1. Spazi proiettivi

(Cfr.)1

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Pala di Montefeltro di Piero Della Francesca. Rappresenta un esempio magistrale di prospettiva nell'arte figurativa italiana.
Figura 10.1: Piero Della Francesca (1415 – 1492), Pala di Brera / Pala Montefeltro
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La Scuola di Atene, di Raffaello Sanzio. In questo quadro si vede una rappresentazione prospettica molto precisa.
Figura 10.2: Raffaello Sanzio (1483 – 1520), La Scuola di Atene

(1.1) Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale su campo $K$. Lo spazio proiettivo generato da $V$ (il proiettivizzato di $V$, denotato con $\PP (V)$), è il quoziente di $V\smallsetminus \{ 0\} $ con la relazione di equivalenza $v\sim w \iff \exists \lambda \in K^*=K\smallsetminus \{ 0\} : w = \lambda v$. La dimensione di $\PP (V)$ è uguale a $\dim (V) -1$.

(1.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale $K^{n+1}$ di dimensione $n+1$. Il proiettivo associato si indica con $\PP ^ n(K)$ (dunque $\PP ^ n(\RR )$ e $\PP ^ n(\CC )$ indicano lo spazio proiettivo reale e complesso di dimensione $n$). Se $K$ ha una topologia (metrica), così come $\AA ^ n(K)$ ha la topologia generata da quella di $K$, anche $\PP ^ n(K)$ ha una topologia naturale: la topologia quoziente.

(1.3) Nota. Osserviamo che la definizione (1.1) può essere data anche in termini di gruppi di trasformazioni: l’insieme degli scalari non nulli $K^* = K \smallsetminus \{ 0\} $ è un gruppo rispetto all’operazione di moltiplicazione (gruppo moltiplicativo), che agisce su $V\smallsetminus \{ 0\} $ (moltiplicazione per uno scalare). Allora semplicemente il proiettivizzato $\PP (V)$ è uguale allo spazio delle $K^*$-orbite

\[ \PP (V) = V\smallsetminus \{ 0\} /_{K^*}. \]

Se $V$ ha dimensione $1$, allora $V\cong K$ e $V\smallsetminus \{ 0\} \cong K\smallsetminus \{ 0\} $; non è difficile vedere che quindi $\PP (V)$ è costituito da un elemento solo.

(1.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente: $\PP (V)$ è l’insieme di tutti i sottospazi di dimensione $1$ di $V$. Come esercizio, dimostrare che questa definizione coincide con la definizione (1.1) (cioè che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenza biunivoca).

(1.5) Esempio. La retta proiettiva $\PP ^1(\RR ) = \PP (\RR ^2)$: è omeomorfa a una circonferenza quozientata rispetto alla relazione di equivalenza $\vx \sim -\vx $, oppure ad un segmento con gli estremi identificati (cfr. esercizio 10.2 a pagina *). Quanti punti ha la retta proiettiva $\PP ^1(\ZZ _ p)$, con $p\in \NN $ primo? E a cosa è omeomorfa la retta proiettiva $\PP ^1(\CC ) = \PP (\CC ^2)$. Osserviamo che $(z_0,z_1) \sim (z_0’,z_1’)$ se e soltanto se esiste $\lambda \in \CC ^*$ tale che $z_ i’ = \lambda z_ i$ per $i=0,1$. Se $z_0 = 0$, allora $z_1\neq 0$ e quindi $(0,z_1) \sim (0,1)$ dato che $z_1 = \lambda \cdot 1$ con $\lambda = z_1$. Se $z_0\neq 0$, allora nello stesso modo

\[ (z_0,z_1) \sim (1, \dfrac {z_1}{z_0}). \]

Quindi in $P^1(\CC )$ ci sono i punti del tipo $[(1,w)$ con $w\in \CC $ e il punto $[(0,1)]$. Con la proiezione stereografica possiamo definire una funzione $S^2\smallsetminus \{ (0,0,1)\} \to \RR ^2$, come

\[ (x,y,z) \in S^2\smallsetminus \{ (0,0,1)\} \subset \RR ^3 \mapsto (\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}) \in \RR ^2. \]

Questa si estende ad una funzione

\[ (x,y,z) \in S^2 \mapsto [(1,\dfrac {x+iy}{1-z})] \in \PP ^1(\CC ) \quad ? \]

Per rispondere a questa domanda, osserviamo che per ogni $x,y,z\in \RR $ con $x^2+y^2+z^2=1$ ($(x,y,z)\in S^2 \subset \RR ^3$) e $z\neq 1$ (da cui segue che $x^2+y^2 = 1-z^2 \neq 0$) si ha

\[ \begin{aligned} (1,\dfrac {x+iy}{1-z}) & \sim (1-z,x+iy) \\ & \sim (1-z^2,(1+z)(x+iy) ) \\ & \sim (x^2 + y^2, (1+z)(x+iy) ) \\ & \sim ( (x-iy)(x+iy), (1+z)(x+iy) ) \\ & \sim ( x-iy, 1+z) . \end{aligned} \]

Da questo segue che la risposta è affermativa (lo si svolga per esercizio: 10.2 a pagina *). Nello stesso esercizio dimostrare che la funzione appena definita è un omeomorfismo.

(1.6) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo $\PP ^ n(K)$ di dimensione $n$ su campo $K$. Un punto di $x\in K^{n+1}$ si scrive come $(n+1)$-upla con coordinate $x_ i \in K$

\[ (x_0,x_1, ... , x_ n ). \]

Se $x\neq 0$ (cioè non tutte le coordinate $x_ i$ sono nulle), la classe di equivalenza di $x$ si può indicare con $[x] \in \PP ^ n(K)$. Le coordinate $x_ i$ di $x$ si chiamano coordinate omogenee di $[x]$, e si scrive

\[ [x] = [ x_0 : x_1 : ... : x_ n ] \]


(1.7) Siano $p = [ p_0 : p_1 : ... : p_ n] $ e $q =[ q_0 : q_1 : ... : q_ n]$ due punti di $\PP ^ n(K)$. Allora $p=q$ se e solo se esiste $\lambda \in K \smallsetminus \{ 0\} $ tale che \[ \forall i=0, ... n, q_ i = \lambda p_ i. \]

Dim. È una conseguenza immediata della definizione (1.1).
QED

(1.8) La funzione \[ j_0\from \AA ^ n(K) \to \PP ^ n(K), \] definita da \[ (x_1,x_2, ... ,x_ n) \mapsto [1:x_1:x_2: ... : x_ n ] \] è iniettiva. La sua immagine è \[ j_0( \AA ^ n(K) ) = \{ [p_0:p_1: ... :p_ n] \in \PP ^ n(K): p_0 \neq 0 \} , \] e si può definire l’applicazione inversa \[ \{ [p_0:p_1: ... :p_ n] \in \PP ^ n(K): p_0 \neq 0 \} \to \AA ^ n(K) \] \[ [p_0:p_1: ... :p_ n] \mapsto ( \frac{p_1}{p_0}, \frac{p_2}{p_0}, ... , \frac{p_ n}{p_0} ). \]

Dim. È ovvio che $j_0$ è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta mostrare che l’applicazione definita sopra è la sua inversa (definita su $\{ p_0\neq 0\} $). Infatti, la composizione \[ (x_1,x_2, ... ,x_ n) \mapsto [1:x_1:x_2: ... : x_ n ] \mapsto ( \frac{x_1}{1}, \frac{x_2}{1}, ... , \frac{x_ n}{1} ) \] è chiaramente l’identità di $\AA ^ n(K)$, mentre la composizione \begin{multline*} [p_0:p_1: ... :p_ n] \mapsto ( \frac{p_1}{p_0}, \frac{p_2}{p_0}, ... , \frac{p_ n}{p_0} ) \mapsto \\ \mapsto [1: \frac{p_1}{p_0}: \frac{p_2}{p_0}: ... : \frac{p_ n}{p_0} ] \end{multline*} è l’identità dato che esiste $\lambda = p_0 \neq 0$, $\lambda \in K\smallsetminus \{ 0\} $ tale che \[ \lambda (1, \frac{p_1}{p_0}, \frac{p_2}{p_0}, ... , \frac{p_ n}{p_0} ) = (p_0,p_1, ... ,p_ n). \]
QED

(1.9) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la $j_0$ considerando non la prima coordinata ($p_0$), ma una qualsiasi delle $n+1$ coordinate di $K^{n+1}$. In questo modo possiamo “includere” lo spazio affine $\AA ^ n(K)$ nello spazio proiettivo $\PP ^ n(K)$ in almeno $n+1$ modi distinti. Più in generale, cambiando le coordinate in $K^{n+1}$ e in $\AA ^ n(K)$ si possono trovare infiniti modi di definire tale inclusione.

(1.10) Definizione. Per ogni $i=0, ... , n$ il sottoinsieme di $\PP ^ n(K)$ definito da

\[ \{ [p_0:p_1: ... :p_ n] \in \PP ^ n(K) : p_ i \neq 0 \} \]

si chiama la $i$-esima carta affine, e si indica con il simbolo $\AA ^ n_ i(K)$. È il complementare del sottospazio definito dall’equazione $p_ i = 0$, che si dice iperpiano dei punti impropri, o punti all’infinito. I punti della $i$-esima carta affine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anche coordinate affini relative a $i$, mediante l’applicazione inversa $j^{-1}_ i$.

\[ \begin{aligned} {} j^{-1}_ i \from [p_0:p_1:\ldots :p_ n] = \\[ \frac{p_0}{p_ i}: ... : \frac{p_{i-1}}{p_ i} : 1 : \frac{p_{i+1}}{p_ i}: ... : \frac{p_ n}{p_ i} ]\mapsto ( \frac{p_0}{p_ i}, ... , \frac{p_{i-1}}{p_ i}, \frac{p_{i+1}}{p_ i}, ... \frac{p_ n}{p_ i} ) \end{aligned} \]

(1.11) Nota. Abbiamo quindi che $\PP ^ n(K)$ è l’unione disgiunta dei due sottospazi

\[ \begin{aligned} \PP ^ n(K) & = \{ [x]\in \PP ^ n(K) : x_0 \neq 0 \} \cup \{ [x]\in \PP ^ n(K) : x_0 = 0 \} \\ & = \AA ^ n_0(K) \cup \PP _0^{n-1}(K), \end{aligned} \]

dove $\AA ^ n_0(K)$ è la parte affine e $\PP _0^{n-1}(K)$ è il sottospazio dei punti all’infinito, o punti impropri di $\PP ^ n(K)$. La scelta della coordinata $x_0$, $x_ i$ in realtà può essere vista come la scelta di un iperpiano (di codimensione $1$) di punti impropri per $\PP ^ n(K)$.

(1.12) Definizione. Sia $V\subset K^{n+1}$ un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale $K^{n+1}$. Allora è ben definita l’inclusione

\[ \PP (V) \subset \PP ^ n(K). \]

Il sottospazio $\PP (V)\subset \PP ^ n(K)$ si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di $\PP ^ n(K)$ di dimensione $\dim (\PP (V)) = \dim (V) - 1$.

(1.13) Nota. I sottospazi di dimensione $0$ si dicono punti, quelli di dimensione $1$ rette, quelli di dimensione $2$ piani, quelli di dimensione $n-1$ (codimensione $1$) iperpiani.

(1.14) Proposizione. Se $L$ è un sottospazio proiettivo di $\PP ^ n(K)$ di dimensione $d$, allora per ogni carta affine $\AA _ i^ n(K) \subset \PP ^ n(K)$ l’intersezione $\AA ^ n_ i(K)\cap L$, se non vuota, è un sottospazio affine di $\AA _ i^ n(K) \cong \AA ^ n(K)$ di dimensione $d$. Viceversa, per ogni sottospazio affine $S \subset \AA _ i^ n(K)$ di dimensione $d$ esiste un sottospazio proiettivo $L\subset \PP ^ n(K)$ di dimensione $d$ tale che $S = \AA ^ n_ i(K)\cap L$.

Dim. Sia $V\subset K^ n$ il sottospazio vettoriale per cui $\PP (V) = L $. Senza perdere in generalità, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che $i=0$. Come abbiamo già notato nella dimostrazione di (1.12), è sempre possibile scrivere $V$ come luogo degli zeri di una applicazione lineare (suriettiva) $K^{n+1} \to K^{n-d}$, cioè come sistema di $n-d$ equazioni (omogenee e indipendenti) nelle $n+1$ incognite (le coordinate di $K^{n+1}$, cioè le coordinate omogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice $(n-d)\times (n+1)$ (una funzione lineare $M\from K^{n+1} \to K^{n-d}$) di rango $n-d$ tale che

\[ V= \{ v\in K^{n+1} : M(v) = 0 \} . \]

L’intersezione $\AA ^ n_0(K)\cap L$ è quindi l’insieme di tutti i punti $[1:x_1:x_2: ... :x_ n]$ di $\AA ^ n_0(K)$ tali che

\[ M( \begin{bmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_ n \end{bmatrix} ) = 0. \]

Ma $M$ è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matrice per un vettore, e quindi esistono coefficienti $b_ i$, $a_{i,j}$ tali che i punti di $\AA _0^ n(K)\cap L$ sono tutti e soli i punti di coordinate $(x_1,x_2, ... ,x_ n)$ tali che

\[ \begin{bmatrix} b_1 & a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ b_2 & a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n-d} & a_{n-d,1} & a_{n-d,2} & ... & a_{n-d,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_ n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \]

il che è equivalente a scrivere che

\[ \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-d} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-d,1} & a_{n-d,2} & ... & a_{n-d,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_ n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} . \]

L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio affine. Per verificare che si tratta di uno spazio affine di dimensione $d$, basta osservare che il rango della matrice $(a_{i,j})$ è proprio $n-d$. Infatti, il rango della matrice $(a_{i,j})$ può essere uguale soltanto a $n-d$ e $n-d-1$, dal momento che la matrice $(a_{i,j})$ si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa $(b_ i,a_{i,j})$ (che ha rango $n-d$ per ipotesi). Ma se il rango è uguale a $n-d-1$, allora il vettore $(b_ i)$ non è combinazione lineare dei vettori colonna di $(a_{i,j})$, e quindi il sistema non ha soluzioni. Quindi deve necessariamente essere uguale a $n-d$, e l’insieme di soluzioni ha dimensione $d$. Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.

Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine $S$ di dimensione $d$, e quindi l’insieme di soluzioni di $Ax+b=0$. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che la matrice $M = (b_ i,a_{i,j})$ ha rango $n-d$ e che individua il sottospazio vettoriale $V$ di dimensione $d+1$ tale che $\PP (V) = L$ cercato.

QED

(1.15) Nota. Come segue da (1.14), lo spazio proiettivo $\PP ^ n(K)$ può essere pensato come l’unione di uno spazio affine $\AA _0^ n(K)$ con coordinate $[1:x_1:x_2: ... :x_ n]$ più un iperpiano di punti all’infinito (i punti impropri) di coordinate $[0:x_1:x_2: ... : x_ n]$ (cfr. la nota (1.11) a pagina *). I sottospazi proiettivi di $\PP ^ n(K)$ sono quindi i sottospazi affini in $\AA _0^ n(K)$ cui sono stati aggiunti i loro punti all’infinito.

(1.16) Definizione. Se $S\subset \AA ^ n(K)$ è un sottospazio affine e $\AA ^ n(K) \cong \AA ^ n_ i(K) \subset \PP ^ n(K)$ è una carta affine, il sottospazio proiettivo $L\subset \PP ^ n(K)$ tale che $\AA ^ n_ i(K) \cap L = S$ della proposizione appena dimostrata si dice il completamento proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di $S$.

(1.17) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito della retta $S$ di $\AA ^2(\RR )$ di equazione $x_1 + x_2 = 1$. Per prima cosa, aggiungendo una coordinata, scriviamo $\AA ^2(\RR )$ come carta affine di $\PP ^2(\RR )$, con coordinate $[1:x_1:x_2]$. Per trovare la chiusura proiettiva di $S$ in $\PP ^2(\RR )$ dobbiamo trovare una (sola) equazione lineare omogenea nelle coordinate $[z_0:z_1:z_2]$, che definisca un sottospazio vettoriale di $\RR ^3$ di dimensione $2$ (che corrisponde alla retta proiettiva $L$ cercata). Cioè

\[ b_1 z_0 + a_1 z_1 + a_2 z_2 = 0 \]

in modo tale che

\[ b_1 \cdot 1 + a_1 x_1 + a_2 x_2 = 0 \]

sia l’equazione di $S$ nella carta affine. Basta riscrivere l’equazione come

\[ -1 + x_1 + x_2 = 0, \]

e quindi definire $b_1 = -1$, $a_1 = 1$, $a_2 = 1$. La retta proiettiva $L$ ha quindi equazione

\[ -z_0 + z_1 + z_2 = 0 \]

nelle coordinate omogenee $[z_0:z_1:z_2]$ di $\PP ^2(\RR )$. I punti all’infinito sono le intersezioni di $L$ con la retta impropria di equazione $z_0=0$, e quindi sono le soluzioni (omogenee) del sistema

\[ \begin{cases} -z_0 + z_1 + z_2 = 0 \\ z_0 = 0\\ \end{cases} \]

che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee $[0:1:-1]$ (che possiamo scrivere come $[0:t:-t]$ per ogni con $t\neq 0$).

(1.18) Definizione. Così come nella definizione (2.6), presi $d+1$ punti $[p_0]$, $[p_1]$, ... , $[p_ d]$ di $\PP ^ n(K)$ si può definire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme di tutte le combinazioni lineari

\[ [\lambda _0 p_0 + \lambda _1 p_1 + ... + \lambda _ d p_ d ] \]

con i coefficienti $\lambda _ i\in K$ non tutti nulli. I punti $[p_ i]\in \PP ^ n(K)$ si dicono linearmente dipendenti se i corrispondenti vettori $p_ i \in K^{n+1}$ sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendenti se lo sono i vettori.

(1.19) Proposizione. Per due punti distinti di $\PP ^ n(\KK )$ passa una e una sola retta. Per tre punti non allineati di $\PP ^ n(\KK )$ passa uno e un solo piano.

Footnotes

  1. Cfr: Sernesi, Vol I, cap 3 [1].