3.2. Topologia indotta (topologia dei sottospazi, sottospazi topologici)

(Cfr.)1

Se $X$ è uno spazio topologico, la topologia $\tau $ di $X$ induce una topologia, detta topologia indotta per restrizione sui sottospazi $Y\subset X$. Cioè, per definizione $A\subset Y$ è aperto se e solo se esiste $U\subset X$ aperto la cui intersezione con $Y$ è $A$: gli aperti di $Y$ sono tutte e sole le intersezioni

\[ A = Y\cap U \]

di aperti di $X$ con $Y$. Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assume che abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo.

(3.14) Nota. Tutti gli intervalli del tipo $[a,b)$, con $a < b$ costituiscono una base per la retta reale $\RR $. La topologia che ne risulta ha piú aperti di quella generata dalla metrica euclidea. Gli intervalli del tipo $(-\infty ,b)$, con $b\in \RR $ sono una base? Se sí, essa genera una topologia con piú o meno aperti di quella euclidea? Esiste una metrica che genera questa topologia? Quando una funzione è semicontinua superiormente?

(3.15) Esempio. Se $X=\RR $ con la topologia metrica (euclidea), $Y=[0,1]\subset X$, allora l’intervallo $[0,1/2)$ è un aperto di $Y$ (perché $[0,1/2) = (-1/2,1/2) \cap Y$), ma non è un aperto di $X$ (dato che $0$ non è interno a $[0,1/2)$ in $X$, ma lo è in $Y$).

Footnotes

  1. Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II §5 [1].