Esercizi: foglio 3

(3.1) [*] Sia $A\subset \RR $ un sottoinsieme non vuoto. Un numero $m\in \RR $ è un maggiorante se $\forall a\in A, a\leq m$ (per definizione, un insieme limitato superiormente è un insieme con almeno un maggiorante). L’insieme di tutti i maggioranti di $A$ è chiuso? È limitato inferiormente (nota: l’estremo superiore $\sup A$ è il minimo dell’insieme dei maggioranti)?

(3.2) [*] Dimostrare che se $A\subset \RR $ è un sottoinsieme di $\RR $ (con la metrica euclidea), allora $\sup A$ e $\inf A$ appartengono alla chiusura $\overline{A}$.

(3.3) Sia $C\subset [a,b] \subset \RR $ un sottoinsieme chiuso di $[a,b]$ (chiuso nella topologia indotta su $[a,b]$ da $\RR $). Dimostrare che $C$ è chiuso in $\RR $. Dimostrare che la stessa proprietà è falsa per gli aperti: trovare un sottoinsieme $A\subset [a,b] \subset \RR $ aperto nella topologia di $[a,b]$ ma non in quella di $\RR $.

(3.4) Dimostrare che uno spazio $X$ metrizzabile è di Hausdorff.

(3.5) Sia $A\subset X$ un sottoinsieme di $X$ spazio topologico. Dimostrare che $x\in X$ è un punto di accumulazione di $A$ se e solo se

\[ x \in \overline{ A \smallsetminus \{ x\} }. \]


(3.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge.

(3.7) Dimostrare l’unicità del limite di successioni in spazi di Hausdorff: Se $X$ è uno spazio di Hausdorff e $\{ x_ n\} $ una successione in $X$, allora $\lim _ n x_ n = \bar{x}$ e $\lim _ n x_ n = \bar y$ implica $\bar{x} = \bar y$.

(3.8) [*] Diciamo che un famiglia di chiusi di uno spazio topologico $X$ ha la FIP (finite intersection property) se

\[ \forall J_0 \subset J, |J_0| < \infty \implies \bigcap _{i\in J_0} C_ i \neq \emptyset \]

(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Diciamo che $X$ ha la FIP se ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota:

\[ \bigcap _{i\in J} C_ i \neq \emptyset . \]

Dimostrare che $X$ è compatto se e solo se ha la FIP. (Suggerimento: $X\smallsetminus C_ i$ è aperto, e quindi ... ).

(3.9) [*] Dimostrare che l’ultimo assioma della lista di assiomi di $\RR $ è ridondante (si può dedurre dai primi 7).

(3.10) È vero che se un insieme $X$ è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera? E il viceversa (cioè è vero che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito di punti)?

(3.11) Si consideri la famiglia $\tau $ di tutti i sottoinsiemi di $\NN = \{ 1,2, ... \} $ costitutita dall’insieme vuoto, da $\NN $ e da tutti i sottoinsiemi del tipo

\[ \{ 1\} , \{ 1,2\} , \{ 1,2,3\} , \{ 1,2,3,4\} , \{ 1,2,3,4,5\} ... \]

È vero che $\tau $ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia, $\NN $ è compatto?

(3.12) Determinare se l’intervallo $I = \{ x, \in \RR : 0\leq x \leq 1 \} $ meno un punto $x_0\in I $ è compatto, al variare di $x_0$. ($I\smallsetminus x_0 = \{ x \in I : x\neq x_0\} $ ).

(3.13) Si consideri il sottoinsieme di $\RR $ definito da

\[ X = \left\{ x\in \RR : x = \dfrac {p}{q}, p,q\in \ZZ , |pq|\leq 10^{100}\right\} . \]

Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia euclidea di $\RR $):

  1. $X$ è chiuso;

  2. $X$ è aperto;

  3. $X$ è compatto.


(3.14) Sia $a_ n$ la successione di numeri razionali ($n\geq 1$) definita come segue:

\[ a_ n = \dfrac {p}{q} \text {\ se $n=2^ pq$ con $q$ dispari.} \]

Se $n$ è dispari risulta quindi $a_ n = 0 $ (dato che l’unico modo di scrivere un numero dispari nella forma $2^ pq$ è con $p=0$). Quali sono i suoi punti di accumulazione, cioè i punti di accumulazione dell’insieme

\[ X = \{ a_ n : n \in \NN , n \geq 1 \} ? \]

Quali sono i punti limite di sottosuccessioni convergenti di $a_ n$?

(3.15) Sia $X\subset \RR ^2$ l’insieme definito da

\[ X= \{ (x,y)\in \RR ^2 : y^2 = x^3 - x \} . \]

Quali delle seguenti sono vere?

  1. $X$ è un chiuso di $\RR ^2$.

  2. La parte $X\cap \{ (x,y)\in \RR ^2 : x\leq 0 \} $ è compatta.

  3. L’interno di $X$ in $\RR ^2$ è vuoto.


(3.16) Determinare quali dei seguenti spazi sono tra loro omeomorfi (esibendo gli omeomorfismi, altrimenti dimostrando in modo un po’ intuitivo – non rigoroso – quando e se non ne esistono).

  1. L’intervallo chiuso $[0,1]$;

  2. La circonferenza $S^1 = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 = 1 \} $.

  3. Il quadrato: $Q = \{ (x,y) \in \RR ^2 : (x^2-1)(y^2-1) = 0, x^2 \leq 1 \geq y^2 \} $.

  4. L’intervallo aperto $(0,1)$.


(3.17) Si consideri nello spazio $\RR $ la relazione: $x\sim y \iff \sin ^2 x = \sin ^2 y$.

  1. È una relazione di equivalenza?

  2. Se sì, si dia a $X = \RR /_\sim $ la topologia quoziente. Lo spazio così ottenuto è compatto?


(3.18) [**] Sia $X=[0,1]^\NN $ lo spazio di tutte le successioni di punti dell’intervallo unitario della retta reale, cioè lo spazio definito come $X= [0,1]^\NN $ l’insieme di tutte le funzioni $x\from \NN \to [0,1]$. Per ogni famiglia finita di aperti di $[0,1]$

\[ U_0,U_1, U_2, \ldots , U_ N \subset [0,1] \]

(con $U_ i \subset [0,1]$ aperto per $i=0,1,\ldots , N$) si consideri in $X$ l’insieme

\[ \Phi (U_0,U_1,\ldots , U_ N) := \left\{ x \in X : \forall i\in \{ 0,1,\ldots , N\} , x(i) \in U_ i \right\} \subset X. \]

Sia $\mathcal{A}$ la famiglia di tutti i possibili insiemi $\Phi (U_0,U_1,\ldots , U_ N)$ al variare di $N\in \NN $ e degli $U_ i$.

  1. Dimostrare che $\emptyset \in \mathcal{A}$ e $X \in \mathcal{A}$.

  2. Dimostrare che $A_1,A_2 \in \mathcal{A} \implies A_1 \cap A_2 \in \mathcal{A}$.

  3. Dimostrare che esistono $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ tali che $A_1 \cup A_2 \not\in \mathcal{A}$.

  4. Per ogni $N\in \NN $, sia $A_ N$ l’insieme definito da

    \[ A_ N = \left\{ x\in X : x(N) \in [0,1/2) \right\} . \]

    Dimostrare che $A_ N \in \mathcal{A}$. Descrivere l’insieme

    \[ A = \bigcup _{N\in \NN } A_ N \]

    e determinare se $\mathcal{A}$ è una topologia per $X$.

  5. Dimostrare che $\mathcal{A}$ è una base per una topologia su $X$.

  6. Si consideri la funzione $d\from X\times X \to \RR $ definita da $ d(x,y) = \sum _{n\in \NN } \dfrac {\lvert x(n)-y(n)\rvert }{2^ n}. $ Dimostrare che $d$ è ben definita e che è una metrica su $X$.

  7. Dimostrare che gli intorni sferici in $X$

    \[ B_ r(z) = \left\{ x \in X : d(x,z) < r \right\} \]

    sono aperti di $X$ rispetto alla topologia generata da $\mathcal{A}$ (suggerimento: se $y \in B_ r(z)$, allora esiste $\delta > 0$ tale che $d(z,y) = r - \delta $. Esistono allora certamente $N > 0$ e $\epsilon > 0$ tali che $ \sum _{n={N+1}}^\infty 2^{-n} < \delta /2$ e $\epsilon \left( \sum _{n=0}^ N 2^{-n} \right) < \delta /2$, da cui, con la disuguaglianza triangolare, possiamo costruire un elemento della base $\mathcal{A}$ contentente $y$ tale che ... ).

  8. Fissati $U_0,U_1,\ldots , U_ N$ aperti di $[0,1]$, sia $y\in X$ tale che $y(n) \in U_ n$ per ogni $n=0,\ldots , N$. Mostrare che esiste $\epsilon > 0$ tale che per ogni $n=0,\ldots , N$ si ha per $t\in [0,1]$

    \[ |t - y(n)| < 2^ n \epsilon \implies t \in U_ n. \]

    Dedurre che l’intorno sferico in $X$ con centro in $y$ e raggio $\epsilon $ è contenuto nell’aperto

    \[ \Phi (U_0,U_1,\ldots , U_ N) = \left\{ x \in X : \forall n\in \{ 0,1,\ldots , N\} , x(n) \in U_ n \right\} \subset X. \]

    (suggerimento si osservi che se $a_ n\geq 0$ sono termini positivi o nulli allora \[ \sum _{n=0}^\infty \dfrac {a_ n}{2^ n} < \epsilon \implies \forall N, a_ N < 2^ N\epsilon \] ). Dedurre che $X$ ha la topologia metrica indotta da $d$.