Esercizi: foglio 10

(10.1) Dimostrare che la definizione (1.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite mediante l’azione del gruppo moltiplicativo del campo è equivalente (nel senso che gli insiemi ottenuti sono in corrispondenza biunivoca) alla definizione della nota (1.4), cioè $\PP (V)$ è l’insieme di tutti i sottospazi di dimensione $1$ di $V$.

(10.2) Dimostrare che $\PP ^1(\RR )$ è omeomorfo alla circonferenza $S^1$.

(10.3) [*] Dimostrare che $\PP ^1(\CC )$ è omeomorfo alla sfera $S^2$.

(10.4) [*] Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi $\PP ^ n(\RR )$ e $\PP ^ n(\CC )$, per $n\geq 1$, sono compatti. (Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di $\RR ^{n+1}\smallsetminus \{ 0\} $ con l’azione del gruppo moltiplicativo $\RR ^*$, si può considerare il quoziente solo della sfera $S^{n} \subset \RR ^{n+1}$ di equazione $x_0^2+x_1^2+ ... + x_ n^2$, che è compatta ... e quindi l’immagine di un compatto mediante la mappa (continua) quoziente è ... )

(10.5) Dimostrare che $\AA ^2(\RR )$ è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi $\PP ^2(\RR )$ si può scrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta affine) e la retta di punti all’infinito (che, siccome è omeomorfa a $\PP ^1(\RR )$, è omeomorfa a una circonferenza $S^1$).

(10.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo $L\subset \PP ^ n(K)$ di dimensione $d$ è omeomorfo allo spazio proiettivo $\PP ^ d(K)$.

(10.7) Si considerino i punti $[1:2:3]$, $[2:3:1]$ e $[3:1:2]$ di $\PP ^2(\RR )$. Dimostrare che non sono allineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono punti impropri per la carta affine $\{ [1:x:y] : x,y\in \RR \} \subset \PP ^2(\RR )$?

(10.8) Si consideri il piano proiettivo $\PP ^2(\RR )$ con carta affine $\AA ^2(\RR ) = \{ [1:x:y] \} $ come nell’esercizio precedente. Esiste una retta in $\AA ^2(\RR )$ che ha come punti impropri $[0:1:0]$ e $[0:0:1]$?

(10.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto all’infinito, in qualsiasi chiusura proiettiva.

(10.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo $\PP ^2(K)$ hanno sempre uno e un solo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).

(10.11) Dimostrare che due rette parallele di $\AA ^2(K)$ hanno lo stesso punto all’infinito in qualsiasi chiusura proiettiva di $\AA ^2(K)$ (cioè dimostrare che due rette con punti all’infinito distinti si devono incontrare).

(10.12) Dimostrare che per due punti distinti di $\PP ^ n(K)$ passa e una sola retta (sottospazio proiettivo di dimensione $1$).

(10.13) Sia $S\subset \PP ^ n(K)$ il sottoinsieme di $\PP ^ n(K)$ definito come segue: presi in $\PP ^ n(K)$ $d+1$ punti $[p_0], [p_1], ... , [p_ d]$, i punti di $S$ sono quelli che si possono scrivere (in coordinate omogenee) come combinazioni lineari

\[ [\lambda _0 p_0 + \lambda _1 p_1 + ... + \lambda _ d p_ d ] \]

per certi coefficienti $\lambda _ i\in K$ non tutti nulli. Dimostrare che $S$ è un sottospazio proiettivo e che ogni sottospazio proiettivo di $\PP ^ n(K)$ si può scrivere in questo modo. (Vedi la definizione (1.18))

(10.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di $\PP ^ n(K)$ generato da $d+1$ punti è il più piccolo sottospazio proiettivo che contiene tutti i $d+1$ punti.

(10.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di dimensione $d$ che passa per $d+1$ punti di $\PP ^ n(K)$ linearmente indipendenti.

(10.16) Dimostrare che una retta proiettiva è generata da due suoi punti distinti.

(10.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo $S$ di $\PP ^ n(K)$ passa per $d+1$ punti, allora $S$ contiene il sottospazio proiettivo generato dai $d+1$ punti (cioè l’unico spazio proiettivo di dimensione $d$ dell’esercizio 10.15).

(10.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \in \AA ^2(\RR )$, dalla retta di equazione $\{ (x,y) \in \AA ^2(\RR ) : y = 0 \} $ alla retta di equazione $(x,y) \in \AA ^2(\RR ) : x= 0 \} $.

(10.19) Si scriva in coordinate affini (rispetto ad una carta) la proiezione prospettica di $\PP ^2(\RR )$ dove $Q=[0:1:1]$, $H= \{ [x_0:x_1:x_2] \in \PP ^2(\RR ) : x_1 = 0 \} $ e $H’= \{ [x_0:x_1:x_2] \in \PP ^2(\RR ) : x_2 = 0 \} $. È una trasformazione affine di $H$ in $H’$?

(10.20) Determinare le equazioni omogenee (in $\PP ^2(\RR )$) della retta di $\AA ^2(\RR )$ di equazione $x+y = y-1$. Qual è il suo punto all’infinito?

(10.21) Si considerino le rette di $\AA ^2(\RR )$ di equazione $y = x + b$, con $b\in \RR $. Calcolare, al variare di $b$, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

(10.22) Si considerino le rette di $\AA ^2(\RR )$ di equazione $y = mx $, con $m\in \RR $, $m\neq 0$. Calcolare, al variare di $m$, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

(10.23) [*] Determinare le proiettività $\from \PP ^2(\RR ) \to \PP ^2(\RR )$ che fissano la retta (impropria) $\{ x_0 = 0 \} $ (cioè ogni punto della retta impropria viene mandato in sé).

(10.24) È possibile scrivere una traslazione di $\AA ^2(\RR )$ come restrizione ad una carta affine di una proiettività di $\PP ^2(\RR )$?

(10.25) Esiste una proiettività che manda i punti $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ di una carta affine in $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ e $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} $?

(10.26) [*] Sia $\AA ^ n(K) \subset \PP ^ n(K)$ una carta affine e $T\from \AA ^ n(K) \to \AA ^ n(K)$ una affinità. Determinare (in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettività $P$ che manda $\AA ^ n(K)$ in sé (e quindi l’iperpiano dei punti impropri in sé) e che ristretta a $\AA ^ n(K)$ sia proprio uguale a $T$. (Suggerimento: Si scriva $T$ come $x \mapsto Ax + b$ per una matrice $A$ e un vettore $b$. Nel cercare la matrice $F$ corrispondente della proiettività (che sarà una matrice $(n+1)\times (n+1)$), si osserva che se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima riga di $F$ ha un solo termine non zero ... e a meno di moltiplicare $F$ per una costante si può supporre questo termine uguale a $1$ ... poi si utilizzano $b$ e $A$ per riempire la matrice. Provare cone matrici $3\times 3$ all’inizio. )

(10.27) [*] Mostrare che $SO(3) \approx \PP ^3(\RR )$. (utilizzare l’esercizio 6.30 a pagina *)