Esercizi: foglio 6

(6.1) Sia $G$ un gruppo e $H\subset G$ un sottogruppo. L’insieme $G/H$ è definito come l’insieme di tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo $\{ gh : h\in H \} $ per qualche $g$ (fissato) in $G$. Equivalentemente, sia $\sim _ H$ la relazione in $G$ definita da: $x\sim _ H y \iff x^{-1}y \in H$. Dimostrare che la relazione $\sim _ H$ è di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di $H$ in $G$.

(6.2) Dimostrare che $GL(n,\RR )$ non è limitato.

(6.3) Si scriva la funzione $GL(n) \to GL(n) \subset \RR ^{n^2}$ definita da $A\mapsto A A^ t$ (dove $A^ t$ indica la trasposta di $A$) come composizione di funzioni continue.

(6.4) Sia $G$ un gruppo topologico e $H\subset G$ un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura $\overline{H}$ di $H$ in $G$ è anch’esso un sottogruppo.

(6.5) Dimostrare che $\ZZ $ è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di $\RR $.

(6.6) È vero che $\QQ $ è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di $\RR $?

(6.7) Dimostrare che $GL(n)$ e $O(n)$ non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema (1.12) con la mappa determinante)

(6.8) [*] Dimostrare che se $S\subset \RR $ è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologia discreta), allora è isomorfo a $\ZZ $ (cioè è un gruppo ciclico infinito).

(6.9) Sia $n\ZZ \subset \ZZ $ il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero $n\in \NN $. L’azione da sinistra $g \cdot x = g + x$ fa agire $G=n\ZZ $ su $\ZZ $. L’azione è fedele? È transitiva? Cosa è l’insieme delle classi di equivalenza?

(6.10) Mostrare che il quoziente $\RR ^2/\ZZ ^2$ è compatto.

(6.11) [*] Trovare un gruppo $G$ che agisca sulla striscia $X = \{ (x,y) : y^2\leq 1 \} \subset \RR ^2$ tale che $X/G$ sia omeomorfo al cilindro $S^1 \times [0,1]$.

(6.12) [*] Trovare un gruppo $G$ che agisca sulla striscia $X = \{ (x,y) : y^2\leq 1 \} \subset \RR ^2$ tale che $X/G$ sia omeomorfo al nastro di Möbius.

(6.13) [*] Si consideri $S^2$ con l’azione antipodale di $G=\ZZ _2$ (gruppo di due elementi) data da $g\cdot x = - x$ se $g\neq 1$. Che cosa è $S^2/G$? È compatto? È connesso?

(6.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.

(6.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto $x\in X$ rispetto ad un’azione di un gruppo topologico $G$ è un sottogruppo chiuso di $G$.

(6.16) Si consideri il gruppo $G$ generato da una rotazione nel piano di angolo $\theta $, che agisce sulla circonferenza $S^1 = \{ (x,y) : x^2 + y^2 = 1 \} \subset \RR ^2$. Studiare, al variare di $\theta $, la topologia dello spazio quoziente $S^1/G$.

(6.17) Siano $r_1$ e $r_2$ riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in $\RR ^2$. Mostrare che la composizione $r_1 r_2$ è una rotazione.

(6.18) [*] Sia $G=\QQ $ e $X=\RR $, con azione data da $g\cdot x = g + x$ per ogni $g\in \QQ $ e $x\in \RR $. Dimostrare che è un’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente $X/G$ è di Hausdorff?

(6.19) Si consideri l’azione di $GL(1) = \RR \smallsetminus \{ 0\} $ su $\RR $ data dalla moltiplicazione $g\cdot x = gx$. Quali sono le orbite?

(6.20) Sia $G=\RR $ (gruppo additivo) e $X=\RR ^2$, con azione data da $g\cdot (x,y) = ( g+x,g+y)$ per ogni $g\in G$ e ogni $(x,y) \in X$. Che cosa è lo spazio delle orbite?

(6.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delle orbite per l’azione di $\ZZ \subset G=\RR $ su $X$? È compatto? È connesso? È Hausdorff?

(6.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie $G$ di un quadrato $Q$ in $\RR ^2$? Che cosa è (cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente $Q/G$.

(6.23) Sia $X$ uno spazio su cui un gruppo topologico $X$ agisca in modo transitivo. Dimostrare che lo spazio è “omogeneo”, cioè per ogni coppia di punti c’è un omeomorfismo $f\from X \to X$ che manda $x$ in $y$ (cioè un “cambio di coordinate” che manda $x$ in $y$). Rispetto a quale gruppo $\RR $ è omogeneo? E $\RR ^ n$?

(6.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su $O(n)$. Più in generale, se $G$ è un gruppo topologico e $H\subset G$ un sottogruppo, determinare un gruppo che agisce transitivamente sullo spazio quoziente $G/H$.

(6.25) [*] Dimostrare che se $G$ è un gruppo topologico che agisce su uno spazio $X$, allora la proiezione sullo spazio delle orbite $X \to X/G$ è una mappa aperta. Se $G$ è finito, è anche chiusa. (Suggerimento: se $U\subset X$ è un aperto, allora $p(U)$ è aperto (chiuso) se e solo se $GU = \{ g\cdot x : g\in G, u\in U \} $ è aperto (chiuso) in $X$.)

(6.26) Dimostrare che se $G$ (gruppo topologico) agisce su $X$, allora per ogni $g\in G$ la mappa $x \mapsto g\cdot x$ è un omeomorfismo.

(6.27) [**] Sia $G$ un gruppo topologico d $N \lhd G$ un suo sottogruppo normale (dal punto di vista algebrico) e chiuso (dal punto di vista topologico) in $G$. Sia $G/N$ il quoziente (quoziente dal punto di vista algebrico, insieme dei laterali), con la topologia quoziente.

  1. Dimostrare che la proiezione $p\times p \from G\times G \to G/N \times G/N$ è una mappa quoziente.

  2. Dimostrare che la moltiplicazione $G\times G \to G$ induce una moltiplicazione $\bar m\from G/N \times G/N \to G/N$, che è continua.

  3. Dimostrare che $G/N$ è un gruppo topologico.


(6.28) Sia $l\ge 2$ un intero. Sia $Z_ l\subset \CC $ l’insieme delle radici $l$-esime dell’unità $Z_ l = \{ z \in \CC : z^ l = 1 \} $. Dimostrare che $Z_ l$ è un gruppo topologico, che agisce su $\CC $ per moltiplicazione a sinistra $g \cdot z = gz$ ($g\in Z_ l$, $z\in \CC $). Al variare di $l$, determinare lo spazio quoziente $\CC /Z_ l$.

(6.29) (La sfera di Rubik) Sia $G=SO(3)$ che agisce su $S^2 \subset \RR ^3$ (sfera di raggio uno in $\RR ^3$ e centro in $0\in \RR ^3$). Dimostrare le seguenti affermazioni.

  1. L’azione di $G$ su $S^2$ è transitiva.

  2. Per ogni $x\in S^2$ e ogni $g\in G$ tale che $gx=x$, $g$ ruota il piano ortogonale al vettore $\overrightarrow {Ox}$ in sé.

  3. Per ogni $x\in S^2$, lo stabilizzatore $G_ x\cong SO(2)$.

  4. Per ogni $x,y\in S^2$, il sottospazio $G_{x,y} = \{ g\in G : gx = y\} \subset G$ è non vuoto ed è omeomorfo a $G_ x$ mediante la mappa $g\in G_{x,y} \mapsto g_1^{-1}g \in G_ x$, dove $g_1\in G_{x,y}$ è un elemento fissato.

  5. Lo spazio di tutti gli assi di rotazione degli elementi di $G_{x,y}$, per $x\neq y$, descrive un cerchio massimo in $S^2$.

  6. Se $x,y\in S^2$ e $\overrightarrow {Ox}\cdot \overrightarrow {Oy}=0$ (sono ortogonali), allora per ogni $P\in S^2$ esiste una rotazione $g\in G$ che fissa $x$ ($gx=x$) e tale che $\overrightarrow {OgP}$ e $\overrightarrow {Oy}$ sono ortogonali (è vero anche se $\overrightarrow {Ox}$ e $\overrightarrow {Oy}$ non sono ortogonali?).

  7. Se $x$ e $y$ sono due punti di $S^2$ tali che $\overrightarrow {Ox}$ e $\overrightarrow {Oy}$ sono ortogonali, allora per ogni $P\in S^2$ esistono due rotazioni $R_ x$ e $R_ y$ attorno a $x$ e $y$ rispettivamente tali che $R_ yR_ x P$ è ortogonale ad entrambi $\overrightarrow {Ox}$ e $\overrightarrow {Oy}$.

  8. Se vettori $\ve _ i$ sono i tre vettori della base standard di $\RR ^3$ e $\ve ’_ i = R\ve _ i$ le rispettive immagini mediante una rotazione $R\in SO(3)$, allora esistono tre rotazioni $R_ i$ attorno a $\ve _ i$ tali che:

    \[ \begin{aligned} R_3 R_2 R_1\ve ’_3 & = \ve _3 \\ R_3 R_2 R_1 \ve ’_2 & = \ve _2\\ R_3 R_2 R_1 \ve ’_1 & = \ve _1. \end{aligned} \]
  9. Dimostrare il teorema (1.16) (pagina *): ogni rotazione in $SO(3)$ si può scrivere come prodotto $R=R_ x^\alpha R_ y^\beta R_ z^\gamma $ di tre rotazioni attorno agli assi coordinati di $\RR ^3$.


Ricordiamo che se $A$ è una matrice $n\times n$ a coefficienti complessi, allora la trasposta coniugata (aggiunta Hermitiana) di $A$ si indica con $A^*$ ed è la matrice con coefficienti $\bar a_{ji}$, se $a_{ij}$ sono i coefficienti di $A$. Per ogni intero $n\geq 1$ siano $U(n)$ (gruppo delle matrici unitarie/gruppo unitario) e $SU(n)$ (gruppo speciale uniterio) i gruppi di matrici definiti da \[ \begin{aligned} U(n) & = \{ A \in GL(n,\CC ) : A A^* = A^* A = I_ n \} , \\ SU(n) & = \{ A \in U(n) : \det A = 1 \} . \end{aligned} \]

(6.30) [*] Siano $U(n)$ e $SU(n)$ il gruppo unitario e il gruppo speciale unitario. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. Per ogni intero $n\geq 1$ i gruppi $U(n)$ e $SU(n)$ sono compatti.

  2. $U(1) \approx S^1 \approx SO(2)$.

  3. Gli elementi di $SU(2)$ sono tutte e sole le matrici del tipo $A=\begin{bmatrix} z & -\bar w \\ w & \bar z \end{bmatrix}$ con $(z,w)\in \CC ^2$, $|z|^2+|w^2|=1$.

  4. Siano $\boldsymbol {1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $\vi =\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$, $\vj =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, $\vk =\vi \vj = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \in SU(2)$. Allora se $z=a+ib$, $w=c+id$ si ha

    \[ \begin{bmatrix} z & w \\ -\bar w & \bar z \end{bmatrix} = a\boldsymbol {1}+ b\vi + c\vj + d\vk . \]

    (Per $a,b,c,d\in \RR $, i numeri che si scrivono come $a\boldsymbol {1}+ b\vi + c\vj + d\vk $, che corrispondono a coppie di numeri complessi $(z,w)$, costituiscono l’algebra $\HH $ dei quaternioni — di Hamilton. In un certo senso sono la “complessificazione” dei numeri complessi: così come i numeri complessi sono coppie di numeri reali con somma e prodotto, i quaternioni sono coppie di numeri complessi con somma e prodotto. In questo caso il prodotto non è commutativo, però. Gli elementi $\vi $, $\vj $ e $\vk $ di $\HH $ sono un po’ come le unità immaginarie.)

  5. $SU(2) \approx S^3$ (rivedere la dimostrazione $SO(2) \approx S^1$).


(6.31) [*] Continuando dall’esercizio precedente, mostrare le seguenti proposizioni.

  1. $\vi \vj = \vk = -\vj \vi $, $\vj \vk = \vi = - \vk \vj $, $\vk \vi = \vj = - \vi \vk $, $\vi ^2 = \vj ^2 = \vk ^2 = -\boldsymbol {1}$.

  2. Se per ogni matrice del tipo $X= a\boldsymbol {1}+ b\vi + c \vj + d \vk $ si pone $\bar X = a\boldsymbol {1}- b\vi - c\vj - d\vk $, allora $\overline{(XY)} = (\bar Y) (\bar X)$, e

    \[ X\bar X = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 =: |X|^2 \]

    (quest’ultima uguaglianza è una definizione).

    Segue che $|XY|^2=|X|^2|Y|^2$.

  3. Per ogni $(a,b,c,d)\neq (0,0,0,0)\in \RR ^4$ la matrice inversa di $X=a\boldsymbol {1}+ b\vi + c \vj + d \vk $ è uguale a $\bar X/|X|^2 = (a\boldsymbol {1}-b\vi -c\vj -d\vk )/(a^2+b^2+c^2+d^2)$.

  4. Si consideri la funzione $M\from \RR ^3 \to \mathrm{Mat}_{2\times 2}(\CC )$ definita ponendo

    \[ M(\vv ) = M_{\vv } = v_1\vi + v_2 \vj + v_3 \vk . \]

    per ogni vettore $\vv \in \RR ^3$ di componenti $v_ i$, e $H\subset \mathrm{Mat}_{2\times 2}(\CC )$ la sua immagine. Si mostri che $H$ è il sottospazio di $\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\CC )$ di tutte le matrici Hermitiane a traccia nulla.

  5. Per ogni $A\in SU(2)$ la funzione $L_ A \from H \to H$ definita ponendo

    \[ L_ A(X) = A X A^{-1} \]

    è ben definita e lineare in $X$ rispetto alla somma di matrici (osservare che $X\in H$ se e solo se la traccia della matrice $X$ è nulla e la traccia …).

  6. Per ogni $A\in SU(2)$ la funzione $L_ A\from H\to H$, tramite la corrispondenza $M$, è una funzione lineare invertibile $\RR ^3\to \RR ^3$, cioè induce un elemento $\rho _ A\in GL(3,\RR )$.

  7. Per ogni $A\in SU(2)$, l’elemento $\rho _ A$ del punto precedente è un elemento di $O(3)$ (basta mostrare che $\rho _ A$ conserva la norma).

  8. La funzione $A \mapsto \det (\rho _ A)$ è una funzione continua $SU(2) \approx S^3 \to \{ -1,1\} =S^0$. Dedurre che per ogni $A\in SU(2)$, si ha $\rho _ A \in SO(3)$.

  9. La funzione continua $A \mapsto \rho _ A$ è anche un omomorfismo di gruppi $\pi \from SU(2) \to SO(3)$.

  10. Il nucleo di $\pi $ è uguale all’insieme di tutti gli elementi $A= a\boldsymbol {1}+ b\vi + c \vj + d \vk \in SU(2)$ tali che

    \[ A\vi = \vi A,\ A \vj = \vj A,\ A \vk = \vk A, \]

    e quindi $\ker \pi = \{ -\boldsymbol {1},\boldsymbol {1}\} $.

  11. Le immagini mediante $\pi $ in $SO(3)$ dei tre sottogruppi

    \[ \begin{aligned} G_{\vi } & = \{ A \in SU(2) : A\vi = \vi A \} = \{ a+b\vi \} \\ G_{\vj }& = \{ A \in SU(2) : A\vj = \vj A \} = \{ a + c\vj \} \\ G_{\vk }& = \{ A \in SU(2) : A\vk = \vk A \} = \{ a + d \vk \} \\ \end{aligned} \]

    sono i gruppi di rotazioni di $SO(3)$ che fissano uno degli assi cartesiani di $\RR ^3$ (osservare per esempio che se $A=\boldsymbol {1}\cos \theta +\vi \sin \theta \in SU(2)$, allora $\rho _ A$ è la rotazione attorno al primo asse di $\RR ^3$ di angolo $2\theta $).

  12. Se $B\in SU(2)$ è a traccia nulla $B=b_1\vi + b_2\vj + b_3\vk $, allora $B^2=-\boldsymbol {1}$;

  13. Se $B,C\in SU(2)$ sono come sopra a traccia nulla, allora $BC+CB=0$ se e soltanto se i due vettori corrispondenti in $H$ sono ortogonali (rispetto al prodotto scalare standard di $\RR ^3$, con l’identificazione mediante $M$).

  14. Se $B\in SU(2)$ è come sopra a traccia nulla, allora esistono esistono $C,D\in SU(2)$ a traccia nulla tali che $BC=D$, $CD=B$, $DB=C$, $C^2=D^2=-\boldsymbol {1}$, $BC+BC=0$, $BD+DB=0$, $CD+DC=0$ (si scelgano due vettori unitari in $H$ che costituiscano, insieme a $B$, una base ortonormale in $H$, coerentemente orientata).

  15. Se $A= \boldsymbol {1}\cos \theta + B \sin \theta $, con $B\in SU(2)$ del tipo $B=b\vi + c\vj + d\vk $, allora $\rho _ A$ è una rotazione che fissa $(b,c,d) \in \RR ^3$, di angolo $2\theta $ (si consideri una base come nel punto precedente …).

  16. L’omomorfismo $\pi \from S^3 \approx SU(2) \to SO(3)$ è suriettivo ed è una mappa quoziente, dunque

    \[ SU(2)_{/\ker \pi } = SU(2)_{/\{ \pm \boldsymbol {1}\} } \approx SO(3), \]

    e $SO(3)$ è connesso.