Esercizi: foglio 5

(5.1) [*] Dimostrare (direttamente) che gli intervalli semiaperti $[a,b)$ sono connessi, così come gli intervalli $(-\infty ,a)$, $(-\infty ,a]$, $(a,\infty )$ e $[a,\infty )$ (vedi teorema (1.8) e (1.22)).

(5.2) Dimostrare che $\RR ^ n\smallsetminus \{ 0\} $ è connesso.

(5.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi.

(5.4) Dimostrare che $\QQ $ non è connesso. Quali sono le sue componenti connesse? (Nota: $\QQ $ non ha la topologia discreta!)

(5.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi non vuoti di $\RR $ sono tutti e soli i singoli punti e gli intervalli (dove diciamo che un sottoinsieme $A\subset \RR $ è un intervallo se contiene almeno due punti distinti e se $x,y\in A$, $x < s < z \implies s\in A$).

(5.6) Sia $X$ un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi connessi, se $X$ ha la topologia discreta? E se ha la topologia banale?

Topologie con tre punti: insieme parzialmente ordinato rispetto all'inclusione.
Figura 5.3: Topologie con tre punti
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Topologie con quattro punti: insieme parzialmente ordinato rispetto all'inclusione.
Figura 5.4: Topologie con quattro punti

(5.7) Se $X$ è connesso e $Y$ ha meno aperti di $X$, allora è vero che anche $Y$ è connesso? Utilizzare questo fatto per determinare nel grafo (cfr. figure 5.3 e 5.4 a pagg. * e *) delle classi di omoeomorfismo di spazi topologici finiti su 3 e 4 punti quali sono quelli connessi. Tra tutti gli spazi topologici finiti (a meno di omeomorfismo) con $3$ o $4$ punti, quanti sono quelli connessi?

(5.8) Determinare quali dei seguenti sottospazi di $\RR ^2$ sono connessi:

  1. $\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^2 + y^2 < 1 \} $.

  2. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 = 1 \} $.

  3. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 \neq 1 \} $.


(5.9) [*] Supponiamo che $f\from X \to \ZZ $ sia una funzione continua (dove $\ZZ $, con la topologia indotta da $\RR $, ha la topologia discreta) e non costante. Dimostrare che $X$ non è connesso.

(5.10) [*] Dimostrare che $\RR ^ n\smallsetminus \{ 0\} $ è connesso per $n\geq 2$. Dedurne che la sfera di dimensione $n$ $S^ n$ e il piano proiettivo $\PP ^2(\RR )$ sono connessi.

(5.11) In uno spazio topologico $X$ si consideri la seguente relazione: $x\sim y \iff \exists C\subset X$ connesso tale che $x\in C\ni y$. Mostrare che è una relazione di equivalenza. Mostrare poi che le classi di equivalenza sono le componenti connesse di $X$. Dedurre che le componenti connesse (definite in (1.19)) di uno spazio topologico sono ben definite e disgiunte (cfr. nota (1.24)).

(5.12) [*] Sia $X$ l’unione dei sottospazi $A$ e $B$ di $\RR ^2$ definiti da $A=\{ (x,y)\in \RR ^2 : x=0\wedge -1\leq y \leq 1 \} $ e $B=\{ (x,y) \in \RR ^2 : y= \cos \frac{1}{x} \wedge 0 < x\leq 1 \} $. Dimostrare che $X$ è connesso. (Suggerimento: uno è nella chiusura dell’altro)

Grafico di cos(1/x)

(5.13) [*] Siano $A=\{ (x,y) : \frac{1}{2} \leq x \leq 1, y=0 \} $ e $B=\{ (x,y) : y=\frac{x}{n}, 0 \leq x \leq 1 \mbox{ per qualche $n\in \NN $} \} $. Dimostrare che $X = A\cup B$ è connesso.

Grafico di infiniti segmenti con coefficienti angolari 1/n, con n intero.

(5.14) Sia $S^ n = \{ x \in \RR ^{n+1} : |x|^2 = 1 \} $. Dimostrare che $S^ n$ è connesso. (Suggerimento: $\RR ^ n\smallsetminus \{ 0\} $ è connesso)

(5.15) [*] Dimostrare che $S^1$ non è omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento: $S^1$ meno un punto …)

(5.16) [*] Dimostrare che gli intervalli $(0,1)$ e $[0,1)$ non sono omeomorfi. Scrivere una corrispondenza biunivoca tra $(0,1)$ e $[0,1)$, però.

(5.17) Dimostrare che uno spazio topologico $X$ è connesso se e solo se ogni volta che si scrive come $X=A\cup B$ con $A\neq \emptyset $ e $B\neq \emptyset $ allora $\overline{A} \cap B \neq \emptyset $ oppure $\overline{B} \cap A \neq \emptyset $.

(5.18) Dimostrare che se $S\subset \RR $ non è un intervallo (cioè se esistono $x,y,z$ con $x < s < y$, $x,y\in S$ e $s\not\in S$ ) allora $S$ non è connesso.

(5.19) Mostrare che se uno spazio topologico $X$ è unione di aperti connessi disgiunti e non vuoti, allora questi sono le componenti connesse di $X$. Dimostrare poi che se $X$ ha un numero finito di componenti connesse allora esse sono sia aperte che chiuse e disgiunte. Trovare un esempio di spazio con infinite componenti connesse tutte chiuse ma mai aperte.

(5.20) [*] Dimostrare che se $X\subset \RR ^ n$ è un sottoinsieme aperto e connesso di $\RR ^ n$, allora è anche connesso per archi. (Suggerimento: osservare che i cammini si possono comporre nel seguente modo: se $\gamma \from [0,1] \to X$ è un cammino che va da $x_0\in X$ a $x_1 \in X$, e $\gamma ’\from [0,1]\to X$ un secondo cammino che va da $x_1$ a $x_2$, allora $\gamma ’$ può essere riparametrizzato (utilizzando un omeomorfismo $[0,1] \approx [1,2]$) come $\gamma ”\from [1,2] \to X$. Ma allora è possibile definire un nuovo cammino $\alpha \from [0,2] \to X$ “incollando” i due cammini – e verificare che è ancora continuo. Ora non rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie $x_0\in X$, lo spazio di tutti i punti raggiungibili con un cammino che parte da $x_0$ è un aperto (“incollando” al cammino un pezzettino di cammino rettilineo…), ma è anche un chiuso (cioè lo spazio di tutti i punti non raggiungibili con un cammino che parte da $x_0$ è un aperto) …)

(5.21) Sia $X$ uno spazio topologico, e $\sim $ la seguente relazione in $X$: $x\sim y$ se e solo se esiste cammino $\gamma \from [0,1] \to X$ che parte da $x$ e arriva a $y$. Dimostrare che la relazione “$\sim $” è di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza?

Ricordiamo che nel sistema posizionale con base $b$ all’allineamento \[ \left( a_ n\ldots a_3a_2a_{1}a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots \right)_ b \] (finito a sinistra) corrisponde il numero reale \[ a_ nb^ n + \ldots + a_3b^3+a_2 b^2 + a_1 b^1 + a_0 + a_{-1} b^{-1} + a_{-2} b^{-2} + \ldots . \] In generale si ha che $0 \leq a_ n < b$, ma ci sono sistemi in cui questo non è richiesto (vedi l’esercizio 5.23).

(5.22) [*] Sia $C\subset [0,1] \subset \RR $ l’insime di numeri reali compresi tra $0$ e $1$ che hanno uno sviluppo in base ternaria (con cifre ${0,1,2}$) in cui non compare mai il la cifra $1$ (quando la rappresentazione non è unica, come per esempio quando l’ultima cifra è $2$ periodica $(0.\bar2)_3 = (1.0)_3$ oppure $(0.1\bar2)_3 = (0.2)_3$, basta che per una delle due rappresentazioni sia vero che non compare la cifra $1$). L’insieme $C$ si chiama insieme di Cantor. Mostrare che

  1. $C$ è chiuso;

  2. $C$ è compatto;

  3. se $x\in C$, allora $x$ è di accumulazione per il complementare di $C$.

  4. se $x\in C$, allora $x$ è di accumulazione per $C$ ma non è interno a $C$.

  5. se $Y\subset C$ è un sottospazio connesso e $Y\neq \emptyset $, allora $Y$ ha un solo elemento (cioè l’insieme di Cantor è totalmente sconnesso, come $\QQ $).

  6. (opzionale) Mostrare che $C$ è omeomorfo allo spazio $2^\NN $ (con la topologia prodotto).


(5.23) [**] Nella notazione posizionale ternaria bilanciata invece degli allineamenti in base 3 (con i simboli $0$, $1$, $2$) si considerano gli allineamenti dei tre simboli $\underline1$, $0$, $1$ (che corrispondono agli interi $-1$,$0$,$1$) in base $3$. Nel sistema ternario si ha che $0 \leq a_ n < 3$, ma nel sistema ternario bilanciato si pone $-1\leq a_ n \leq 1$, e si indica $\underline1= -1$ per semplicità (negli anni 1950-1960, per un certo periodo il sistema ternario bilanciato è stato preso seriamente in considerazione, insieme al sistema decimale e al sistema binario, per la costruzione di calcolatori elettronici – per esempio dal gruppo di S.L. Sobolev a Mosca).

  1. Quanto valgono $(0.\underline{\bar1})_3$, $(0.0\underline{\bar1})_3$, $(0.\bar1)_3$ e $(0.0\bar1)_3$?

  2. È vero che ogni $x\in \RR $ può essere scritto in notazione ternaria bilanciata?

  3. La rappresentazione è unica? L’insime degli $x$ che non hanno una rappresentazione unica è chiuso in $\RR $? (osservare che se $x$ non ha una rappresentazione unica, allora nemmeno $x/3$ e $x\pm 1$ hanno una rappresentazione unica e quindi $\frac{h+1/2}{3^ k} $ …)

  4. Sia $X$ l’insieme dei numeri reali in $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ che ha almeno una rappresentazione ternaria bilanciata in cui non compare mai la cifra $\underline{1}$. Ha le stesse proprietà dell’insieme di Cantor (dell’esercizio precedente, cioè è compatto, totalmente sconnesso e ogni punto è di accumulazione sia per $X$ che per il complementare di $X$)?


(5.24) [*] Sia $f\from X\subset \RR \to \RR $ una funzione continua definita su un intervallo (connesso) $X\subset \RR $.

  1. Mostrare che se $f$ non è (strettamente) monotona (né crescente né decrescente), allora non è iniettiva.

  2. Dedurre che se $f$ è continua e iniettiva, l’immagine di un intervallo aperto è un intervallo aperto (e quindi che $f$ è una mappa aperta).

  3. Dimostrare che se $f\from X \to \RR $ è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.

  4. Mostrare che non esistono funzioni continue e iniettive $f\from S^1 \to \RR $.


(5.25) Utilizzare l’esercizio 5.24 per mostrare che (utilizzando il fatto che le funzioni $(x,y) \mapsto x+y$ e $(x,y) \mapsto xy$ sono continue su $\RR ^2$, e che $x\mapsto x^{-1}$ è continua $\RR \smallsetminus \{ 0\} \to \RR $):

  1. Per ogni $n\in \NN $, $n\geq 1$, la funzione $f\from [0,\infty ) \to [0,\infty )\subset \RR $ definita da $f(x) = x^ n$ è un omeomorfismo.

  2. Per ogni $n\in \NN $, $n\geq 1$, per ogni $x\geq 0$, $x\in \RR $, esiste un unico $y\in \RR $ tale che $x^ n=y$ (la radice $n$-esima di $x$, indicata con $\sqrt [n]{x}$) e che la funzione $x \mapsto \sqrt [n]{x}$ è continua.

  3. La funzione $x \mapsto x^{p/q} := \sqrt [q]{x^ p}$, definita per $x\geq 0$, $x\in \RR $ e $p,q\in \ZZ $, $q\neq 0$, è una funzione continua di $x$.


Nel prossimo esercizio, utilizzare il seguente fatto (provare a dimostrarlo): comunque si scelgano $n$ numeri positivi $x_1, ... , x_ n$ si ha \[ x_1 x_2 ... x_ n \leq \left( \dfrac {x_1 + x_2 + ... + x_ n}{n} \right)^ n, \] e l’uguaglianza è verificata solo quando i numeri sono tutti uguali fra loro. Ovvero: la media geometrica di $n$ numeri positivi è sempre minore o uguale alla loro media aritmetica, e le due medie sono uguali se e solo se i numeri sono tutti uguali tra loro.

(5.26) [*] Per l’esercizio 5.25, per ogni numero razionale $x=p/q$ e ogni reale $b > 0$ abbiamo visto che esiste $b^ x$. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. Per ogni $x,y$ razionali e ogni $b > 0$ reale si ha $b^{x+y} = b^ x b^ y$ e $b^0=1$.

  2. Per ogni numero razionale $ x=\frac{ p }{ q } $ dell’intervallo $(0,1)$ e per ogni numero reale $b > 0$ diverso da $1$ vale la disuguaglianza $ b^ x < 1 + (b-1)x $ (utilizzare il confronto tra media geometrica e media aritmetica per $n+m$ numeri, di cui $n$ sono uguali a $b$ e $m$ uguali a $1$.)

  3. Se $b > 1$, funzione $x\mapsto b^ x$ è una funzione $\QQ \to \RR $ continua e strettamente monotona crescente.

  4. Se $b > 1$, la funzione $x \mapsto b^ x := \sup \{ b^ y : y\in \QQ , y\leq x \} $, definita $\RR \to \RR $, è ben definita, monotona e continua, ed estende la funzione $x\mapsto b^ x$ definita $\QQ \to \RR $.

  5. Esiste una funzione continua $x\mapsto \log _ b x$, che associa ad $x > 0$, $x\in \RR $, l’unico numero reale $y$ tale che $b^ y = x$.

  6. La funzione $f\from \RR _{ > 0} \times \RR \to \RR $ definita da $f(b,x) = b^ x$ è una funzione continua (rispetto alla topologia prodotto del dominio). (suggerimento: si consideri l’omeomorfismo $\log _2\from (0,\infty ) \approx \RR $)