Esercizi: foglio 7

(7.1) Dimostrare la proposizione (1.5): supponiamo di avere un insieme non vuoto $X$ e uno spazio vettoriale $\overrightarrow {X}$, insieme con una funzione $X\times X \to \overrightarrow {X}$, indicata da $(A,B) \mapsto \overrightarrow {AB} $ che soddisfa i due assiomi:

  1. $\forall A\in X$, $\forall v\in \overrightarrow {X}$, $\exists \mbox{\ unico } B\in X: \overrightarrow {AB} = v$.

  2. $\forall A,B,C \in X$, $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Allora $X$ è spazio affine rispetto all’azione

\[ (v,A) \in \overrightarrow {X} \times X \mapsto A + v, \]

dove si definisce $A+v$ l’unico punto $B\in X$ tale che $\overrightarrow {AB} = v$.

(7.2) Dimostrare il lemma (1.9) a pagina *.

(7.3) Dimostrare che due rette distinte di uno spazio affine si intersecano in al più un punto. Dedurre che per due punti distinti passa una unica retta.

(7.4) Dimostrare che se $A$ e $r$ sono un punto e una retta di uno spazio affine $X$, con $A\not\in r$, allora esiste un unico piano di $X$ che contiene sia $A$ che $r$.

(7.5) [*] Sia $l$ una retta del piano affine $\AA ^2(\RR )$. Dimostrare che $l$ non può incontrare tutti i lati di un triangolo.

(7.6) Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato.

(7.7) Dimostrare che, se $V$ è uno spazio vettoriale e $v\in V$, $V = v + V = \{ v+w, w\in V \} $.

(7.8) Dimostrare che se $S\subset \AA ^ n(K)$ è un sottospazio affine e $v\in K^ n$ è un vettore non nullo, allora $S$ è parallelo al suo traslato $v+S$ ($S \parallel (v+S)$). Determinare per quali $v\in K^ n$ si ha che $S \cap (v+S) = \emptyset $.

(7.9) Si consideri la retta $r$ in $\AA ^3(\RR )$ di equazioni parametriche $ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} . $ Scrivere l’equazione della parallela $s$ a $r$ passante per $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $.

(7.10) Determinare il piano/i piani (le equazioni di) che contengono le due rette $r$ e $s$ dell’esercizio 7.9.

(7.11) Scrivere l’equazione della retta per i due punti $A,B\in \AA ^4(\RR )$

\[ A = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \sqrt {2} \\ -\sqrt {2} \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} \sqrt {2} \\ -\sqrt {2} \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} . \]


(7.12) Scrivere l’equazione della retta per i due punti $A,B\in \AA ^4(\CC )$

\[ A = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ i \\ -i \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} i \\ -i \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} . \]


(7.13) Dimostrare che due rette non parallele nel piano affine si intersecano esattamente in un punto.

(7.14) Dimostrare che rapporto $\overrightarrow {AC}:\overrightarrow {AB}$ di tre punti $ABC$ allineati in uno spazio affine $\AA ^ n(\KK )$ su campo $\KK $ esiste ed è unico in $\KK $. Cosa succede se si permutano i tre punti? Se $\overrightarrow {AC}:\overrightarrow {AB} = \rho $, esprimere in funzione di $\rho $ i rapporti

\[ \begin{aligned} \overrightarrow {BC}:\overrightarrow {BA} & = \ldots \\ \overrightarrow {AB}:\overrightarrow {AC} & = \ldots \\ \overrightarrow {CA}:\overrightarrow {CB} & = \ldots \\ \overrightarrow {BA}:\overrightarrow {BC} & = \ldots \\ \overrightarrow {CA}:\overrightarrow {CB} & = \ldots \\ \end{aligned} \]


(7.15) [*] (Teorema di Talete) Siano $l_1$, $l_2$ e $l_3$ rette parallele e distinte del piano affine $\AA ^2(\RR )$, e $r_1$, $r_2$ rette non parallele a $l_1$, $l_2$, $l_3$. Per l’esercizio precedente 7.13, le intersezioni $l_ i \cap r_ j$ per $i=1,2,3$ e $j=1,2$ sono sei singoli punti, che chiamiamo $P_{i,j}$. Dimostrare che esiste $\rho \in \RR $ tale che

\[ \begin{cases} \overrightarrow { P_{1,1} P_{3,1} } = \rho \overrightarrow { P_{1,1} P_{2,1} } \\ \overrightarrow { P_{1,2} P_{3,2} } = \rho \overrightarrow { P_{1,2} P_{2,2} }.\\ \end{cases} \]


(7.16) Determinare quali delle seguenti terne di punti di $\AA ^3(\RR )$ sono allineate:

\[ \mbox{ $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} $ }; \mbox{ $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix} $ }; \mbox{$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ }. \]


(7.17) Considerare le tre terne di punti dell’esercizio precedente. Siano $S_1$, $S_2$ e $S_3$ i sottospazi affini di $\AA ^3(\RR )$ generati da esse. Determinare quali tra $S_1$, $S_2$ e $S_3$ sono parallele, sghembe o incidenti.

(7.18) Un piano e una retta in $\AA ^3(\RR )$ possono essere sghembi?

(7.19) Si considerino i tre punti $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} $ di $\AA ^2(\RR )$. Se costituiscono un riferimento affine, scrivere esplicitamente il cambio di coordinate: un punto di coordinate (generiche) $x,y$ si scriverà come ...

(7.20) Determinare l’equazione del piano di $\AA ^4(\RR )$ passante per i tre punti $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} $.

(7.21) Determinare se i quattro punti di $\AA ^4(\RR )$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} $, $\begin{bmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \\ 2 \end{bmatrix} $ costituiscono un riferimento affine per un opportuno sottospazio tridimensionale di $\AA ^4(\RR )$. Se sì, scrivere le equazioni del piano dell’esercizio precedente 7.20 in queste coordinate.

(7.22) [*] Rappresentare in un grafo la struttura di piano affine per $\AA ^2( GF(3) )$, dove $GF(3) = \FF _3$ (9 punti e 12 rette).

(7.23) [*] Dimostrare che le matrici generate da un piano affine come nell’esempio (2.20) di pagina * sono quadrati latini.

(7.24) Dimostrare che tre punti $A=(a_1,a_2)$, $B=(b_1,b_2)$ e $C=(c_1,c_2)$ di $\AA ^2(K)$ sono allineati se e solo se il determinante

\[ \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0. \]


(7.25) Sia $(X,L)$ la struttura di incidenza (cfr. nota (2.17) a pagina *) di un piano affine finito di ordine $n$ e $A$ la sua matrice di incidenza associata (cfr. nota (2.18) a pagina *).

  1. Mostrare che $A$ è una matrice $n^2 \times (n^2+n)$ (cfr. nota (2.19) a pagina *). Dedurre una stima degli $n$ per cui è teoricamente possibile enumerare le geometrie finite a partire dall’elenco delle matrici $A$.

  2. Mostrare che se $\va $ e $\vb $ sono le colonne $j$-esima e $\bar j$-esima di $A$, allora il prodotto scalare standard $\va \cdot \vb $ (in $\RR ^{n^2}$) è uguale a

    \[ \va \cdot \vb = \begin{cases} n & \text {se $j=\bar j$;} \\ 1 & \text {se $l_ j$ e $l_{\bar j}$ non sono parallele} \\ 0 & \text {se $l_ j$ e $l_{\bar j}$ sono parallele e distinte.} \end{cases} \]
  3. Mostrare che se $\va $ e $\vb $ sono le righe $i$-esima e $\bar i$-esima di $A$, allora il prodotto scalare standard $\va \cdot \vb $ (in $\RR ^{n^2+n}$) è uguale a

    \[ \va \cdot \vb = \begin{cases} n+1 & \text {se $i=\bar i$;} \\ 1 & \text {se $i \neq \bar i$.} \end{cases} \]
  4. Dedurre che ($A^ t$ indica la matrice trasposta di $A$, $J_{q}$ indica la matrice $q\times q$ che ha tutti $1$ per coefficienti, $I_ q$ la matrice identica $q\times q$) se $P_{n^2+n}$ indica la matrice che rappresenta la relazione di parallelismo in $L=\{ l_1,\ldots , l_{n^2+n}\} $, allora si ha

    \[ \begin{aligned} A^ t A & = nI_{n^2+n} + J_{n^2+n} - P_{n^2+n} \\ A A^ t & = nI_{n^2} + J_{n^2}. \end{aligned} \]
  5. Esplicitare l’assioma delle parallele in funzione dei coefficienti di $A$.


(7.26) Sia $X$ l’insieme di tutte le terne $(x_0,x_1,x_2) \in \QQ ^3$ tali che $x_0 + x_1 + x_2=1$, e $\overrightarrow {X}\subset \QQ ^3$ lo spazio vettoriale a coefficienti in $\QQ $ costituito dai $(v_0,v_1,v_2) \in \QQ ^2$ tali che $v_0+v_1+v_2 = 0$.

  1. Mostrare che $X$ è un piano affine con coefficienti in $\QQ $.

  2. Siano $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ i tre punti del piano $X$. Dimostrare che non sono allineati.

  3. Mostrare che i punti medi dei lati del triangolo $\Delta $ con vertici $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ sono $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}, 0)$ $(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$ e $(0, \frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

  4. Dimostrare che il baricentro del triangolo $\Delta $ è $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.

  5. Dimostrare che l’area del triangolo $ABC$, con $A=(a_0,a_1,a_2)$, $B=(b_0,b_1,b_2)$ e $C=(c_0,c_1,c_2)$, è uguale (a meno di segno) a

    \[ \operatorname {Area}(ABC) = \det \begin{bmatrix} a_0 & b_0 & c_0 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix} \operatorname {Area}(\Delta ). \]

    (come si definisce l’area in un piano affine? Si veda poi in 2.1.)