1. Compattezza

(Cfr.)1

Alcune importanti proprietà di $\RR $ (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso e limitato):

  1. L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.

  2. L’immagine di un intervallo chiuso e limitato mediante una funzione continua è un intervallo chiuso e limitato (teorema del valore intermedio). (È vero anche se l’intervallo è chiuso ma non è limitato?)

  3. Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso e limitato.

  4. Ogni successione di Cauchy converge.

  5. Se $A\subset \RR $ è compatto, allora ogni successione in $A$ ammette una sottosuccessione convergente.

Vedremo in che modo che queste proprietà derivino da certe proprietà topologiche della retta reale. Richiamiamo gli assiomi della retta reale $\RR $ (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):

(1.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali $\RR $:

  1. Assiomi di campo:

    1. $\forall x,y,z\in \RR $, $(x+y) + z = x + (y + z)$, $(xy)z = x(yz)$.

    2. $\forall x,y\in \RR $, $x+y = y+x$, $xy = yx$.

    3. $\exists 0 \in \RR : \forall x\in \RR x+0=x$; $\exists 1 \in \RR : \forall x\in \RR , x\neq 0 \implies 1x=x$.

    4. $\forall x\in \RR , \exists \mbox{~ unico~ } y\in \RR : x+y=0$. $\forall x\in \RR , x\neq 0, \exists \mbox{~ unico~ } y\in \RR : xy=1$.

    5. $\forall x,y,z\in \RR $, $x(y+z) = xy + xz$.

  2. Assiomi di campo ordinato: la relazione $ > $ induce un ordine2 totale su $\RR $ in modo tale che

    1. $x > y \implies x+z > y+z$.

    2. $x > y$, $z > 0 \implies xz > yz$.

  3. Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare):

    1. (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine $ < $ ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo superiore).

    2. Se $x < y$, allora esiste un numero $z\in \RR $ tale che $x < z < y$.


(1.2) Teorema. Esiste una unica retta reale, cioè: Esiste uno e un solo campo ($\RR $) che soddisfa tutti gli assiomi di (1.1).

Dim. In seguito, per esercizio (opzionale).
QED

(1.3) Nota. σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν, “un punto è ciò che non ha parti”, γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές, “una linea è una lunghezza senza larghezza”, γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα, e “gli estremi di una linea sono punti”. Ma cosa è una linea retta? εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται, “una linea retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa”. Elementi di Euclide, pubblicato per la prima volta intorno al III secolo BCE ad Alessandria.3

Αἰτήματα

Traduzione:

Assiomi


Perché la nota (1.3) è stata giustapposta agli assiomi della retta reale $\RR $ (1.1)? Si tratta di due espressioni molto importanti della presentazione assiomatica della matematica. Gli Elementi di Euclide sono stati la prima e più importante opera matematica in cui una teoria matematica è stata presentata a partire da un insieme di postulati (o assiomi), oltre che certe nozioni comuni e schemi di deduzione (la logica). I risultati (Teoremi, Proposizioni, Lemmi, Corollari) vengono quindi dedotti con il massimo rigore, attraverso un lungo processo di dimostrazione delle affermazioni. È interessante però osservare che proprio l’evidenziare quali assiomi si seguono permette poi di creare e confrontare diverse teorie, e di valutare le conseguenze delle scelte. Per esempio, i cinque assiomi di Euclide non sono gli unici, per la geometria del piano: i tredici assiomi per il piano di Hilbert, per esempio, presentati nel Grundlagen der Geometrie, 1899, sono una alternativa più rigorosa. Anche la retta dei numeri reali può essere presentata in modi diversi da (1.1): per esempio con la teoria delle proporzioni di Eudosso, oppure con la versione predicativa di Herman Weyl (che riteneva che la definizione stessa di estremo superiore fosse inaccettabile nella forma attuale, e provò a ragionare su presentazioni più intuitive del continuum), o anche con la versione costruttiva di Errett Bishop, che segue l’intuizionismo di L.E.J. Brouwer4 e la versione non costruttiva di Abraham Robinson5 dei numeri reali non standard o iperreali. Non solo gli oggetti matematici possono essere presentati con sistemi di assiomi diversi e non sempre equivalenti: anche il modo di ragionare, cioè la logica stessa, e il linguaggio usato per comunicare sono oggetto di riflessioni. In queste note cercheremo di non toccare mai queste quesioni delicate, ma si tenga conto che questo è un modo di presentare questi argomenti, e non il modo.

(1.4) Definizione. Uno spazio topologico $X$ viene detto di Hausdorff se per ogni $x,y\in X$, $x\neq y$, esistono due intorni $U_ x$ e $U_ y$ di $x$ e $y$ rispettivamente tali che

\[ U_ x \cap U_ y = \emptyset . \]


(1.5) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio 3.4).

Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici.

(1.6) Definizione. Si dice che una successione $\{ x_ n\} $ in $X$ converge ad un punto $\bar{x} \in X$ se per ogni intorno $U_{\bar{x}}$ di $\bar{x}$ esiste un intero $n$ (che dipende da $U_{\bar{x}}$) tale che

\[ j\geq n \implies x_ j \in U_{\bar{x}}. \]

In tal caso si scrive

\[ \lim _{n} x_ n = \bar{x} \]

e si dice che $x_ n$ converge a $\bar{x}$.

Se una successione in uno spazio topologico $X$ non è altro che una funzione $x\from \NN \to X$, allora una sottosuccessione è la composizione $x\circ n \from \NN \mapsto \NN \to X$ di $x$ con una funzione $n\from \NN \to \NN $ monotona (strettamente) crescente (cioè tale che $k < k’ \implies n_ k < n_{k'}$).

(1.7) Se $x_{n_ k}$ è una sottosuccessione di una successione convergente $x_ n$ (con limite $\lim _{n} x_ n = \bar{x}$), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite $\lim _ k x_{n_ k} = \bar{x}$.

Dim. Vedi esercizio 3.6.
QED

(1.8) [Unicità del limite] Sia $X$ uno spazio di Hausdorff e $\{ x_ n\} $ una successione in $X$. Se $\lim _ n x_ n = \bar{x}$ e $\lim _ n x_ n = \bar y$, allora $\bar{x} = \bar y$.

Dim. Esercizio 3.7.
QED

(1.9) Definizione. Uno spazio topologico $X$ si dice compatto se ogni ricoprimento aperto $\{ U_ i \} _ i$ di $X$ (cioè una famiglia di aperti $\{ U_ i \} _{i\in J}$ tale che $X= \cup _{i\in J} U_ i$) ha un sottoricoprimento finito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici $J_0 \subset J$ tale che

\[ X = \bigcup _{i\in J_0} U_ i \]


(1.10) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con la topologia metrica) è compatto.

Se $Y\subset X$ è un sottospazio di uno spazio topologico $X$, con la topologia indotta da quella di $X$, allora un ricoprimento di $Y$ può essere inteso come una famiglia di aperti $\{ U_ i\} $, con $U_ i \subset X$, tali che

\[ Y \subset \bigcup _{i} U_ i. \]

Le intersezioni $U_ i \cap Y$ sono gli aperti di $Y$ (nella topologia indotta) della definizione (1.9).


(1.11) Esempio. Sia $X=\{ x\in \QQ : 0\leq x\leq 1 \} $. L’insieme di tutti gli aperti $V_{k,n}$ della forma

\[ V_{k,n} = (\dfrac {k}{n+1},\dfrac {k}{n}), \]

con $k,n\in \NN $, $k\leq n$ non è un ricoprimento di $X$. Perché? È un ricoprimento di

\[ Y = \{ x\in \QQ : \dfrac {1}{3} \leq x \leq \dfrac {2}{3} \} ? \]


(1.12) Esempio. L’insieme di tutti gli aperti $V_ n$ della forma $V_ n= (\dfrac {1}{n+2},\dfrac {1}{n})$, per $n\in \NN $ è un ricoprimento aperto di $(0,1)\subset \RR $.

(1.13) Esempio. L’insieme di intervalli aperti

\[ V_{n} = \begin{cases} \text {se $n\geq 1$:\ } & \{ x\in \QQ : \frac{\sqrt {2}}{2} + \frac{\sqrt {2}}{n+1} < x < \frac{\sqrt {2}}{2} + \frac{\sqrt {2}}{n} \} \\ \text {se $n\leq - 1$:\ } & \{ x\in \QQ : \frac{\sqrt {2}}{2} - \frac{\sqrt {2}}{|n|} < x < \frac{\sqrt {2}}{2} - \frac{\sqrt {2}}{|n|+1}, \} \end{cases} \]

con $n\in \ZZ \smallsetminus \{ 0\} $ è un ricoprimento dell’insieme $X=\{ x\in \QQ : 0 < x < 1 \} $.

(1.14) Esempio. Sia $V_ n$ l’insieme

\[ V_ n = \{ x \in \QQ : x\not\in [\sqrt {2} - \frac{1}{n},\sqrt {2} + \frac{1}{n}] \} , \]

definito per ogni intero $n\geq 1$. La famiglia $\{ V_ n\} $ è un ricoprimento aperto di $X=\{ x\in \QQ : 0 < x < 2\} $, che non ammette sottoricoprimenti finiti.

(1.15) Se $X$ è compatto e $C\subset X$ è un sottoinsieme chiuso, allora $C$ è compatto (con la topologia indotta).

Dim. Se $\{ U_ i\} _{i\in J}$ è un ricoprimento mediante aperti di $C$, allora, con un abuso di notazione, possiamo considerare un ricoprimento di $C$ mediante aperti dato da $\{ C\cap U_ i \} _{i\in J}$, dove $U_ i$ sono aperti di $X$. Dato che $C$ è chiuso $X\smallsetminus C$ è aperto, e quindi \[ \{ X \smallsetminus C \} \cup \{ U_ i \} _{i\in J} \] è un ricoprimento aperto di tutto $X$ (dato che $C \subset \cup _ i U_ i$), e quindi esiste un sottoricoprimento finito, che sarà della forma \[ \{ X \smallsetminus C \} \cup \{ U_ i \} _{i\in J_0} \] oppure $ \{ U_ i \} _{i\in J_0} $. In entrambi i casi, risulta \[ C \subset \bigcup _{i\in J_0} U_ i, \] e quindi la tesi.
QED

(1.16) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso.

Dim. Sia $C\subset X$ sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff $X$. Dimostriamo che $C$ è chiuso. Sia $x\in X\smallsetminus C$. Per ogni $c\in C$, dato che $X$ è di Hausdorff, esistono due intorni disgiunti $U_ c$ e $V_ c$ tali che $U_ c\cap V_ c = \emptyset $, $c\in U_ c$, $x\in V_ c$. Ora, $\{ U_ c\} _{c\in C}$ è un ricoprimento di $C$ di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè \[ C \subset U_{c_1} \cup U_{c_2} \cup ... \cup U_{c_ N}. \] L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi \[ V = V_{c_1} \cap V_{c_2} \cap ... \cap V_{c_ N} \] è un aperto che contiene $x$. Dato inoltre che per ogni $i=1 ... N$, l’intersezione $V_{c_ i} \cap U_{c_ i} = \emptyset $, \[ V \cap C = \emptyset , \] cioè $V\subset X\smallsetminus C$ e quindi $X\smallsetminus C$ è aperto per l’arbitrarietà di $x$, cioè $C$ è chiuso.
QED

(1.17) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.

Dim. Sia $X$ compatto e $f\from X \to Y$ una funzione continua. Dobbiamo dimostrare che $f(X)$ è compatto con la topologia indotta da $Y$. Ogni ricoprimento aperto $\{ U_ i\} _ i$ di $f(X)$ in $Y$ induce un ricoprimento aperto \[ \{ f^{-1}(U_ i) \} _ i \] di $X$, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che $X$ è compatto. La tesi segue dal fatto che per ogni $i$ \[ f ( f^{-1} (U_ i) ) \subset U_ i, \] e quindi gli $\{ U_ i\} $ corrispondenti al sottoricoprimento finito $\{ f^{-1}U_ i\} $ coprono $f(X)$.
QED

(1.18) Corollario. Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici omeomorfi, allora $X$ è compatto se e solo se $Y$ è compatto.

Dim. Sia $f\from X \to Y$ un omeomorfismo. Se $X$ è compatto, allora $f(X) = Y$ è compatto. Viceversa, se $Y$ è compatto, allora $X=f^{-1}(Y)$ è compatto dato che $f^{-1}$ è continua.
QED

(1.19) Teorema. Una funzione $f\from X \to Y$ continua e suriettiva tra $X$ compatto e $Y$ Hausdorff è sempre chiusa.

Dim. Se $C\subset X$ è un chiuso di $X$, allora per (1.15) $C$ è compatto. Ma per (1.17) $f(C)$ è compatto di $Y$, ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (1.16), quindi $f(C)$ è chiuso.
QED

(1.20) Corollario. Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente

Dim. Esercizio 2.8.
QED

(1.21) Corollario. Una funzione continua $f\from X \to Y$, biunivoca da un compatto $X$ a un Hausdorff $Y$ è un omeomorfismo.

Dim. È continua, biunivoca e chiusa, dunque un omeomorfismo.
QED

(1.22) Esempio. Mostriamo che $I_{0\sim 1}$ (l’intervallo $[0,1]$ con gli estremi identificati ad un punto) è omeomorfo alla circonferenza $S^1 = \{ z\in \CC : |z|^2 = 1 \} $. Sia $p\from I \to I_{0\sim 1}$ la proiezione sul quoziente. La funzione $f\from I \to S^1$ definita da

\[ f(t) = e^{2\pi i t} = \cos 2\pi t + i \sin 2\pi t = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t) \]

è continua se e soltanto se lo sono le sue componenti, per la proposizione (2.3) a pagina *; ma queste lo sono in quanto composizioni di funzioni continue6. Osserviamo il seguente diagramma:

\[ \xymatrix { I \ar [r]^{f} \ar [d]_{p} & S^1 \\ {I_{0\sim 1}} \ar @{. > }[ur]_{\bar f} & } \]

La funzione $\bar f$ è indotta dalla funzione $f$ sul quoziente, nel seguente modo:

\[ \bar f ( [x] ) = f(x) \]

per ogni $[x] \in I_{0\sim 1}$, cioè per ogni $x\in I$. Essa è ben posta semplicemente perché $f(0) = f(1)$. Ora, osserviamo che $f$ è biunivoca, dal momento che è iniettiva in $(0,1)$ e

\[ \bar f^{-1} (1) = \{ 0,1\} = [0] \in I_{0\sim 1}. \]

Mostriamo che la funzione indotta $\bar f$ è continua: se $U\subset S^{1}$ è un aperto, allora $\bar f^{-1} (U)$ è aperto nella topologia indotta se e soltanto se la sua controimmagine mediante $p$ in $I$ è aperto, cioè se e soltanto se $ p^{-1} \bar f^{-1} U $ è aperto in $I$. Ma

\[ \begin{aligned} p^{-1} \bar f^{-1} U & = \{ x \in I : p(x) \in \bar f^{-1} U \} \\ & = \{ x \in I : \bar f ( p (x) ) \in U \\ & = \{ x \in I : f(x) \in U \} = f^{-1} U~ , \end{aligned} \]

che è aperto dato che $f$ è continua.

Per poter usare il Corollario (1.21) occorre mostrare che $I_{0\sim 1}$ è compatto e che $S^1$ è Hausdorff. Ma $I_{0\sim 1}$ è l’immagine di dell’intervallo $I$ mediante la proiezione (continua) $p$, e quindi, visto che $I\subset \RR $ è compatto (lo dimostreremo direttamente, con il Teorema di Heine-Borel (1.9) a pagina *), per la proposizione (1.17) anch’esso è compatto. Infine, $S^1$ ha la topologia metrica di $\CC \cong \RR ^2$, e quindi è di Hausdorff (cfr. Esercizio 3.4 a pagina *). Possiamo quindi usare il Corollario (1.21), e dedurre che $\bar f$ è un omeomorfismo.

Rivedremo questo ragionamento nell’esempio (2.16).

(1.23) Nota. [Opzionale] Uno spazio $X$ è compatto se ogni famiglia di chiusi $\{ C_ i\} $ di $X$ con intersezione vuota ammette una sottofamiglia finita con intersezione vuota (infatti ... ).

Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo che un famiglia $J$ di chiusi di uno spazio topologico $X$ ha la FIP (finite intersection property) se

\[ \forall J_0 \subset J, |J_0| < \infty \implies \bigcap _{i\in J_0} C_ i \neq \emptyset \]

(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si può dimostrare che $X$ è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota (vedi esercizio 3.8).

(1.24) Nota. Se $\mathcal{B}$ è una base di intorni per la topologia di $X$, e $X$ è compatto, allora, in particolare, ogni ricoprimento di $X$ mediante intorni (che sono aperti) di $\mathcal{B}$ ammette un ricoprimento finito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di $\mathcal{B}$ ammette un sotto-ricoprimento finito, allora $X$ è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se $\{ U_ i\} $ è un generico ricoprimento di $X$, allora (visto che ogni $U_ i$ è aperto) $U_ i = \cup _{j} B_{i,j}$ dove i $B_{i,j}$ sono una famiglia di intorni della base $\mathcal{B}$ (ogni aperto è unione di intorni aperti della base $\mathcal{B}$). Ma allora

\[ X = \bigcup _ i U_ i = \bigcup _ i \bigcup _ j B_{i,j} = \bigcup _{i,j} B_{i,j}, \]

e quindi $\{ B_{i,j}\} _{i,j}$ è un ricoprimento di $X$ mediante aperti della base, che ammette l’esistenza di un sottoricoprimento finito

\[ X = B_{i_1,j_1} \cup B_{i_2,j_2} \cup ... \cup B_{i_ N,j_ N}. \]

Dal momento che $U_ i = \bigcup _{j} B_{i,j}$, per ogni $i,j$ si ha $B_{i,j} \subset U_ i$, e quindi

\[ X = U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup ... \cup U_{i_ N}, \]

cioè $\{ U_ i\} _ i$ ammette sottoricoprimento finito. In altre parole, se $H$ è l’insieme dei $B_{i,j}$ e $J$ l’insieme degli $U_ i$, allora si può definire una funzione $g\from H \to J$ tale che $B_ h \subset U_{g(h)}$ per ogni $h\in H$. Dato che $X\subset \bigcup _{h\in H_0} B_ h$ per un certo sottoinsieme finito $H_0 \subset H$, dovrà essere anche

\[ X \subset \bigcup _{h\in H_0} B_ h \subset \bigcup _{i\in g(H_0)} B_ i, \]

dove $g(H_0)\subset J$ è l’insieme finito di indici cercato.

(1.25) Teorema.[Tychonoff – fin(i)to] Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici compatti, allora il prodotto cartesiano $X\times Y$ (con la topologia prodotto) è compatto.

Dim. Per la nota (1.24), è sufficiente dimostrare che ogni ricoprimento di $X\times Y$ dato da aperti della base $\{ U\times V \} $ (con $U$ aperto di $X$ e $V$ aperto di $Y$) ammette un sottoricoprimento finito. Passo 1: supponiamo che $Y$ sia compatto, $x_0 \in X$ un punto e $N \subset X\times Y$ un intorno di $\{ x_0\} \times Y$ in $X\times Y$. Allora esiste un intorno $W$ di $x_0$ in $X$ tale che $N \supset W\times Y$ (l’intorno $W\times Y$ è detto il tubo attorno a $\{ x_0\} \times Y$). Dato che $\{ x_0\} \times Y$ è compatto (è omeomorfo a $Y$!) è possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti dati dagli elementi della base di intorni (per la topologia prodotto) $U\times V$ (quelli che generano $N$ con la loro unione ... ). A meno di scartare qualche intorno della base, si può supporre che

\[ U_1\times V_1, ... , U_ n\times V_ n \]

ricoprono $\{ x_0\} \times Y$. Sia $W = U_1 \cap U_2\cap ... \cap U_ n$, che è un intorno aperto di $x_0$ con la proprietà cercata: $W\times Y \subset N$.

Passo 2: Sia $\{ U_ i\times V_ i\} $ un ricoprimento mediante aperti della base $U_ i \times V_ i$. Dato che $\{ x\} \times Y$ è compatto, è contenuto in un sottoricoprimento finito, e l’unione degli aperti di tale ricoprimento per quanto visto sopra contiene un aperto del tipo $W_ x\times Y$ che contiene $\{ x\} \times Y$. Quindi per ogni $x\in X$ si può trovare un aperto $W_ x$ di $X$ tale che $W_ x\times Y$ è contenuto nell’unione di un numero finito di aperti del ricoprimento. Ma dato che $X$ è compatto, esiste una famiglia finita di $W_ i$ che ricopre $X$, e quindi il prodotto cartesiano $X\times Y$ è uguale all’unione dei tubi $W_{x_ i} \times Y$, ognuno dei quali è coperto dall’unione di un numero finito di aperti del ricoprimento $\{ U_ i\times V_ i\} $.

QED

Footnotes

  1. Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].
  2. Una relazione $R$ su $X$ si dice relazione d’ordine (stretto) se
    1. $\forall x\in X$, $\neg (xR x)$ ( $x\not< x$);

    2. $\forall x,y \in X$, $xRy \implies \neg (y R x)$ ($x < y \implies y\not< x$);

    3. $\forall x,y,z \in X$, $xRy \wedge yRz \implies xRz$ ($x < y \wedge y < z \implies x < z$);

    L’ordine è totale se è anche tricotomico, cioè $\forall x\neq y\in X$, allora $(x < y) \vee (y < x)$.
  3. La citazione in greco è presa da Euclid. Euclidis Elementa J. L. Heiberg. Leipzig. Teubner. 1883-1888. Il testo degli Elementi di Euclide è il libro più famoso dell’antichità classica, anche perché è stato usato come libro di testo ininterrottamente dal III secolo BCE fino ai giorni nostri. Curiosamente, fino a non molto tempo fa il testo originale (in greco) era disponibile a stampa solo con l’edizione di Heiberg e Menge (1883-1888), con testo latino a fronte. Una versione interessante con il testo a fronte in inglese si può trovare a: [http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf] , basata sull’edizione di Heiberg. Il filologo danese Heiberg aveva ricostruito il testo originale dei 13 (non 15, come si credeva anticamente) libri degli Elementi, a partire dai manoscritti disponibili. I due principali erano il D’Orville 301, ora nella Biblioteca Bodleiana di Oxford (scritto nel 888 CE dal copista Stefano, a Costantinopoli – consultabile on-line su [http://rarebookroom.org/Control/eucmsd/index.html] o nel sito della Bodleian Library), e il Manoscritto 190 della Biblioteca Vaticana (il Vaticanus graecus 190, che risale al decimo secolo; dal Vaticano Napoleone lo portò a Parigi nel 1810, e lo fece esaminare da F. Peyrard che ne comprese l’importanza e lo usò per pubblicare la sua edizione in francese e latino dei primi 12 capitoli degli Elementi, così come fece successivamente Heiberg; il manoscritto fu poi riportato a Roma nel 1815, con la restaurazionei dell’Ancien Régime, e non sembra essere consultabile on-line). L’importanza del Vaticanus graecus 190 sta nel fatto che il copista aveva avuto a disposizione sia la copia di Teone di Alessandria (IV secolo CE, padre della famosa Ipazia di Alessandria; purtroppo la copia di Teone aveva molto semplificato e alterato il testo di Euclide) che altre versioni precedenti più fedeli all’originale.
  4. John Myhill, What is a Real Number? Amer. Math. Monthly 79 (1972), 748-754.
  5. Lightstone, A. H. Infinitesimals. Amer. Math. Monthly 79 (1972), 242–251.
  6. Per poter dimostrare la continuità delle funzioni $\sin x$, $\cos x$ occorrerebbe prima definirle: come sono definite?