3.5. Richiami di teoria degli insiemi

(Cfr.)1

Concetti primitivi (non definiti):

In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi2 si definisce un insieme come collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire se $x=y$ oppure $x\neq y$). Si assumono anche i seguenti principi:

  1. Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.

  2. Principio di astrazione: Una proprietà $p(x)$ definisce un insieme $A$ con la convenzione che gli elementi di $A$ sono esattamente gli “oggetti” $x$ per cui $P(x)$ è vera:

    \[ A = \{ x : p(x) \} . \]
  3. Assioma della ...

Estensioni di questa notazione:

\[ \{ x \in A : p(x) \} \mbox{Esempio: $\{ x\in \RR : x \geq 4 \} $ } \]\[ \{ f(x) : p(x) \} \mbox{Esempio: $\{ x^2 : x\in \ZZ \} $ } \]\[ \{ 1,2,3 \} , \{ 1,2\} \]

Insieme vuoto3: $\emptyset $.

Relazioni tra insiemi:

Operazioni con gli insiemi:

Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria $\sum $ può essere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezione possono essere usati per famiglie di insiemi. Siano $J$ e $U$ due insiemi non vuoti e $f\from J \to 2^ U$ una funzione. Per ogni $i\in J$, il sottoinsieme $f(i)\in 2^ U$ può anche essere denotato con $X_ i$, per esempio (cf. successioni $x_ i$ vs. funzioni $x=f(i)$).

In ultimo, si ricordi che una funzione $f\from X \to Y$ si dice iniettiva se $\forall x\in X, \forall y\in Y, (x\neq y \implies f(x) \neq f(q))$, suriettiva se $\forall y \in Y, \exists x\in X : f(x) = y$, bijettiva (biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.

(3.18) Definizione. Sia $f\from X \to Y$ una funzione. Se $B\subset Y$ è un sottoinsieme di $Y$, la controimmagine di $B$ è

\[ f^{-1}(B) = \{ x\in X : f(x) \in B \} . \]



Footnotes

  1. Cfr: Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).
  2. G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere il criterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia $X$ l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi ($x\not\in x$); se $X$ appartiene a se stesso, $X\in X$, allora per definizione $X\not\in X$, cioè $X$ non appartiene a se stesso. Viceversa…
  3. Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto – e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, …
  4. Si noti l’uso del simbolo “$:=$” usato per le definizioni o gli assegnamenti.