ \subset \CC $ (che è chiuso) mediante la funzione continua $z \mapsto z(1-z)$. Non è limitato, per quanto visto sopra, e quindi non è compatto. Non avendo punti di accumulazione (anche, essendo chiuso), si ha $\overline{Z_2}=Z_2$.

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(20) Determinare quali dei seguenti sottospazi (se ben definiti e rispetto alle topologie dello spazio ambiente) sono chiusi, connessi, compatti o limitati.

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^3 + 3x^2y + 2 xy^2 + y^3 = 1 \} $;

  2. $\{ (x,y) \in \CC ^2 : x^2 - 2y \geq 0 \} $;

  3. $\{ (x,y) \in \CC ^2 : x^2 - 2y^2 - 4xy = 0 \} $;

  4. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + 2y^2 - 4xy = 0 \} $;

  5. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 - 2y^2 - 4xy = 0 \} $.

Sol: (a) L’insieme è chiuso (perché?). Sia $s=\dfrac {x}{y}$. Se $y=0$, si ha $x^3=1 \implies x=1$. Altrimenti, per $y\neq 0$, si ha che c’è un omeomorfismo

\[ \begin{aligned} X = & \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^3 + 3x^2y + 2 xy^2 + y^3 =1, y\neq 0 \} \\ & \cong \{ (s,y) \in \RR ^2 : s^3 + 3s^2 + 2s + 1 = \dfrac {1}{y^3}, y \neq 0 \} . \end{aligned} \]

Nelle $(s,y)$ con $y\neq 0$, si scrive anche

\[ y = \dfrac {1}{\sqrt [3]{s^3 + 3s^2 + 2s + 1 } }, \]

e dunque certamente non è limitato. L’insieme originale non può quindi essere compatto né limitato (perché?). La funzione $s^3+s^2+2s+1$ ha un solo zero, che chiamiamo $s_0$ (basta calcolarne i valori –positivi– nei punti in cui la derivata prima si annulla: $-1\pm \sqrt {3}{3}$); la curva di equazione $y = \dfrac {1}{\sqrt [3]{s^3 + 3s^2 + 2s + 1 } }$ ha un asintoto verticale in $s_0$; è di grado dispari, quindi è negativa prima di $s_0$ e positiva dopo $s_0$; Si ha

\[ \begin{aligned} & \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^3 + 3x^2y + 2 xy^2 + y^3 =1 \} \\ & = \{ (x,y)\in \RR ^2 : x=ys,\ y\neq 0, y=(s^3 + 3s^2 + 2s + 1)^{-1/3},\ \text {per $s\in \RR $, $s\neq s_0$} \} \cup \{ (1,0)\} \\ & = \{ \left( s(s^3 + 3s^2 + 2s + 1)^{-1/3}, (s^3 + 3s^2 + 2s + 1)^{-1/3} \right) : s \in \RR , s\neq s_0 \} \cup \{ (1,0)\} \end{aligned} \]

Per $s\to \pm \infty $ si ha

\[ \left( s(s^3 + 3s^2 + 2s + 1)^{-1/3}, (s^3 + 3s^2 + 2s + 1)^{-1/3} \right) \to (1,0), \]

e dunque il sottoinsieme è connesso.

(b) L’insieme non è ben definito, dato che il campo $\CC $ non è ordinato (la disequazione $x^2-2y\geq 0$ non ha senso).

(c) La forma quadratica ha matrice associata

\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}, \]

il cui determinante è negativo: dunque esiste una trasformazione lineare (su $\CC $) che trasforma l’equazione in una equazione del tipo $x^2 - y^2 = 0$: l’unione di due rette incidenti in $\CC ^2$. È chiuso, non limitato, non compatto, connesso (perché unione unione di due connessi con intersezione uguale a un punto).

(d) La forma quadratica ha matrice associata

\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}, \]

il cui determinante è negativo. Come sopra, esiste una trasformazione lineare (questa volta su $\RR $) che trasforma l’equazione in una equazione del tipo $x^2-y^2=0$. È chiuso, non limitato, non compatto, connesso (perché unione unione di due connessi con intersezione uguale a un punto).

(e) Come per il punto (c).

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