1.2. Opzionale: construzione di $\RR $ (Dedekind)

(-2.1) Consideriamo il sottoinsieme $Q\subset \QQ $ dei numeri razionali positivi o nulli: $Q=\{ x\in \QQ : x\geq 0 \} $. Lo scopo di questo esercizio (e dei seguenti) è di rivisitare la costruzione delle sezioni di Dedekind in termini di connessione (così come la costruzione di Cantor dei numeri reali come completamento di $\QQ $ è fatta in termine di convergenza di successioni di Cauchy).1 Sappiamo che $\QQ $ e $Q$ non sono connessi (perché?): esistono quindi due aperti-e-chiusi non vuoti $A_1$,$A_2\subset Q$ tali che $A_1\cup A_2 = Q$. Definiamo le sezioni di $Q$ come segue: una sezione $\alpha \subset Q$ è un intervallo aperto e limitato di $Q$ contenente lo $0$, cioè

  1. $0\in Q$;

  2. $p\in \alpha \implies \exists \epsilon > 0, B_\epsilon (p)\subset \alpha $ ($\alpha $ è aperto).

  3. $p\in \alpha \implies [0,p) \subset \alpha $ ($\alpha $ è un intervallo che contiene lo $0$);

  4. $\alpha $ è limitato (equivalentemente, $\alpha \neq Q$, dal momento che $\alpha $ è un intervallo che contiene $0$).

Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti proprietà:

  1. $\alpha $ non è vuoto e $\alpha \neq Q$;

  2. Se $p\in \alpha $ e $q\in Q$ e $q < p$ allora $q \in \alpha $;

  3. Se $p\in \alpha $ allora $p < r$ per qualche $r\in \alpha $.


(-2.2) Sia $\mathcal{S}$ l’insieme di tutte le sezioni di $Q$. Consideriamo la funzione $f\from Q\smallsetminus \{ 0\} \to \mathcal{S}$ definita da $f(q) = \alpha = [0,q)$, per ogni $q\in Q\smallsetminus \{ 0\} $. Dimostrare che è iniettiva (non è definita in $0$).

(-2.3) [*] Dimostrare che la relazione di inclusione $\alpha < \beta \iff \alpha \subset \beta \wedge \alpha \neq \beta $ è una relazione di ordine totale su $Q$, cioè:

  1. Se $\alpha $ e $\beta $ sono sezioni in $\mathcal{S}$, allora una sola delle relazioni seguenti è vera: $\alpha < \beta $, $\beta < \alpha $, $\beta = \alpha $.

  2. (proprietà transitiva): se $\alpha $, $\beta $ e $\gamma $ sono in $\mathcal{S}$, e $\alpha < \beta \wedge \beta < \gamma $, allora $\alpha < \gamma $.


(-2.4) [*] Dimostrare che l’insieme delle sezioni $\mathcal{S}$ ha la proprietà dell’estremo superiore: ogni insieme non vuoto e limitato in $\mathcal{S}$ ammette estremo superiore. (Suggerimento: se $A\subset \mathcal{S}$ è un insieme limitato e non vuoto, allora si può definire l’unione $ U=\bigcup _{\alpha \in A} \alpha $ – le sezioni sono sì elementi di $\mathcal{S}$, ma sono anche intervalli di numeri razionali, e quindi è possibile definire l’unione…poi si dimostra che l’unione in effetti è una sezione, e quindi $U\in \mathcal{S}$ …è un maggiorante di $A$, ed è poi possibile vedere che è il minimo dei maggioranti…)

(-2.5) [*] Ora dobbiamo mostrare che la somma e il prodotto, definite in $Q$, si estendono a $\mathcal{S}$. Definiamo la somma come

\[ \alpha + \beta = \{ a+b : a\in \alpha , b\in \beta \} \]

e il prodotto come

\[ \alpha \beta = \{ ab : a\in \alpha , b \in \beta \} . \]

Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni. Dimostrare che la funzione $f$ dell’esercizio -2.2 conserva le operazioni di somma, prodotto e la relazione d’ordine: $f(p+q) = f(p) + f(q)$, $f(pq) = f(pq)$, $p < q \implies f(p) < f(q)$.

(-2.6) [*] Dimostrare che se $\alpha , \beta \in \mathcal{S}$, e $\alpha < \beta $, allora esiste un unico $\gamma \in \mathcal{S}$ tale che $\beta = \alpha + \gamma $.

(-2.7) Dimostrare che se $\alpha \in \mathcal{S}$, allora esiste un unico $\beta $ tale che $\alpha \beta = 1$ (dove identifichiamo $1 = [0,1) = f(1)$.

(-2.8) [*] Ora siano $\mathcal{S^+}$ e $\mathcal{S^-}$ due copie di $\mathcal{S}$, e sia $R = \mathcal{S^-} \cup \{ 0\} \cup \mathcal{S^+}$. Se $\alpha \in \mathcal{S}$, allora indicheremo con $+\alpha $ (o anche semplicemente con $\alpha $) l’elemento corrispondente in $\mathcal{S^+}$, e con $-\alpha $ l’elemento corrispondente di $\mathcal{S^-}$. Definire operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d’ordine su $R$ in modo che $R$ risulti un campo ordinato.

(-2.9) [*] Mostrare che la funzione $f$ di -2.2 si estende in modo naturale ad una inclusione di campi

\[ \QQ \subset R. \]

(Vale la pena di concludere osservando che $R= \RR $…).


Footnotes

  1. Questa non è la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.