Esercizi: foglio 8

(8.1) Presi due punti $p_1$ e $p_2$ in uno spazio affine $X$, come osservato nelle note (2.9) e (2.16), si può definire il punto $ p = \lambda _1 p_1 + \lambda _2 p_2 $ ogni volta che $\lambda _1 + \lambda _2 = 1$. Consideriamo il caso in cui il campo $K=\RR $. Dimostrare che il punto ottenuto ponendo $\lambda _1 = \lambda _2 = 1/2$ è il punto medio del segmento con estremi $p_1$ e $p_2$, cioè è tale che $\overrightarrow {p_1 p}=\overrightarrow {p p_2}$.

(8.2) Proseguendo con l’esercizio precedente (spazio affine con coefficienti reali), i punti del segmento di estremi $p_1$ e $p_2$ possono essere definiti come tutti i punti per cui esistono $\lambda _1\geq 0$, $\lambda _2\geq 0$ tali che $\lambda _1 + \lambda _2 = 1$ e $ p = \lambda _1 p_1 + \lambda _2 p_2. $ Dimostrare che ogni segmento è omeomorfo all’intervallo $[0,1]\subset \RR $.

(8.3) Dimostrare che se $S\subset \AA ^ n(\RR )$ è un sottospazio affine (proprio) e $W$ un sottospazio complementare di $\overrightarrow {S}$ in $\overrightarrow {X}$ (cioè $\overrightarrow {S}\oplus W = \overrightarrow {X}$), allora se $p$ indica la proiezione su $S$ parallela a $W$ e $r$ la riflessione rispetto a $S$ parallela a $W$, allora per ogni $x\in X$ il punto $p(x)$ è il punto medio del segmento con estremi $x$ e $r(x)$.

(8.4) Dimostrare che la riflessione $r$ rispetto ad un sottospazio affine $S$ fissa tutti i punti di $S$ (cioè, per ogni $x\in S$, $r(x) = x$).

(8.5) Determinare, se esiste, la mappa affine da $\AA ^3(\RR )$ a $ \AA ^2(\RR )$ tale che $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ e $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $.

(8.6) Determinare una mappa affine $\AA ^2(\RR ) \to \AA ^2(\RR )$ che sia zero solo sulla retta di equazione $x=y$.

(8.7) Si determinino le equazioni cartesiane del piano di $\AA ^3(\RR )$ che passa per i tre punti $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{bmatrix} $.

(8.8) Dare un esempio di due rette sghembe in $\AA ^4(\RR )$. È possibile trovare due piani sghembi in $\AA ^4$? E due sottospazi di dimensione $3$?

(8.9) Trovare, se esistono, due piani paralleli di $\AA ^4(\CC )$.

(8.10) Esiste una retta $r$ parallela alla retta di equazioni parametriche $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ e incidente alle due rette di equazioni $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ e $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $?

(8.11) Si scriva l’equazione (cartesiana) della retta di $\AA ^3(\RR )$ di equazione $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $.

(8.12) Determinare la dimensione dell’intersezione dei due piani di $\AA ^4(\RR )$ (con coordinate $x_1,x_2,x_3,x_4$) di equazioni

\[ \begin{cases} x_1 - x_3 = 1\\ x_2 - x_4 = 1\\ \end{cases} \text {\ e } \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + u \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + v\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} . \]


(8.13) Scrivere le equazioni parametriche (del primo) e le equazioni cartesiane (del secondo) dei due piani dell’esercizio precedente 8.12.

(8.14) Determinare il valore del parametro $k$ per cui i tre punti di $\AA ^3(\RR )$ $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ k \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ k \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $. sono allineati. Scrivere l’equazione della retta per questi tre punti in forma parametrica e cartesiana.

(8.15) [*] Dimostrare che una affinità manda sottospazi paralleli in sottospazi paralleli, sottospazi incidenti in sottospazi incidenti, sottospazi sghembi in sottospazi sghembi. È vero anche per una mappa affine?

(8.16) Sia $X$ è uno spazio affine. Mostrare che se una funzione $f\from X\to X$ è una affinità allora manda terne di punti allineati $ABC$ in terne di punti allineati $A’B’C’$, e i rapporti sono invarianti $\overrightarrow {AC}:\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A’C’}:\overrightarrow {A’B’}$. Dedurre che le mediane di un triangolo si incontrano in un punto (il baricentro), mandando $ABC$ in un triangolo isoscele (o equilatero). (cfr. proposizione (1.15) a pagina *)

(8.17) Sia $GA(n,\RR )$ il gruppo affine su $X=\AA ^ n(\RR )$, e $A\in \AA ^ n(\RR )$ un punto. Qual è lo stabilizzatore di $A$ in $GA(n,\RR )$? Qual è l’orbita di $A$ in $X$? L’azione è transitiva? Si consideri l’azione di $GA(n,\RR )$ su $X\times X$ definita ponendo $f(A,B) = (f(A), f(B))$ per ogni $f\in GA(n,\RR )$ e per ogni $(A,B) \in X^2$. Al variare di $(A,B)\in X^2$, quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di $(A,B)$? L’azione è transitiva? Si consideri l’azione di $GA(n,\RR )$ su $X\times X\times X$ definita ponendo $f(A,B,C) = (fA,fB,fC)$ per ogni $f\in GA(n,\RR )$ e per ogni $A,B,C \in X$. Al variare di $(A,B,C)\in X^3$, quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di $(A,B,C)$?

(8.18) Trovare una mappa affine $\AA ^3(\RR ) \to \AA ^2(\RR )$ che manda due rette sghembe in due rette parallele. È possibile mandare due rette parallele in due rette incidenti e distinte? E in due rette coincidenti? Viceversa, è possibile mandare due rette incidenti (distinte) in due rette parallele (distinte)?

(8.19) Siano in $\AA ^3(\RR )$ date le rette di equazioni: $r_1$: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $r_2$: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ e $r_3$: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $. Quali di queste rette sono sghembe, parallele, incidenti? Trovare una affinità $A\from \AA ^3(\RR ) \to \AA ^3(\RR )$ tale che $A(r_1) = r_2$, $A(r_2) = r_3$ e $A_(r_3) = r_1$.

(8.20) Dimostrare che se $f\from X \to Y$ è una mappa affine e $T\subset Y$ un sottospazio affine di $Y$, allora $f^{-1}(T)$ è un sottospazio affine di $X$ (Vedi proposizione (1.14)).

(8.21) Siano $A,B$ due punti distinti in uno spazio affine su campo $K$. Se $P$ è allineato ad $A$ e $B$, mostrare che

  1. $\overrightarrow {AP}:\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BP} : \overrightarrow {BA} = 1$.

  2. $( \overrightarrow {AP} : \overrightarrow {AB} ) \cdot (\overrightarrow {AB} : \overrightarrow {AP} ) = 1 $

  3. $\overrightarrow {PA} : \overrightarrow {PB} = - \dfrac {\overrightarrow {AP} : \overrightarrow {AB} }{\overrightarrow {BP} : \overrightarrow {BA} }$

(cfr. esercizio 7.14 a pagina *)

(8.22) Siano $A,B,C$ tre punti non collineari in uno spazio affine, e $Q$ un punto di coordinate baricentriche $(\lambda _0,\lambda _1,\lambda _2)$ (rispetto ad $A,B,C$):

\[ Q = \lambda _0 A + \lambda _1 B + \lambda _2 C, \]

con $\lambda _0+\lambda _1+\lambda _2 = 1$. Sia $Q\neq A$. Mostrare che se $\lambda _1+\lambda _2\neq 0$, allora il punto $Q’ = \dfrac {1}{\lambda _1+\lambda _2}(\lambda _1 B + \lambda _2 C)$ è un punto della retta $BC$ allineato con $QA$. Quando $\lambda _1+\lambda _2=0$ cosa succede?

(Per i prossimi due teoremi, si ragioni come per l’esercizio 8.16, cercando una trasformazione affine che manda il triangolo in un triangolo più semplice e osservando che le affinità conservano i rapporti di tre punti; si ricordi anche la definizione di rapporto di tre punti allineati)

(8.23) [*](Teorema di Ceva1) Siano $A$, $B$ e $C$ tre punti non allineati in un piano affine su campo $\KK $, e $P_{AB}$, $P_{BC}$ e $P_{CA}$ tre punti sulle rette $AB$, $BC$ e $CA$ rispettivamente, distinti da $A$, $B$, $C$. Dimostrare che le tre rette $AP_{BC}$, $BP_{CA}$ e $CP_{AB}$ si incontrano in un punto se e solo se

\[ \dfrac {\overrightarrow {AP_{AB}}}{\overrightarrow {P_{AB}B}} \dfrac {\overrightarrow {BP_{BC}}}{\overrightarrow {P_{BC}C}} \dfrac {\overrightarrow {CP_{CA}}}{\overrightarrow {P_{CA}A}} = 1 \]

(osserviamo che come corollario le mediane si incontrano in un punto: il baricentro). Provare anche a dimostrare questo teorema in coordiante baricentriche.

(8.24) [*](Teorema di Menelao2) Siano $A$, $B$ e $C$ tre punti non allineati in un piano affine su campo $\KK $, e $P_{AB}$, $P_{BC}$ e $P_{CA}$ tre punti sulle rette per $AB$, $BC$ e $CA$ rispettivamente, distinti da $A$, $B$ e $C$. Dimostrare che i tre punti $P_{AB}$, $P_{BC}$ e $P_{CA}$ sono allineati se e soltanto se

\[ \dfrac {\overrightarrow {AP_{AB}}}{\overrightarrow {P_{AB}B}} \dfrac {\overrightarrow {BP_{BC}}}{\overrightarrow {P_{BC}C}} \dfrac {\overrightarrow {CP_{CA}}}{\overrightarrow {P_{CA}A}} = -1. \]


(8.25) [*] Sia $\varphi \from \RR \to \RR $ un automorfismo di anelli, cioè una bijezione tale che per ogni $x,y\in \RR $, si ha $\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$ e $\varphi (x+y) = \varphi (x) + \varphi (y)$. Mostrare i seguenti fatti.

  1. Per ogni $k\in \ZZ $, $\varphi (k) = k$.

  2. Per ogni $q\in \QQ $, $\varphi (q) = q$.

  3. Se $x < y$, allora $\varphi (x) < \varphi (y)$ (si consideri $t=y-x$, e si osservi che $0 < \varphi (\sqrt {t}) ^2 = \varphi (t)$).

  4. La funzione $\varphi $ è continua $\RR \to \RR $.

  5. Per ogni $x\in \RR $, si ha $\varphi (x) = x$, cioè $\varphi $ è l’identità $1_\RR $.


(8.26) [**] Sia $X\cong \AA ^2(K)$ un piano affine a coefficienti in $K$ e sia $f\from X\to X$ è una bijezione che manda terne di punti allineati in terne di punti allineati. Dimostrare le seguenti affermazioni.

  1. Se $A$, $B$, $C$ sono tre punti di $X$ non allineati, siano $r$ la retta passante per $A+x\overrightarrow {AB}$ parallela a $\overrightarrow {AC}$, e $s$ la retta passante per $A+y\overrightarrow {AC}$ parallela a $\overrightarrow {AB}$. Allora $r$ e $s$ si intersecano nel punto $A + x\overrightarrow {AB} + y \overrightarrow {AC} \in X$.

  2. Sia $D=A+\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$. Per $(x,y) \in K^2$, sia $t$ la retta passante per $A+x\overrightarrow {AD}$ parallela alla retta che passa per $D$ e $A + y\overrightarrow {AB}$. Allora $t$ interseca la retta $AB$ nel punto $A+xy\overrightarrow {AB}$.

  3. La funzione $f$ manda rette di $X$ in rette di $X$ (usare la suriettività di $f$).

  4. La funzione $f\from X\to X$ manda rette parallele in rette parallele.

  5. Se $f(A)=A’$, $f(B)=B’$ e $f(C)=C’$, allora $A’B’C’$ è un riferimento affine per $X$ (cioè $A’B’C’$ non sono allineati).

  6. A meno di comporre $f$ con una affinità $g\from X\to X$, possiamo suppore, da adesso in poi, che $f(A)=A’=A$, $f(B)=B’=B$ e $f(C)=C’=C$.

  7. La funzione $\overrightarrow {f}\from K^2 \to K^2$ definita ponendo $\overrightarrow {f}(\vv ) = f(A+\vv ) - f(A)$ è ben definita e additiva: $\overrightarrow {f}(\vv + \vw ) = \overrightarrow {f}(\vv ) + \overrightarrow {f}(\vw )$.

  8. Esistono due funzioni $\varphi $ e $\psi $ tali che $f(A+x\overrightarrow {AB}) = A + \varphi (x) \overrightarrow {AB}$ e $f(A+y\overrightarrow {AC}) = A + \psi (y) \overrightarrow {AC}$, e quindi anche $\overrightarrow {f}(x,y) = (\varphi (x),\psi (y))$.

  9. Dato che la retta $OD$ va in sé, risulta $\varphi (x) = \psi (x)$ per ogni $x\in K$, e $\varphi \from K \to K$ è una bijezione.

  10. Per ogni $(x,y) \in K^2$, si ha $\varphi (xy) = \varphi (x)\varphi (y)$ e $\varphi (x+y) = \varphi (x) + \varphi (y)$.

  11. Se $K=\RR $, la funzione $\varphi (x)$ è l’identità $\varphi (x) = x$. (si veda l’Esercizio 8.25)

  12. (Teorema (1.17) a pagina *): se $f\from \AA ^ d(\RR ) \to \AA ^ d(\RR )$ manda tre punti allineati qualsiasi in tre punti allineati, allora è una affinità. (suggerimento: utilizzare i punti precedenti, oppure cercare un libro in biblioteca in cui la dimostrazione viene svolta…)


Footnotes

  1. Giovanni Ceva (1647 – 1734).
  2. Menelao di Alessandria (~70–140).