Esercizi: foglio 2

(2.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi $U\times V$, con $U$ aperto in $X$ e $V$ aperto in $Y$ è una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) $X\times Y$.

(2.2) Dimostrare che se $X\times Y$ ha la topologia prodotto e $A\subset X$, $B\subset Y$ sono sottospazi, allora $\overline{A} \times \overline{B} = \overline{A\times B}$, e che $A\times B$ è aperto in $X\times Y$ se e solo se $A$ è aperto in $X$ e $B$ è aperto in $Y$.

(2.3) [*] Dimostrare che $[0,1)\times [0,1)$ è omeomorfo a $[0,1]\times [0,1)$.

(2.4) Dimostrare che se $f\from X \to Y$ è una funzione, $A$ è un sottospazio di $Y$ con la topologia indotta tale che $fX \subset A\subset Y$, allora la funzione $f\from X \to Y$ è continua se e solo se lo è la funzione $f_ A\from X \to A$, dove $f_ A$ indica la funzione definita da $f_ A(x) = f(x) \in A \subset X$ per ogni $x\in X$.

(2.5) Dimostrare che $\overline{\QQ } = \RR $ (dove $\QQ $ denota il campo dei razionali) ma che $\QQ $ non ha punti interni in $\RR $.

(2.6) Dimostrare che il quadrato

\[ \{ (x,y) \in \RR ^2 : \max (|x|,|y|)=1 \} \]

è omeomorfo alla circonferenza $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 = 1 \} $.

(2.7) Dimostrare che la mappa diagonale $\Delta \from X \to X\times X$ definita da $x \mapsto (x,x)$ è continua.

(2.8) [*] Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente.

(2.9) [*] È vero che la mappe di proiezione $p_1\from X\times Y \to X$ è sempre una mappa chiusa?

(2.10) Sia $p_1\from \RR ^2 = \RR \times \RR \to \RR $ la proiezione sulla prima coordinata. Sia

\[ A =\{ (x,y) \in \RR ^2 : x\geq 0 \vee y=0 \} , \]

e $f\from A \to \RR $ la restrizione di $p_1$ a $A$. La mappa $f$ è aperta/chiusa?

(2.11) Dimostrare che se $f\from X \to Y$ è una funzione tra insiemi allora la relazione $x\sim y \iff f(x) = f(y)$ è una relazione di equivalenza, e la funzione $f$ induce una funzione biunivoca tra l’insieme delle classi di equivalenza e $f(X) \subset Y$.

(2.12) [*] Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius?

(2.13) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi:

  1. Cilindro = $\{ (x,y,z)\in \RR ^3 : x^2+y^2=1 \wedge z^2\leq 1 \} $.

  2. Cono = $\{ (x,y,z) \in \RR ^3: z^2 = x^2 + y^2 \wedge 0\leq z\leq 1 \} $.

  3. Toro ($\approx S^1 \times S^1 \approx ... $).

  4. Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da $z=1$ e $z=-1$) di bordo identificate ad un punto.

  5. La sfera $\{ (x,y,z)\in \RR ^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 \} $.

  6. La sfera (vedi sopra) meno un punto.

  7. Il piano $\RR ^2$.


(2.14) [*] Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su $\RR $.

(2.15) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di $\RR ^2$:

  1. $\{ (x,y) : xy=1 \} $.

  2. $(x,y) : x^2 + y^2 = 1 \} $.

  3. $\{ (x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \} $.

  4. $\{ (x,y) : x^3 + y^3 = 1 \} $ (e in generale, $\{ (x,y) : x^ n + y^ n = 1 \} $).


(2.16) [*] Sia $f\from X \to Y$ una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzione continua $g\from Y \to X$ (inversa destra) tale che $f\circ g$ è l’identità di $Y$, allora $f$ è una mappa quoziente. Se $g=i$ è l’inclusione di un sottospazio $i\from Y=A\subset X$ (dove $A$ ha la topologia indotta da $X$), allora il fatto che $i$ sia inversa destra di $f$ si legge $f \circ i = 1_ Y$, e cioè $\forall x\in A, f(x) = x$, cioè la restrizione $f|_{A}$ è uguale all’identità $1_ A$. In questo caso la mappa $f$ si dice retrazione.

(2.17) [*] Consideriamo in $\RR $ la relazione di equivalenza $x\sim y \iff x-y \in \QQ $ (se la differenza è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente $\RR /_\sim $? (Dimostrare che è la topologia banale.)

(2.18) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente.

(2.19) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo.

(2.20) [*] Siano $X$ e $Y$ due spazi metrici con metriche $d_ X$ e $d_ Y$. Dimostrare che la funzione $d\from X\times Y \to \RR $ definita da

\[ d\left((x_1,y_1),(x_2,y_2) \right) = \sqrt {d_ X(x_1,x_2)^2 + d_ Y(y_1,y_2)^2 } \]

è una metrica sul prodotto $X\times Y$. Dimostrare anche che la topologia indotta da $d$ coincide con la topologia prodotto.

(2.21) [*] (Orecchini delle Hawaii) Sia $X$ l’unione delle circonferenze $\{ (x,y) \in \RR ^2 : (x-\frac{1}{n})^2 + y^2 = (\frac{1}{n})^2 \} $, per $n=1,2,3 ... $ con la topologia indotta da $\RR ^2$, e sia $Y$ lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi $\ZZ \subset \RR $ ad un punto. Determinare (in modo intuitivo) se $X$ e $Y$ sono omeomorfi o meno.

(2.22) Dimostrare che le due funzioni $s\from \RR ^2 \to \RR $ e $p\from \RR ^2 \to \RR $ definite da

\[ s(x,y) = x+y, p(x,y) = xy \]

sono continue.