Esercizi: foglio 4

(4.1) [*] Si consideri su $\NN $ la famiglia $\tau $ di insiemi formata dall’insieme vuoto $\emptyset $ e dagli tutti i sottoinsiemi di $\NN $ con complementare finito. Sia $X$ uno spazio topologico e $\{ x_ n\} $ una successione in $X$ (vista come una funzione $f \from \NN \to X$, definita da $\forall n\in \NN : f(n) := x_ n$).

  1. Dimostrare che $\tau $ è una topologia per $\NN $.

  2. Dimostrare che se $\{ x_ n\} $ è una successione convergente, allora la corrispondente funzione $f\from \NN \to X$ è continua all’infinito, cioè la controimmagine di ogni intorno del limite $\bar{x} = \lim _ n x_ n\in X$ è un aperto di $\NN $ (nella topologia dei complementari finiti).

  3. È vero che $f$ è continua?

  4. La seguente famiglia di sottoinsiemi di $\NN $ è una topologia per $\NN $? L’insieme vuoto, $\NN $, i sottoinsiemi finiti, e i sottoinsiemi con complementare finito.


(4.2) Dimostrare che un punto di accumulazione $a$ di un sottoinsieme $A\subset X$ di uno spazio metrico $X$ ha la seguente proprietà: ogni intorno di $a$ in $X$ interseca $A$ in infiniti punti.

(4.3) [*] Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi $I_ n=[a_ n,b_ n]$ decrescenti $I_ n \supset I_{n+1}$, per $n\to \infty $. Si dimostri che se $X$ ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore), allora

\[ \bigcap _{n} I_ n \neq \emptyset . \]


(4.4) Dimostrare che il cilindro $\{ (x,y,z)\in \RR ^3 : x^2+y^2=1 \wedge z^2\leq 1 \} $ con il bordo su $z=1$ identificato ad un punto è omeomorfo al cono $\{ (x,y,z) \in \RR ^3: z^2 = x^2 + y^2 \wedge 0\leq z\leq 1 \} $.

(4.5) Dimostrare che il toro, definito come nell’esempio (3.10), è omeomorfo a $S^1\times S^1$ (dove $S^1$ è la circonferenza di raggio $1$).

(4.6) Dimostrare che lo spazio dell’esempio (3.11) è omeomorfo ad una sfera di dimensione $2$.

(4.7) [*] Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell’esempio (3.12), è omeomorfo al quoziente $S^2/_\sim $, dove $x\sim y \iff x=\pm y$ (antipodale).

(4.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Möbius si ottiene una bottiglia di Klein (che cos’è una bottiglia di Klein?).

(4.9) Quali dei seguenti spazi è compatto?

  1. $\QQ $.

  2. La sfera $S^2$.

  3. La sfera $S^2$ meno un numero finito di punti.

  4. La sfera $S^2$ meno un disco chiuso.

  5. La striscia di Möbius.


(4.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff.

(4.11) Consideriamo il seguente sottoinsieme di $\RR ^2$ (munito della topologia euclidea):

\[ X = \{ (x,y)\in \RR ^2 : xy\not\in \ZZ \} . \]
  1. È aperto? È chiuso?

  2. Consideriamo la circonferenza $C$ di raggio $1$ e centro $(0,0)$ di equazione $x^2 + y^2 = 1$. L’intersezione $C\cap X$ è aperta nella topologia di $C$? È chiusa? E nella topologia di $\RR ^2$?

  3. Discutere della compattezza di $X$ e $C\cap X$.


(4.12) Si consideri l’intervallo

\[ [0,\sqrt {2}) = \{ x\in \RR : 0\leq x < \sqrt {2}\} \subset \RR . \]
  1. È chiuso nella topologia Euclidea?

  2. Sia $X$ l’intervallo $(-\sqrt {2},\sqrt {2}) \subset \RR $ con la topologia indotta da quella di $\RR $. Dato che $[0,\sqrt {2})$ è anche un sottoinsieme di $X$, esso è un chiuso della topologia di $X$?

  3. Calcolare l’insieme di tutti i maggioranti di $[0,\sqrt {2})$ in $\RR $.

  4. Trovare, se esiste, un sottoinsieme $Y\subset \RR $ tale che l’insieme di tutti i maggioranti di $Y$ in $\RR $ non è un chiuso di $\RR $.


(4.13) Si consideri il sottoinsieme $X$ di $\QQ $ definito da

\[ X = \{ \dfrac {q}{q+1} : q\in \NN \} . \]
  1. Determinare i punti di accumulazione di $X$.

  2. $X$ è un chiuso di $\QQ $?

  3. Sia $\{ a_ n\} $ una successione di frazioni di $\QQ $ che converge a $\sqrt {2}$ ($\not\in \QQ $!) e $Y$ l’insieme dei suoi elementi $Y=\{ a_ n : n \in \NN \} \subset \QQ $. In questo caso $Y$ è un chiuso di $\QQ $?


(4.14) Sia $C\subset \QQ $ un sottospazio compatto di $\QQ $ (campo dei numeri razionali con la topologia Euclidea).

  1. Dimostrare che $C$ è chiuso in $\QQ $.

  2. Dimostrare che $C$ è limitato in $\QQ $.

  3. Dimostrare che $C$ è anche un chiuso di $\RR $. (Suggerimento: Dato che l’inclusione $i\from \QQ \to \RR $ è una funzione continua (rispetto alle topologie Euclidee di $\QQ $ e $\RR $) ... )

  4. Dedurre che l’interno di $C$ è vuoto.


(4.15) [**] Su $\ZZ $ sia $\mathcal{B}$ la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche ($U_{a,n} = \{ a + kn : k \in \ZZ \} \subset \ZZ $). Dimostrare che:

  1. La famiglia $\mathcal{B}$ è una base per una topologia di $\ZZ $.

  2. In questa topologia, le progressioni $U_{a,n}$ sono sia aperti che chiusi.

  3. L’unione di un numero finito di progressioni aritmetiche è un chiuso.

  4. Se $A_ p = U_{0,p}$ denota l’insieme dei multipli del numero $p$, si dimostri che

    \[ A = \bigcup _{p \text {\ primo\ } } A_ p \]

    non può essere chiuso, visto che il suo complementare ha un numero finito di elementi.

  5. Dedurre che esistono infiniti numeri primi.

(Harry Furstenberg: è una topologia metrizzabile!)

(4.16) Mostrare che se $K_1$ e $K_2$ sono due sottospazi compatti di uno spazio topologico $X$, allora l’unione $K_1\cup K_2\subset X$ è un sottospazio compatto di $X$.

(4.17) [*] Si consideri $\bar\NN = \NN \cup \{ \infty \} $, con $\infty \not\in \NN $.

  1. L’insieme vuoto, $\bar\NN $, tutti i sottoinsiemi di $\NN $ e i sottoinsiemi di $\bar\NN $ con complementare finito e che contengono $\infty $ costituiscono una topologia?

  2. $\bar\NN $ è compatto rispetto a questa topologia?

  3. Quali sono le funzioni continue $\bar\NN \to X$? È vero che sono le successioni convergenti, se si pone $x_\infty = \lim _ n x_ n$? Cioè, data una successione $x_ n$ convergente a $x\in X$, è vero che la funzione $f\from \bar\NN \to X$ definita da $f(n) = x_ n$, $f(\infty ) = x$ è continua? Viceversa, data una $f\from \bar\NN \to X$ continua, allora la successione $x_ n = f(n)$ converge a $f(\infty )$?

  4. Se $X$ è uno spazio topologico di Hausdorff, si consideri l’insieme $\hat X = X \cup \{ \infty \} $ (dove $\infty \not\in X$), e la seguente famiglia di sottoinsiemi di $\hat X$: l’insieme vuoto, $\hat X$, gli aperti di $X\subset \hat X$ e tutti i complementari $\hat X \smallsetminus K$, al variare di $K\subset X$ sottospazio compatto di $X\subset \hat X$. Mostrare che si tratta di una topologia. ($\hat X$ è detto compattificazione ad un punto di $X$, o anche compattificazione di Alexandroff, nel caso in cui $X$ è anche localmente compatto – cioè quando ogni punto di $X$ è Hausdorff e ha un intorno compatto)

  5. Mostrare che la topologia del punto precedente rende $\hat X$ compatto, e l’inclusione $X\mapsto \hat X$ una funzione continua, iniettiva e aperta (omeomorfismo sull’immagine/embedding).


(4.18) Dimostrare in modo rigoroso l’esercizio 2.21 di pagina *: Sia $X$ l’unione delle circonferenze $\{ (x,y) \in \RR ^2 : (x-\frac{1}{n})^2 + y^2 = (\frac{1}{n})^2 \} $, per $n=1,2,3 ... $ con la topologia indotta da $\RR ^2$, e sia $Y$ lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi $\ZZ \subset \RR $ ad un punto. Allora $X$ e $Y$ non sono omeomorfi.

Suggerimento: procedere come segue.

  1. Mostrare che $(x-\frac{1}{n})^2 + y^2 = \frac{1}{n^2} $ $\iff $ $x^2 + y^2 = \frac{2x}{n}$ $\implies $ $x^2+y^2 \leq 2x$ $\iff $ $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$, e quindi $X$ è limitato.

  2. Mostrare che $Z = \{ (x,y,t) \in \RR ^2\times [0,1] : x^2 +y^2 = 2tx \} $ è (chiuso e limitato in $\RR ^3$, e quindi) compatto.

  3. Usando la continuità della proiezione $Z \to [0,1]$, definita da $(x,y,t) \mapsto t$, mostrare che il sottospazio $\hat X = \{ (x,y,t) \in Z : t = 0 \vee t^{-1} \in \NN \} $ è chiuso e limitato in $\RR ^3$, e quindi compatto.

  4. Dedurre che $X$ è compatto.

  5. Sia $U\subset Y$ l’insieme definito da $U=\{ [t] \in Y : \min _{k\in \ZZ } | t - k | < \dfrac {1}{3} \} $, e per ogni $k\in \ZZ $, $U_ k\subset Y$ l’insieme $U_ k = \{ [t] \in Y : k < t < k+1 \} $. Mostrare che $U$ e $U_ k$ sono aperti nella topologia quoziente di $Y$.

  6. Mostrare che $\{ U\} \cup \{ U_ k\} _{k\in \ZZ }$ è un ricoprimento aperto di $Y$.

  7. Mostrare che il ricoprimento aperto appena definito non ammette sottoricoprimenti finiti di $Y$, e quindi $Y$ non è compatto.