Esercizi: foglio 1

(1.1) Dimostrare che:

  1. L’insieme vuoto $\emptyset $ è unico.

  2. per ogni insieme $A$, $\emptyset \subset A$.

  3. per ogni insieme $A$, $A \subset A$.

  4. per ogni insieme $A$, $A = A\cup \emptyset $.


(1.2) Dimostrare che se $A$, $B$, $C$ e $X$ sono insiemi arbitrari:

  1. $A\cup B = B \cup A$.

  2. $A\cap B = B \cap A$.

  3. $(A\cup B)\cup C = A \cup (B \cup C )$.

  4. $(A\cap B)\cap C = A \cap (B \cap C)$.

  5. $A\cup (B\cap C) =(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

  6. $A\cap (B\cup C) =(A\cap B)\cup (A\cap C)$.

  7. Se $A\subset X$, allora $X \smallsetminus ( X \smallsetminus A ) = A$.

  8. Se $A,B \subset X$, allora $X\smallsetminus ( A\cup B ) = (X\smallsetminus A) \cap (X \smallsetminus B)$.

  9. Se $A,B \subset X$, allora $X\smallsetminus ( A\cap B ) = (X\smallsetminus A) \cup (X \smallsetminus B)$.


(1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti:

  1. $A\subset B$;

  2. $A\cap B = A$;

  3. $A \cup B = B$.


(1.4) Costruire una bijezione tra l’insieme delle parti $\mathcal{P}(X)$ di un insieme $X$ e l’insieme delle funzioni $f\from X \to \{ 0,1\} $.

(1.5) [*] Siano $A$ e $B$ due insiemi e $X$ l’insieme definito da $X = \{ \{ \{ a\} , \{ a,b\} \} : a\in A, b\in B \} $. Mostrare che $\{ \{ a\} , \{ a,b\} \} = \{ \{ b\} , \{ b,a\} \} $ se e solo se $a=b$ e costruire una bijezione $X \to A\times B$.

(1.6) [*] Sia $f\from X \to Y$ una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se $A\subset X$ e $B\subset Y$ sono sottoinsiemi di $X$ e $Y$:

  1. $f \left( f^{-1} (B ) \right) \subset B $.

  2. $f$ è suriettiva se e solo se per ogni $B\subset Y$, $f f^{-1} (B) = B $.

  3. $A \subset f^{-1} f(A)$.


(1.7) Sia $f\from X \to Y$ una funzione tra insiemi, $A\subset X$ e $B\subset Y$ sottoinsiemi di $X$ e $Y$. Dimostrare che:

\[ f(A) \subset B \iff A \subset f^{-1} B. \]


(1.8) Sia $X$ un insieme e $f\from X\times X \to \RR $ una funzione tale che:

  1. $f(x,y) = 0$ se e solo se $x=y$.

  2. $\forall x,y,z\in X, f(x,z) \leq f(x,y) + f(z,y)$.

Dimostrare che $f$ è una metrica su $X$.

(1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di $\RR $ è intorno di ogni suo punto.

(1.10) [*] Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni suo punto (cioè è un aperto).

(1.11) Dimostrare che l’unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metrico è un aperto.

(1.12) [*] Sia $\{ B_ j\} _{j\in J}$ una famiglia di insiemi in $Y$ e $f\from X \to Y$ una funzione. Dimostrare che

\[ f^{-1} \left( \bigcup _{j\in J} B_ j \right) = \bigcup _{j\in J} f^{-1}B_ j \]


(1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di $\RR ^2$ (con la metrica euclidea) sono aperti?

  1. $\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^2 + y^2 < 1 \} \cup \{ (1,0) \} $.

  2. $\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \} $.

  3. $\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^2 + y^2 > 1 \} $.

  4. $\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^4 + y^4 \leq - 1 \} $.

  5. $\{ (x,y)\in \RR ^2 : x^4 + y^4 \geq 1 \} $.


(1.14) [*] È vero che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di $\RR $ è un aperto? Se la famiglia è finita?

(1.15) [*] Dimostrare che, dato uno spazio metrico $X$ e un punto $x_0\in X$, la funzione $f(x) = d(x,x_0)$ è continua.

(1.16) Dimostrare che una metrica $d$ e la metrica $2d$ sono equivalenti. Quali delle metriche dell’esempio (1.22) sono equivalenti?

(1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni).

(1.18) Dimostrare che, se $A,B\subset X$ sono sottoinsiemi di uno spazio metrico:

  1. $\overline{A\cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.

  2. $\overline{A\cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$.


(1.19) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di $\RR $:

  1. $\{ \frac{1}{n} : n \in \NN , n > 0 \} $.

  2. $\{ \frac{k}{n} : k,n \in \NN , n > 0 \} $.

  3. $\{ \frac{k}{2^ n} : k,n \in \NN \} $ (razionali diadici positivi).

  4. $\{ \frac{1}{k} + \frac{1}{n} : k,n \in \NN , k,n > 0 \} $.


(1.20) [**] Quali sono i punti di accumulazione in $\RR $ dell’insieme $X\subset \QQ \subset \RR $ costituito da tutti i numeri che si possono scrivere come somme

\[ \sum _{j=1}^ l \dfrac {1}{k_ j} \]

per certi interi positivi tutti distinti $k_ j \in \NN $, $j=1,\ldots , l$ (cioè tali che $i\neq j \implies k_ i \neq k_ j$)? google: egyptian fractions

(1.21) [*] Dimostrare che se $A$ e $B$ sono sottoinsiemi di uno spazio metrico $X$ allora

  1. $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A\cup B}$;

  2. $A \subseteq \overline{A} $;

  3. $\overline{(\overline{A})} = \overline{A} $;

  4. $\overline{\emptyset } = \emptyset $.

Viceversa, si consideri un operatore $C\from 2^ X \to 2^ X$ con le seguenti proprietà:

  1. $CA \cup CB = C( A\cup B)$;

  2. $A \subseteq CA $;

  3. $CCA = CA $;

  4. $C\emptyset = \emptyset $.

Dimostrare che, definendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall’operatore $C$ ($CA = A$) si ottiene una topologia su $X$ (cioè valgono gli assiomi della definizione (3.1)). Questi assiomi alternativi si chiamano assiomi di Kuratowski ).

(1.22) Quali sono i punti di accumulazione per la successione $ \{ \dfrac {1}{n} \} $ (per $n > 0$) nella retta reale $\RR $ munita della metrica discreta $\displaystyle d(x,y) = \begin{cases} 0 & \mbox{ se $x=y$ } \\ 1 & \mbox{ altrimenti } \\ \end{cases}$?

(1.23) Dimostrare che se $A\subset B$, allora $\overline{A} \subset \overline{B}$.

(1.24) [*] Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la topologia banale non è metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) è metrizzabile.

(1.25) [*] Sia $X$ uno spazio topologico e $C \subset X$ un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti.

  1. $X\smallsetminus C$ è aperto.

  2. $C$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.


(1.26) [*] Dimostrare che la chiusura $\overline{A}$ di un sottoinsieme $A\subset X$ di uno spazio topologico $X$ è il più piccolo sottoinsieme chiuso di $X$ che contiene $A$.

(1.27) Sia $X$ un insieme e $Y\subset X$ un suo sottoinsieme. Dimostrare che se $\tau \subset 2^ X$ è una topologia per $X$, allora $\tau _ Y = \{ U\cap Y : U\in \tau \} $ è una topologia per $Y$, e che l’inclusione $i\from Y \to X$ è una funzione continua.

(1.28) Sia $X$ un insieme di tre elementi $X=\{ a,b,c\} $. Le seguenti sono topologie per $X$:

  1. $\{ \{ \} , \{ b\} , \{ a,b\} , \{ b,c\} , \{ a,b,c\} \} $.

  2. $ \{ \{ \} , \{ a\} , \{ a,b,c\} \} $.

  3. $\{ \{ \} , \{ a,b,c\} \} $.

Le seguenti non sono topologie

  1. $\{ \{ \} , \{ a,b\} , \{ b,c\} , \{ a,b,c\} \} $.

  2. $ \{ \{ a\} , \{ a,b,c\} \} $.

Quante topologie ci sono su $X$ in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di $2^ X$?

(1.29) [*] (Topologia dei complementi finiti) Sia $X$ un insieme e $\tau \subset 2^ X$ la famiglia di tutti i sottoinsiemi $A$ di $X$ con complemento finito, cioè tali che $X\smallsetminus A$ ha un numero finito di elementi, unita all’insieme $X$ (si vuole che $\emptyset $ sia aperto). Si dimostri che $\tau $ è una topologia.

(1.30) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale $\RR $.

  1. Tutti gli intervalli aperti: $(a,b) = \{ x\in \RR : a < x < b \} $.

  2. Tutti gli intervalli semiaperti: $[a,b) = \{ x\in \RR : a\leq x < b \} $.

  3. Tutti gli intervalli del tipo: $(-\infty , a) = \{ x \in \RR : x < a \} $.

  4. Tutti gli intervalli del tipo: $(-\infty , a] = \{ x \in \RR : x \leq a \} $.

Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioè quando le topologie sono contenute una nell’altra)?

(1.31) Dimostrare che se $f\from \RR \to \RR $ è una funzione continua, allora l’insieme $\{ x\in \RR : f(x) = 0 \} $ è chiuso in $\RR $ mentre l’insieme $\{ x\in \RR : f(x) > 0 \} $ è aperto in $\RR $.

(1.32) [*] Sia $A\subset \RR $ un insieme e $\chi _ A$ la funzione (detta funzione caratteristica di $A$) definita da

\[ \chi _ A(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{ se $x\in A$; } \\ 0 & \mbox{ se $x\not\in A$; } \\ \end{cases} \]

In quali punti di $\RR $ la funzione $\chi _ A$ è continua?

(1.33) [*] Quale topologia deve avere $\RR $ affinché tutte le funzioni $f\from \RR \to \RR $ siano continue?

(1.34) [*] Dimostrare che una funzione $f\from \RR \to \RR $ è continua se e solo se per ogni successione convergente $\{ x_ n\} $ (cioè per cui esiste $\bar{x}$ tale che $\lim _{n\to \infty } |x_ n - \bar{x}| = 0$) vale l’uguaglianza

\[ \lim _{n\to \infty } |f(x_ n) - f(\bar{x})| = 0. \]


(1.35) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite.