Esercizi: foglio 9

(9.1) [*] Dimostrare che se $\{ e_1,e_2, ... , e_ n\} $ sono un insieme di vettori ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo $E$, allora sono linearmente indipendenti. È vero anche il viceversa (cioè che se si considerano $n$ vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale euclideo $E$ allora sono ortogonali)? (Suggerimento: se sono linearmente dipendenti allora si possono trovare $n$ coefficienti non tutti nulli $\lambda _1$, $\lambda _2$, ... , $\lambda _ n$ tali che $ \lambda _1 e_1 + \lambda _2 e_2 + ... + \lambda _ n e_ n = 0. $ Ma se $\lambda _ i \neq 0$ e si moltiplicano entrambi i membri per $e_ i$ – con il prodotto scalare – si ottiene ... . Per il viceversa: in $\AA ^2(\RR )$ trovare due vettori linearmente indipendenti ma non ortogonali.

(9.2) [*] Dimostrare che le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi di riferimenti ortonormali, come

\[ x \mapsto Ax + b, \]

dove $A$ è una matrice ortogonale e $b$ un vettore. (Suggerimento: come nella dimostrazione (1.10))

(9.3) Dimostrare il lemma (1.6) a pagina *.

(9.4) Dimostrare che le traslazioni di uno spazio euclideo sono isometrie.

(9.5) [*] Determinare una formula per la proiezione ortogonale di uno spazio euclideo $\EE ^ n$ su un suo sottospazio affine $S$ di dimensione $d < n$, dato un punto di $S$ e una base ortonormale per $\overrightarrow {S}$. (Suggerimanto: si veda la dimostrazione di (2.5), in cui si proietta su un sottospazio di dimensione $1$ – una retta. Proiettare sulle rette generate dagli elementi della base e sommare ... )

(9.6) Siano $A,B,C \in \EE ^ n$ tre punti di uno spazio euclideo. Dati altri tre punti $A’,B’,C’ \in \EE ^ n$, dimostrare che esiste una isometria $f\from \EE ^ n \to \EE ^ n$ tale che $f(A)=A’$, $f(B)=B’$ e $f(C) = C’$ se e solo se $f$ conserva le distanze tra i punti, cioè

\[ |A’-B’| = |A-B|, |B’ - C’| = |B-C|, |A’-C’| = |A-C|. \]


(9.7) Siano $A=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $B=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $C=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ tre punti di $\EE ^3$. Esiste una isometria $f\from \EE ^3 \to \EE ^3$ tale che $f(A) = B$, $f(B) = C$ e $f(C) = A$? Se sì, quale (scriverla in forma matriciale)?

(9.8) Siano $r_1$ e $r_2$ due rette di $\EE ^3$. Sotto quali condizioni esiste una isometria che manda $r_1$ in $r_2$?

(9.9) Calcolare la distanza tra il punto $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ di $\EE ^3$ e il piano passante per $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $ ortogonale al vettore $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $.

(9.10) Determinare un vettore ortogonale al piano di $\EE ^4$ di equazione

\[ x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 + 4x_4 + 5 = 0. \]


(9.11) [*] Una similitudine $f\from \EE ^ n \to \EE ^ n$ è una funzione che conserva i rapporti tra le distanze, cioè una funzione per cui esiste una costante $k > 0$ tale che $|f(x) - f(y)| = k |x-y|$ per ogni $x,y\in \EE ^ n$. Dimostrare che le similitudini conservano gli angoli: se $A,B,C \in \EE ^ n$ sono tre punti, allora l’angolo tra $B-A$ e $C-A$ è uguale (a meno di orientazione) a quello tra $f(B) - f(A)$ e $f(C)-f(A)$.

(9.12) [*] È vero che una similitudine, come definita nell’esercizio precedente 9.11, è sempre una mappa affine? E una isometria?
(Suggerimento: si veda la dimostrazione di (1.12))

(9.13) Si consideri il piano affine euclideo $\EE ^2$. Dimostrare che ogni isometria del piano si può scrivere componendo un numero finito di riflessioni lungo rette.
(Suggerimento: anche le traslazioni e le rotazioni si possono scrivere come composizione di due riflessioni lungo due rette …parallele oppure no …)

(9.14) Dimostrare che se $S\subset \EE ^ n$ è un sottospazio e $p_ S$ è la proiezione ortogonale $p_ S\from \EE ^ n \to S$, allora la funzione $f\from \EE ^ n \to \EE ^ n$ definita da

\[ f(x) = p_ S(x) + (p_ S(x) - x ) \]

è una isometria che fissa tutti e soli i punti di $S$ (cioè tale che $f(x) = x$ se e solo se $x\in S$).

(9.15) Scrivere una isometria del piano che manda i punti $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ ad una distanza dall’origine di almeno $4$ unità.

(9.16) Sia $S$ la retta di equazione parametrica $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ in $\EE ^2$. Scrivere le equazioni della riflessione (ortogonale) di $\EE ^2$ attorno a $S$.

(9.17) [*] Sia $S$ la retta di equazione parametrica $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $ in $\EE ^2$. Determinare i valori dei coefficienti $a_{i,j}$ e $b_ i$ per cui la trasformazione affine

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \]

è la riflessione (ortogonale) attorno a $S$.

(9.18) Determinare tutte le isometrie del piano euclideo che fissano almeno un punto. (Suggerimento: usare (1.13) e trovare tutte le trasformazioni ortogonali di $O(2)$.)

(9.19) Dimostrare che ogni rotazione di $\EE ^2$ è composizione di due riflessioni (lungo due rette) (si considerino tre punti $A,B,C$ di un sistema di riferimento affine euclideo per $\EE ^2$, e le tre immagini $f(A) = A’$, $f(B)=B’$, $f(C)=C’$: quali sono le riflessioni che mandano $A$ in $A’$?).

(9.20) Dimostrare che ogni isometria del piano può essere scritta come la composizione di al più tre riflessioni (lungo rette). (Suggerimento: se $A$, $B$ e $C$ sono tre punti linearmente indipendenti del piano, cioè non allineati, allora le immagini $A’$, $B’$ e $C’$ sono anch’esse tre punti non allineati del piano. Con una riflessione (quale?) si può mandare $A$ in $A’$. Poi si può mandare $B$ in $B’$ riflettendo lungo una retta passante per $A=A’$, e quindi trovarsi con $A=A’$, $B=B’$ ... )

(9.21) [*] Dimostrare che le isometrie (non banali) del piano sono tutte e sole le seguenti: rotazioni, traslazioni, riflessioni, glissoriflessioni.

(9.22) Siano $A$ e $B$ due punti distinti di $\EE ^2$, e $f$, $g$ le rotazioni attorno ad $A$ e $B$ (rispettivamente) di angolo $\pi /2$. Determinare l’angolo e il centro delle rotazioni $fg$ e $gf$. Che cos’è il gruppo di isometrie di $\EE ^2$ generato da $f$ e $g$? Determinare l’orbita di $A$, di $B$ e del punto medio del segmento $AB$.

(9.23) Dimostrare che se $G$ è un gruppo finito di isometrie di $\EE ^2$, allora esiste $Q\in \EE ^2$ fissato da $G$.

Nel prossimo esercizio si dimostra il Teorema Fondamentale dell’Algebra. Questa dimostrazione si basa su proprietà elementari dei polinomi, principalmente della funzione norma, e sul fatto che una funzione su un compatto di $\CC $ ha certamente minimo.

(9.24) [**] Dimostrare le seguenti affermazioni.

  1. Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti in $\RR $ di grado dispari. Allora $p(x)$ ha una radice reale (cioè esiste $x_0\in \RR $ tale che $p(x_0)=0$).

  2. Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti in $\CC $

    \[ p(x) = a_ nz^ n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0, \]

    e $\bar p(x)$ indica il polinomio i cui coefficienti sono i complessi coniugati $\bar a_ i$, $\bar p(x) = \bar a_ nz^ n + \bar a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + \bar a_1z + \bar a_0$, allora $p(x)$ ha coefficienti reali se e soltanto se $p=\bar p$, e per ogni $z\in \CC $ si ha $\overline{p(z)} = \bar p(\bar z)$.

  3. Per ogni $p,q$ polinomi a coefficienti in $\CC $, se $r=pq$, allora $\bar r = \bar p \bar q$.

  4. Per ogni polinomio $p(z)$ a coefficienti in $\CC $ il polinomio $r(z) = p(z) \bar p(z)$ ha coefficienti in $\RR $.

  5. Se $z_0$ è una radice di $r(z) = p(z)\bar p(z)$, allora $z_0$ o $\bar z_0$ è una radice per $p(z)$.

  6. Sia $p(z)$ un polinomio a coefficienti reali. Allora per ogni $m > 0$ esiste $r > 0$ tale che $\lvert z\rvert > r \implies \lvert p(z)\rvert > m$.

  7. Per ogni $r > 0$, esiste $z_0$ tale che $\lvert z_0\rvert \leq r$ e $\lvert z\rvert \leq r \implies \lvert p(z)\rvert \leq \lvert p(z_0)\rvert $.

  8. La funzione $\lvert p(z)\rvert $, $\CC \to \RR $, ammette un minimo globale $z_0$, tale che $\forall z\in \CC $, $\lvert p(z)\rvert \geq \lvert p(z_0)\rvert $.

  9. Se $z_0\in \CC $ è il punto di minimo globale, e se $z_0\neq 0$, allora la funzione definita da $f(z) = \dfrac {p(z_0+z)}{p(z_0)}$ è un polinomio di grado $n$ (il grado di $p(z)$) tale che $f(0)=1$ e

    \[ f(z) = 1 + z^ k r(z) \]

    con $r(z)$ polinomio di grado $n-k$ tale che $r(0)\neq 0$, e $k\geq 1$. Inoltre il minimo globale per $\lvert f(z)\rvert $ è in $0\in \CC $.

  10. Esiste $z_1\in \CC $ tale che $z_1^ k r(0) = -1$.

  11. La funzione $g(z) = f(z_1 z)$ è un polinomio in $z$ di grado $n$ che si scrive come

    \[ g(z) = 1 - z^ k+ z^{k+1}\hat r(z) \]

    dove $\hat r(z)$ è un polinomio in $z$. Il minimo globale di $\lvert g(z)\rvert $ è in $z=0$.

  12. Per ogni $z\in \CC $, si ha

    \[ \lvert g(z)\rvert \leq \lvert 1-z^ k\rvert + \lvert z^{k+1}\rvert \lvert \hat r(z)\rvert . \]
  13. Esiste $t\in \RR $ tale che $0 < t < 1$ e $t \lvert g(t)\rvert < 1$, e quindi

    \[ \lvert g(t)\rvert \leq 1- t^ k + t^{k+1}\lvert g(t)\rvert = 1 - t^ k(1-t\lvert g(t)\rvert ) < 1. \]
  14. Se $p(z)$ è un polinomio a coefficienti reali di grado $n\geq 1$, allora esiste $z_0\in \CC $ tale che $f(z_0) = 0$ (si consideri che la funzione $\lvert p(z)\rvert $ ha minimo in $z_0$, e questo punto non può essere tale che $\lvert p(z_0)\rvert = 0$).

  15. Se $p(z)$ è un poliniomio a coefficienti complessi di grado $n\geq 1$, allora esiste $z_0\in \CC $ tale che $p(z_0)=0$.


Nel prossimo esercizio dimostriamo un pezzo del teorema di classificazione dei sottogruppi finiti di $SO(3)$: $C_ n$, $D_{k}$, $T$, $O$, $I$.

(9.25) [**] Sia $G\subset SO(3)$ un gruppo finito e $S=S^2\subset \EE ^3$ la sfera unitaria. Dimostrare le seguenti proposizioni.

  1. Per ogni $x\in S$ lo stabilizzatore $G_ x \subset G$ è un gruppo ciclico finito.

  2. Per ogni $g\in G\smallsetminus \{ 1\} $, lo spazio fissato da $g$ in $S$, cioè $S^ g = \{ x\in S: gx=x\} $, è un insieme di due punti antipodali $\{ x,-x\} $.

  3. L’insieme $X$ dei poli, cioè degli $x\in S$ con stabilizzatore non banale $X=\{ x\in S : \lvert G_ x\rvert > 1\} $ è invariante rispetto all’azione di $G$ su $S$: $\forall g\in G$, $gX=X$ (per ogni insieme finito $Y$ si denota con $\lvert Y\rvert $ il numero di elementi di $Y$).

  4. Sia $p\from X \to X/G$ la mappa di proiezione sullo spazio quoziente. Se $\bar{x}$ è un’orbita in $X/G$, allora $\bar{x}$ ha $\lvert G\rvert /\lvert G_ x\rvert $ elementi. Se $x$ e $y$ stanno nella medesima orbita, allora $\lvert G_ x\rvert = \lvert G_ y\rvert $. Sia $n_{\bar{x}}$ l’intero definito da $n_{\bar{x}} = \lvert G_ x\rvert $ per un elemento $x$ dell’orbita $\bar{x}$. Il $G$-insieme $X$ è unione disgiunta delle sue orbite, e quindi

    \[ \lvert X\rvert = \sum _{\bar{x} \in X/G} \dfrac {\lvert G\rvert }{n_{\bar{x}}}. \]
  5. Sia $\bar X$ l’insieme $X$ dei poli quozientato rispetto alla relazione di equivalenza data da $x\sim -x$. Allora $2 \lvert \bar X\rvert = \lvert X\rvert $.

  6. Sia $f\from G\smallsetminus \{ 1\} \to \bar X$ l’applicazione che associa ad ogni $g\in G$, $g\neq 1$, la coppia di poli $\{ x,-x\} \in \bar X$ fissata da $g$ in $S$. Mostrare che $f$ è suriettiva, e dedurre che $X$ è finito.

  7. Se $[x]\in \bar X$ è una classe di equivalenza di poli, allora $G_ x = G_ y$ per ogni $y\in [x]$, e l’insieme $f^{-1}([x])$ ha $\lvert G_ x\rvert -1$ elementi.

  8. Valgono le uguaglianze

    \[ 2(\lvert G\rvert -1) = 2 \sum _{[x] \in \bar X} (\lvert G_ x\rvert -1) = \sum _{x\in X} (\lvert G_ x\rvert -1 ) \]
  9. Vale l’uguaglianza

    \[ 2(\lvert G\rvert - 1 ) = \sum _{\bar{x} \in X/G} \dfrac {\lvert G\rvert }{n_{\bar{x}}} (n_{\bar{x}} - 1). \]
  10. Se $G$ non è il gruppo banale, valgono le disuguaglianze

    \[ 1 \leq \sum _{\bar{x} \in X/G} (1-\dfrac {1}{n_{\bar{x}}}) < 2. \]
  11. Valgono le disuguaglianze

    \[ \dfrac {1}{2} \lvert X/G\rvert \leq \sum _{\bar{x} \in X/G} (1-\dfrac {1}{n_{\bar{x}}}) < \lvert X/G\rvert , \]

    da cui

    \[ 2\leq \lvert X/G\rvert \leq 3. \]
  12. Ci sono $2$ o $3$ orbite di poli in $X/G$. Se $X/G = \{ \bar{x}_1, \bar{x}_2\} $, allora posto $n_1= n_{\bar{x}_1}$ e $n_2=n_{\bar{x}_2}$ si ha

    \[ \dfrac {2}{\lvert G\rvert } = \dfrac {1}{n_1} + \dfrac {1}{n_2}, \]

    e questo implica $n_1=n_2=\lvert G\rvert $ (osserviamo che se $n=\lvert G\rvert $, allora $n/n_ i$ è intero per $i=1,2$ e che $n/n_1+n/n_2=\textellipsis $). Quindi $G$ è il gruppo ciclico generato da una rotazione, indicato con il simbolo $C_ n$.

  13. Se $X/G = \{ \bar{x}_1, \bar{x}_2,\bar{x}_3\} $, allora posto $n=\lvert G\rvert $, $n_1= n_{\bar{x}_1}$, $n_2=n_{\bar{x}_2}$ e $n_3=n_{\bar{x}_3}$ si ha

    \[ 1+\dfrac {2}{n} = \dfrac {1}{n_1} + \dfrac {1}{n_2} + \dfrac {1}{n_3}. \]

    Allora se supponiamo $n_1\geq n_2 \geq n_3 > 1$, deve essere $n_3=2$, e quindi

    \[ \dfrac {1}{2}+\dfrac {2}{n} = \dfrac {1}{n_1} + \dfrac {1}{n_2}. \]
  14. Dalla disequazione precedente e da $n_1\geq n_2 \geq 2$, si deduce che $n_2\in \{ 2,3\} $.

  15. Se $n_2=2$, allora $2n_1=n$, quindi $(n_1,n_2,n_3)= (\dfrac {n}{2}, 2,2)$. Il gruppo $G$ è (deve essere! perché?) il gruppo generato da due rotazioni di angolo $\pi $ attorno a due assi che si intersecano nell’origine con angolo $2\pi /n$ (gruppo diedrale di ordine $n=2 n_1$, indicato con il simbolo $D_{n_1}$).

  16. Se $n_2=3$, allora

    \[ \dfrac {1}{6} + \dfrac {2}{n} = \dfrac {1}{n_1}. \]

    e quindi $3\leq n_1\leq 5$, da cui

    \[ \begin{aligned} n_1=3 & \implies n = 12; \\ n_1=4 & \implies n = 24; \\ n_1=5 & \implies n = 60. \end{aligned} \]
  17. Esistono gruppi con $n_3=2$, $n_2=3$ e $n_1\in \{ 3,4,5\} $: sono i gruppi delle rotazioni che sono simmetrie del tetraedro ($T$), esaedro/ottaedro (cubo) ($O$), icosaedro/dodecaedro ($I$). Descriverne gli assi di rotazione. Ci sono solo questi gruppi in $SO(3)$ con questi insiemi di poli?


(9.26) Sia $G\subset GL(n,\RR )$ un sottogruppo finito di ordine $\lvert G\rvert > 1$, e $\vx \cdot \vy $ denoti il prodotto scalare standard di $\RR ^ n$. Allora:

  1. Il prodotto $\langle \vx , \vy \rangle $, definito per $\vx ,\vy \in \RR ^ n$ da

    \[ \langle \vx ,\vy \rangle = \dfrac {1}{\lvert G\rvert } \sum _{A\in G} (A\vx ) \cdot (A\vy ) \]

    è un prodotto scalare.

  2. Per ogni $A\in G$, per ogni $\vx ,\vy \in \RR ^ n$ si ha

    \[ \langle A\vx , A\vy \rangle = \langle \vx ,\vy \rangle . \]
  3. Esiste una base $\vb _1,\ldots , \vb _ n$ di $\RR ^ n$ ortonormale rispetto al prodotto $\langle -,-\rangle $.

  4. Se $Q$ è la matrice del cambio di base, tale che $Q\vb _ i = \ve _ i$ per ogni $i=1,\ldots , n$ ($\ve _ i$ vettori della base standard), allora

    \[ \langle \vx , \vy \rangle = ( Q\vx ) \cdot ( Q\vy ) = \vx ^ t Q^ t Q \vy . \]
  5. Per ogni $A\in G$ la matrice coniugata $QAQ^{-1}$ è ortogonale.

  6. L’applicazione $G\to O(n)$ definita da $A\mapsto QAQ^{-1}$ è un omomorfismo di gruppi, ed è iniettiva.

  7. Se $G$ è un sottogruppo finito di $GL(n,\RR )$, allora $G$ è isomorfo ad un sottogruppo finito di $O(n)$.


Abbiamo visto nella proposizione (1.12) che una isometria tra spazi euclidei è sempre un isomorfismo affine. Ma cosa succede se si considerano spazi la cui metrica viene da una norma arbitraria (non quella standard di $\EE ^ n$)? Mostriamo nel prossimi esercizi come le cose cambiano, ma non di molto.

(9.27) [*] Sia $\RR $ con la metrica euclidea, e $V=\RR ^2$ con la metrica indotta dalla norma del massimo

\[ \forall \vx =(x_1,x_2)\in \RR ^2, \quad \lVert \vx \rVert = \max \{ \lvert x_1\rvert , \lvert x_2 \rvert \} , \]

per cui la distanza tra $\vx $ e $\vy $ in $V$ è data da $\lVert \vx - \vy \rVert $. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. La funzione $f\from \RR \to V$ definita da $f(t) = (t,\sin t)$ conserva la distanza, cioè per ogni $t_1,t_2\in \RR $ si ha $\lVert f(t_1) - f(t_2) \rVert = \lvert t_1 - t_2\rvert $.

  2. La funzione $f$ definita sopra non è una mappa affine.


(9.28) [**] (Teorema di Mazur-Ulam) Siano $X$ e $Y$ spazi vettoriali reali con norme $\lVert \cdot \rVert _ X$ e $\lVert \cdot \rVert _ Y$. Si considerino come spazi affini, con la struttura di spazio affine standard. Sia $f\from X \to Y$ una isometria (biunivoca). Dimostrare le seguenti proposizioni.

  1. La funzione $f$ è continua.

  2. Se $f$ conserva i punti medi dei segmenti, allora è una mappa affine; cioè, se per ogni $A,B \in X$ si ha

    \[ f( \dfrac {A+B}{2} ) = \dfrac { f(A) + f(B)}{2}, \]

    allora $f$ è affine. (Suggerimento: usare la proposizione (1.16), la densità dei razionali diadici dell’esercizio 1.19 a pagina * e la continuità)

  3. Se $Q\in X$ è un punto qualsiasi, allora la riflessione centrale attorno a $Q$ (definita da $\varphi (x) = Q+(Q-x)$) è una isometria tale che $\varphi ^{-1} = \varphi $ e $\varphi (x) = x \iff x=Q$.

  4. Mostrare che se $\varphi $ è una riflessione centrale attorno a $Q\in X$, allora per ogni $x\in X$ si ha

    \[ \begin{aligned} \lVert \varphi (x) -Q \rVert _ X & = \lVert x - Q \rVert _ X, \\ \lVert \varphi (x) - x \rVert _ X & = 2 \lVert x - Q \rVert _ X. \end{aligned} \]
  5. Siano $A,B\in X$ due punti distinti $A\neq B$, e $Q=\dfrac {A+B}{2}$ il punto medio. Se $g\from X \to X$ è una isometria tale che $g(A)=A$ e $g(B)=B$, allora $\lVert g(Q) -A \rVert _ X = \lVert Q-A \rVert _ X$ e

    \[ \lVert g(Q) - Q \rVert _ X \leq 2 \lVert A-Q \rVert _ X. \]
  6. Sia $\mathcal{W}$ l’insieme di tutte le isometrie (biunivoche) $g$ di $X$ (in $X$) tali che $g(A) = A$ e $g(B) = B$; esiste l’estremo superiore

    \[ \lambda = \sup _{g\in \mathcal{W}} \lVert g(Q) - Q \rVert _ X. \]
  7. Sia $\varphi \from X \to X$ la riflessione centrale attorno a $Q$ (punto medio di $AB$). Se $g\in \mathcal{W}$, allora $\varphi g^{-1} \varphi g \in \mathcal{W}$.

  8. Per ogni $g\in \mathcal{W}$,

    \[ \begin{aligned} \lVert \varphi g^{-1} \varphi g Q - Q \rVert _ X & = \lVert g^{-1} \varphi g Q - \varphi Q \rVert _ X \\ & = \lVert \varphi g Q - g Q \rVert _ X. \end{aligned} \]
  9. Per ogni $g\in \mathcal{W}$

    \[ \lVert \varphi ( gQ) -gQ \rVert _ X = 2 \lVert gQ - Q \rVert _ X, \]

    e quindi per ogni $g$

    \[ 2\lVert gQ - Q \rVert _ X = \lVert \varphi g^{-1} \varphi g Q - Q \rVert _ X \leq \lambda . \]
  10. $\lambda =0$, e quindi $g\in \mathcal{W} \implies g(Q) = Q$.

  11. Siano $A’=f(A)$ e $B’=f(B)$ le immagini di $A,B$ in $Y$ mediante l’isometria $f$, e $Q=\dfrac {A+B}{2}$, $Q’=\dfrac {A’+B’}{2}$ i punti medi. Sia $\varphi ’\from Y \to Y$ la riflessione centrale attorno a $Q’$. Allora la mappa $h=\varphi f^{-1} \varphi ’ f \from X \to X$ è un elemento di $\mathcal{W}$.

  12. Dedurre che $h(Q) = Q$ e che $f(Q) = Q’$.

  13. (Teorema di Mazur-Ulam)1: ogni isometria biunivoca $f\from X \to Y$ tra spazi normati è una mappa affine.


Footnotes

  1. Lo schema di questa dimostrazione è di Jussi Väisälä, che a sua volta è basata su idee di A. Vogt.