1. Spazi affini euclidei e isometrie

(Cfr.)1

Immagine di un icosaedro Immagine di un dodecaedro
Figura 9.1: Icosaedro e dodecaedro

(1.1) Definizione. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio vettoriale $E$ di dimensione finita su campo $\RR $, munito di una forma bilineare definita positiva e simmetrica (cioè $b\from E\times E\to \RR $ è simmetrica e bilineare, e $\forall \vx \neq 0,\, b(\vx ,\vx ) > 0$). Scriviamo

\[ b(\vx ,\vy )=\langle \vx , \vy \rangle = \vx \cdot \vy \]

e chiamiamo questo numero il prodotto scalare di $\vx $ con $\vy $.2

(1.2) Definizione. La norma di un vettore $\vx $ è definita da $|\vx |=\lVert \vx \rVert = \sqrt {\vx \cdot \vx }$.

(1.3) Definizione. Se $\vx \cdot \vy = 0$, allora $\vx $ e $\vy $ sono ortogonali. Un insieme di vettori $\{ \ve _1,\ve _2, ... ,\ve _ n\} \subset E$ si dice ortogonale se i suoi elementi sono a due a due ortogonali: $\forall i,j,\ i\neq j \implies \ve _ i\cdot \ve _ j = 0$, e ortonormale se è ortogonale e in più i vettori hanno norma uno, cioè $\forall i,\ |\ve _ i|=1$. Se l’insieme di vettori $\{ \ve _1,\ve _2, ... ,\ve _ n\} $ è una base per $E$, allora si dice che la base è ortogonale (risp. ortonormale) quando lo è come insieme di vettori.

(1.4) Esempio. L’esempio standard di spazio vettoriale euclideo è $E= \RR ^ n$, con il prodotto scalare canonico dato da

\[ \langle \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_ n \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_ n \end{bmatrix} \rangle = \sum _{i=1}^ n x_ iy_ i, \]

ossia $\ve _ i \cdot \ve _ j = \delta _{ij}$.

(1.5) Esempio. Consideriamo lo spazio $E$ di tutti i polinomi a coefficienti reali di grado al più $n$:

\[ p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_ n x^ n. \]

È uno spazio vettoriale su $\RR $ rispetto alla somma di polinomi e al prodotto per uno scalare. Se $p,q\in E$, sia

\[ \langle p,q \rangle = \int _{0}^1 p(t) q(t) \, dt. \]

È uno prodotto scalare? È certamente bilineare, simmetrica e definito positivo (per esercizio i dettagli: basta osservare che l’integrale di una funzione positiva o nulla $p^2$ è nullo solo se la funzione è zero, e se un polinomio è zero in $[0,1]$, allora è il polinomio nullo). Esiste una base ortonormale in $E$? Come trovarla?

(1.6) [Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare] Per ogni $\vx ,\vy \in E$ si ha: \[ \begin{aligned} | \langle \vx , \vy \rangle | & \leq |\vx | |\vy | \\ |\vx +\vy | & \leq |\vx | + |\vy |. \end{aligned} \] Quindi la norma è una norma nel senso di (1.18) a pagina *. E la distanza definita su $E$ da $d(\vx ,\vy ) = |\vx -\vy |$ è una metrica (che rende $E$ spazio topologico, con la topologia metrica), nel senso di (1.1) a pagina *.

Dim. Esercizio 9.3.
QED

(1.7) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalle due identità (equivalenti) \[ \begin{aligned} |\vx +\vy |^2 & = |\vx |^2 + |\vy |^2 + 2\langle \vx , \vy \rangle \\ \langle \vx ,\vy \rangle & = \dfrac {1}{2}\left( |\vx +\vy |^2 - |\vx |^2 - |\vy |^2 \right). \end{aligned} \]

(1.8) Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine $(X,\overrightarrow {X})$ per cui lo spazio delle traslazioni (dei vettori) $\overrightarrow {X}$ è uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine $\{ A_0,A_1, ... , A_ n\} $ di $X$ è ortonormale se $(\overrightarrow {A_0A_1}, \overrightarrow {A_0A_2}, ... , \overrightarrow {A_0A_ n} )$ è una base ortonormale per $\overrightarrow {X}$. Allora $X$ è uno spazio metrico con la metrica definita da

\[ d(A,B) = |\overrightarrow {AB}|, \]

dove la norma è la norma euclidea in $\overrightarrow {X}$.

(1.9) Definizione. [Spazio euclideo $\EE ^ n$] Se $\RR ^ n$ ha il prodotto scalare standard, allora lo spazio affine $\AA ^ n(\RR )$ è uno spazio affine euclideo, che indichiamo con il simbolo $\EE ^ n$.

Una isometria tra spazi affini non è altro che una funzione biunivoca che conserva le distanze, e quindi:

(1.10) Definizione. Una isometria tra due spazi affini euclidei $f\from X \to Y$ è una biiezione tale che per ogni $A,B\in X$, $|f(A)-f(B)|_ Y = |A-B|_ X $ (dove la norma $|\cdot |_ X$ è la norma di $X$ e la norma $|\cdot |_ Y$ è la norma di $Y$).

Abbiamo visto che per (1.18) tutte le metriche indotte da prodotti scalari di $E$ sono tra loro equivalenti, e quindi inducono la stessa topologia. In realtà due spazi euclidei con prodotti scalari qualsiasi risultano sempre isometrici, come segue dal seguente lemma.

(1.11) Ogni spazio affine euclideo di dimensione $n$ è isometrico allo spazio standard $\EE ^ n$ (con il prodotto scalare standard).

Dim. Sia $X$ uno spazio affine euclideo di dimensione $n$. Scelto un punto $O\in X$, si ha la biiezione $X \cong \overrightarrow {X}$ data da \[ x\in X \mapsto \overrightarrow {Ox} \in \overrightarrow {X}. \] Ora, lo spazio vettoriale euclideo $\overrightarrow {X}$ ha sicuramente una base ortonormale (per esempio, con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) $\{ \ve _1,\ve _2, ... ,\ve _ n\} \subset E$, mediante la quale si può scrivere un isomorfismo \[ f\from \overrightarrow {X} \cong \RR ^ n \] definito da \[ f(\vv ) = \begin{bmatrix} \langle \vv , \ve _1 \rangle \\ \langle \vv ,\ve _2\rangle \\ ... \\ \langle \vv ,\ve _ n\rangle \end{bmatrix} \] La composizione $X\to \overrightarrow {X} \to \RR ^ n\cong \EE ^ n$ è una isometria. Vediamo per prima cosa come è definita. Se $x\in X$, il vettore associato in $\overrightarrow {X}$ è $x-O$, che viene mandato da $f$ in \[ f(x-O) = \begin{bmatrix} \langle x-O , \ve _1 \rangle \\ \langle x-O,\ve _2\rangle \\ ... \\ \langle x-O,\ve _ n\rangle \end{bmatrix} . \] Ora, presi $x,y\in X$, se definiamo per ogni $i=1, ... , n$ i numeri $x_ i = \langle x-O, \ve _ i \rangle $ e $y_ i = \langle y-O, \ve _ i \rangle $ , si ha che \[ x-O= \sum _{i=1}^ n x_ i \ve _ i \] \[ y-O= \sum _{i=1}^ n y_ i \ve _ i, \] e quindi \[ f(x-O) = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_ n \end{bmatrix} \in \RR ^ n \] \[ f(y-O) = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_ n \end{bmatrix} \in \RR ^ n \] da cui segue che \[ \begin{aligned} d_ X(x,y) & = |x-y|_{\overrightarrow {X}} \\ & = |(x-O)-(y-O)|_{\overrightarrow {X}} \\ & = |\sum _{i=1}^ n (x_ i-y_ i)\ve _ i |_{\overrightarrow {X}} \\ & = \sqrt { \langle \sum _{i=1}^ n (x_ i-y_ i)\ve _ i, \sum _{j=1}^ n (x_ j-y_ j)\ve _ j \rangle } \\ & = \sqrt { \sum _{i,j=1}^ n (x_ i-y_ i)(x_ j-y_ j) \langle \ve _ i,\ve _ j \rangle } \\ & = \sqrt { \sum _{i=1}^ n (x_ i-y_ i)^2 } \\ & = |f(x) - f(y)|_{\RR ^ n} = d_{\RR ^ n}(f(x),f(y) ). \end{aligned} \]
QED

(1.12) Teorema. Siano $X$ e $Y$ spazi affini euclidei e $f\from X \to Y$ una isometria (cioè una biiezione tale che $|f(x) - f(y)|_ Y = |x-y|_ X$ per ogni $x,y\in X$). Allora $f$ è un isomorfismo affine (una trasformazione affine invertibile).

Dim. Cominciamo a mostrare che $f$ è una mappa affine, cioè, per la definizione (1.1), che per ogni $x\in X$ la funzione indotta sugli spazi vettoriali sottostanti $\overrightarrow {X}\to \overrightarrow {Y}$ definita da

\[ \vv \in \overrightarrow {X} \mapsto f(x+\vv ) - f(x) \in \overrightarrow {Y} \]

è lineare. In realtà, per (1.5), basta farlo vedere per un solo $x_0\in X$. Sia $T\from \overrightarrow {X} \to \overrightarrow {Y}$ la funzione definita da $T(\vv ) = f(x_0+\vv ) - f(x_0)$. Per ipotesi si ha che per ogni $\vv \in \overrightarrow {X}$

\[ \begin{aligned} |\vv |_{\overrightarrow {X}} & = | (x_0 + \vv ) - x_0 |_ X \\ & = | f(x_0+\vv ) - f(x_0) |_ Y \\ & = | T(\vv ) |_{\overrightarrow {Y}}, \end{aligned} \]

e quindi la trasformazione $T$ conserva la norma. Osserviamo anche che per $\vv =\boldsymbol {0}$ questo implica che $|T(\boldsymbol {0})| = 0$, e quindi $T(\boldsymbol {0}) = \boldsymbol {0}$ (dove qui con un abuso di notazione usiamo in simbolo $\boldsymbol {0}$ sia per indicare $\boldsymbol {0}_ X\in \overrightarrow {X}$ che $\boldsymbol {0}_ Y\in \overrightarrow {Y}$). Se $v,w \in \overrightarrow {X}$ sono due vettori, allora si ha

\[ \begin{aligned} |\vv -\vw |_{\overrightarrow {X}} & = | (x_0 + \vv ) - (x_0+\vw ) |_ X \\ & = | f(x_0+\vv ) - f(x_0+\vw ) |_ Y \\ & = | f(x_0+\vv ) - f(x_0) + f(x_0) - f(x_0+\vw ) |_ Y \\ & = | T(\vv ) - T(\vw )|_{\overrightarrow {Y}}, \end{aligned} \]

cioè

\[ |T(\vv ) - T(\vw )|^2 = |\vv -\vw |^2. \]

Per la formula del parallelogramma (1.7), si ha quindi per ogni $\vv ,\vw \in \overrightarrow {X}$

\[ \begin{aligned} - 2 \langle T(\vv ), T(\vw ) \rangle & = |T(\vv ) - T(\vw )|^2 - |T(\vv )|^2 - | T(\vw ) |^2 \\ & = |\vv - \vw |^2 - |\vv |^2 - | \vw |^2 \\ & = - 2 \langle \vv ,\vw \rangle , \end{aligned} \]

cioè $T$ conserva anche il prodotto scalare (non solo la norma).

Non rimane che finire dimostrando che $T$ è lineare: siano $a,b\in \RR $ due scalari e $\vv ,\vw \in \overrightarrow {X}$ due vettori. Allora, per ogni scelta di un terzo vettore $\ve \in \overrightarrow {X}$ si ha

\[ \begin{aligned} \langle T(a\vv + b\vw ), T(\ve ) \rangle & = \langle a\vv + b\vw , \ve \rangle \\ & = a \langle \vv ,\ve \rangle + b \langle \vw , \ve \rangle , \end{aligned} \]

ed anche

\[ \begin{aligned} \langle aT(\vv ) + bT(\vw ), T(\ve ) \rangle & = a\langle T(\vv ),T(\ve ) \rangle + b \langle T(\vw ), T(\ve ) \rangle \\ & = a \langle \vv ,\ve \rangle + b \langle \vw , \ve \rangle , \end{aligned} \]

cioè per ogni $\ve \in \overrightarrow {X}$ si ha

\[ \langle T(a\vv + b\vw ), T(\ve ) \rangle = \langle aT(\vv ) + bT(\vw ), T(\ve ) \rangle . \]

Ora, dato che $f$ è una biiezione, anche $T$ lo è, per cui necessariamente deve essere

\[ T(a\vv + b\vw ) = aT(\vv ) + bT(\vw ), \]

e quindi $T$ è lineare. Per mostrare che è un isomorfismo, basta notare che è una biiezione, per cui esiste l’inversa (che è naturalmente una isometria – vedi anche la definizione (1.6)).

QED

(1.13) Una isomorfismo affine $f\from X \to Y$ è una isometria se e soltanto se l’applicazione lineare associata $L\from \vv \mapsto f(x+\vv ) - f(x)$ è una trasformazione ortogonale (cioè una trasformazione lineare che conserva la norma o, equivalentemente, il prodotto scalare).

Dim. Nella dimostrazione della proposizione precedente (1.12) abbiamo di fatto dimostrato anche che la trasformazione $L$ associata ad una isometria conserva il prodotto scalare e le norme (abbiamo usato questa proprietà per mostrare che è lineare), e cioè che è una trasformazione ortogonale. Viceversa, supponiamo che un isomorfismo affine $f\from X \to Y$ abbia la proprietà che la trasformazione lineare associata $L$ sia ortogonale. Allora $L(\vv -\vw ) = L(\vv ) - L(\vw )$ per ogni $\vv ,\vw \in \overrightarrow {X}$, e quindi per ogni $x=x_0 + \vv $ e $y=x_0 + \vw $ in $X$ si ha \[ \begin{aligned} |f(x) - f(y)| & = |f(x_0 + \vv ) - f(x_0 +\vw ) | \\ & = |f(x_0+\vv ) - f(x_0) + f(x_0) - f(x_0+\vw ) |\\ & = |L(\vv ) - L(\vw )| \\ & =|\vv -\vw | \\ & = |x_0 + \vv - (x_0 + \vw ) | \\ & = |x-y|, \end{aligned} \] cioè $f$ è una isometria.
QED

(1.14) Proposizione. Le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi di riferimenti ortonormali, come \[ x \mapsto Ax + b, \] dove $A\in O(n)$ è una matrice ortogonale e $b$ un vettore.

Dim. Come la dimostrazione di (1.10) (esercizio 9.2).
QED

(1.15) Le traslazioni sono isometrie.

Dim. Vedi esercizio 9.4.
QED

Dato che una matrice ortogonale $A\in O(n)$ ha determinante uguale a $\pm 1$, la parte lineare di una isometria di $\EE ^ n$ può avere determinante $1$ oppure $-1$ (cioè essere in $SO(n)$ oppure no).

(1.16) Definizione. Una isometria $\EE ^ n \to \EE ^ n$ rappresentata in un sistema di riferimento da $x\mapsto Ax + b$ è detta diretta se $\det A = 1$ (cioè $A\in SO(n) \subset O(n)$), altrimenti è detta inversa.

Se $x$ è la $n$-upla di coordinate rispetto ad un sistema di riferimento euclideo (ortonormale) e $x’$ è la $n$-upla di coordinate dello stesso punto rispetto ad un altro riferimento, si ha

\[ x = Qx’ + c \]

per una certa matrice ortogonale $Q$ e un punto/vettore $c$. Allora la mappa $x \mapsto Ax+b$ si scrive, ponendo $y=Ax+b$, e $y=Qy’+c$

\[ \begin{aligned} y & = Ax + b \\ Qy’ +c & = A (Qx’+c) + b \\ Qy’ & = AQ x’ + Ac + b - c\\ y’ & = Q^{-1}AQ x’ + Q^{-1}(Ac + b-c). \end{aligned} \]

Ovviamente, se $A$ è ortogonale, anche $Q^{-1}AQ$ lo è, dato che si ha $Q^ t = Q^{-1}$ e $A^ t = A^{-1}$

\begin{multline*} [Q^{-1}AQ]^ t [Q^{-1}AQ] = Q^ t A^ t Q Q^{-1} A Q = \\ = Q^ t A^ t A Q = Q^ t Q = I. \end{multline*}

Il determinante di $Q^{-1}AQ$ è uguale al determinante di $A$, e quindi $Q^{-1}AQ \in SO(n) \iff A\in SO(n)$.

(1.17) Proposizione. La composizione di due isometrie dirette è una isometria diretta. La composizione di una isometria diretta con una inversa è una isometria inversa. La composizione di due isometrie inverse è una isometria diretta.

Dim. L’affermazione è equivalente alla seguente: se associamo ad una isometria il determinante della matrice associata, otteniamo un omomorfismo di gruppi (rispetto alla composizione di isometrie e al prodotto di numeri). Osserviamo che la matrice $A$ di cui calcoliamo il determinante è la matrice della trasformazione lineare $\overrightarrow {f}$ associata alla trasformazione affine (isometrica) $f\from \EE ^ n \to \EE ^ n$. Ora, dimostriamo questa proposizione in generale: l’applicazione $f\mapsto \overrightarrow {f}$ che manda una affinità nella sua mappa lineare associata è un omomorfismo di gruppi (dal gruppo affine al gruppo lineare): infatti se si hanno $f\from X \to X$ e $g\from X \to X$, con corrispondenti $\overrightarrow {f} $ e $\overrightarrow {g}$, allora $\overrightarrow { g \circ f }$ è definita da \[ \overrightarrow { g \circ f } (\vv ) = g(f( x_0 + \vv )) - g(f(x_0) ) \] per $x_0 \in X$. Tenuto conto che per ogni $x\in X$ e $\vv \in \overrightarrow {X}$ si ha \[ \begin{aligned} f(x+\vv ) & = f(x) + \overrightarrow {f} (\vv ) \\ g(x+\vv ) & = g(x) + \overrightarrow {g} ( \vv ), \end{aligned} \] deduciamo che \[ \begin{aligned} g(f( x_0 + \vv )) & = g ( f (x_0) + \overrightarrow {f} (\vv ) ) \\ & = g( f(x_0)) + \overrightarrow {g} ( \overrightarrow {f}(\vv )) \end{aligned} \] e quindi $\overrightarrow { g\circ f } = \overrightarrow {g} \circ \overrightarrow {f}$. In particolare, quindi, l’applicazione $f \mapsto \overrightarrow {f}$ è l’omomorfismo tra il gruppo delle affinità di $\AA ^ n(\RR )$ e il gruppo $GL(n,\RR )$. La restrizione di questo omomorsfismo alle isometrie è ancora un omomorfismo. La dimostrazione si completa considerando che la funzione determinante è a sua volta un omomorfismo, e questo è il teorema di Binet ($\det (AB) = \det (A) \det (B)$).
QED

(1.18) Esempio. Le isometrie dirette del piano euclideo $\EE ^2$ si scrivono dunque come

\[ \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}. \]

Se $b_1=b_2=0$, si tratta di una rotazione attorno all’origine. Altrimenti, cerchiamo i punti fissati dall’isometria, cioè le soluzioni dell’equazione

\[ \begin{aligned} Ax+b& =x \\ (I-A)x = b. \end{aligned} \]

Dato che, se $A\neq I$, la rotazione $A$ non ha autovalore $1$ (cioè fissa nessun vettore diverso dallo zero), quindi la matrice $I-A$ ha nucleo banale, e dunque è invertibile. La matrice $I-A$ risulta quindi invertibile se $A\neq I$, altrimenti è la matrice nulla. Ma allora se $A\neq I$ esiste un unico punto fissato dalla isometria (la soluzione di $(I-A)x=b$), che chiamiamo $q$. Trasliamo il sistema di riferimento, portando l’origine in $q$: $x=x’ + q$. L’isometria si scriverà quindi

\[ \begin{aligned} y& =Ax+b \\ y’+q & = A(x’+q) +b \\ y’ & = Ax’ + (A-I)q + b = Ax’, \end{aligned} \]

cioè è una rotazione attorno a $q$. Quindi se $A\neq I$ si ha sempre una rotazione (anche se $b\neq 0$). In particolare, la composizione di una rotazione con una traslazione è ancora una rotazione! Attenzione che la composizione di rotazioni attorno allo stesso centro è commutativa, la composizione di traslazioni è commutativa, ma non la composizione di rotazioni e traslazioni:

\[ x \mapsto Ax \mapsto Ax + b \]\[ x \mapsto x+b \mapsto A(x+b) = Ax + Ab. \]

Cosa succede per rotazioni con centri diversi (si veda l’esercizio 9.22)?

Le isometrie del piano euclideo che non sono dirette sono le riflessioni attorno a rette (se fissano una retta, simmetrie assiali) e le glissoriflessioni (se non fissano alcun punto), che sono composizione di una riflessione e di una traslazione lungo la direzione dell’asse di simmetria.

(1.19) Esempio. In $\EE ^3$, l’isometria di equazione $y=Ax+b$ è una rotazione (attorno ad una retta per l’origine) se $A\neq I$ e $b=0$, dato che $A\in SO(3)$. Altrimenti, come sopra un punto $x$ fissato dalla isometria risolve l’equazione $(I-A)x = b$. Ma ogni rotazione $A\in SO(3)$, se non banale, ha un autovettore con autovalore $1$ (cioè fissa un vettore di $\RR ^3$, e quindi tutta la retta generata dallo stesso). Quindi la matrice $I-A$ non è mai invertibile. Se $A\neq I$, il rango sarà $1$ o $2$. Certamente la direzione parallela all’asse di rotazione sarà nel nucleo di $I-A$. È possibile vedere (con un cambio di coordinate: esercizio) che $I-A$ ha rango $2$ e ha per sottospazio immagine il piano ortogonale all’asse di rotazione. Quindi, se $b$ è un vettore ortogonale all’asse di rotazione, ci sono punti fissati (una retta di punti fissati). Altrimenti, no. Nel primo caso, si tratta di una rotazione attorno ad una retta (non non necessariamente per l’origine), nel secondo caso? Scriviamo $b$ come somma di due vettori $b=b_1+b_2$, il primo ortogonale alla direzione fissata (e quindi nell’immagine di $I-A$) e il secondo $b_2$ parallelo alla direzione fissata (e quindi nel nucleo di $I-A$). Allora $y=Ax+b = (Ax+b_1)+b_2$. L’isometria $y=Ax+b$ si scrive quindi come composizione

\[ x \mapsto Ax +b_1 \mapsto (Ax+b_1) +b_2, \]

dove la prima è una rotazione attorno ad una retta di $\EE ^3$, e la seconda è una traslazione lungo la direzione $b_2$ (che è diversa da zero dato che $b$ per ipotesi non è ortogonale all’asse). Si tratta dunque di un avvitamento lungo la direzione $b_2$. Quindi le isometrie dirette di $\EE ^3$ sono le traslazioni, le rotazioni e gli avvitamenti (twist).

Provare per esercizio a cercare/classificare le isometrie non dirette di $\EE ^3$ (riflessioni, glissoriflessioni, rotoriflessioni, …).


Footnotes

  1. Cfr: Sernesi, Vol I, Cap 2 [1].
  2. Una forma bilineare simmetrica non è un prodotto scalare, se non è definita positiva.