1.2. Incidenza di sottospazi

(1.26) Se $S,T\subset \PP ^ n(K)$ sono due sottospazi proiettivi e $\dim (S) + \dim (T) \geq n$, allora $S\cap T \neq \emptyset $, cioè $S$ e $T$ sono incidenti.

Dim. Siano $V$ e $W$ i due sottospazi vettoriali di $K^ n$ tali che $\PP (V) = S \subset \PP (K^{n+1})$ e $\PP (W) = T \subset \PP (K^{n+1})$. Per definizione si ha $\dim (S) = \dim (V)- 1$, $\dim (T) = \dim (W) - 1$. Per la formula di Grassmann si ha $\dim (V+W ) + \dim (V\cap W) = \dim (V) + \dim (W)$, e quindi \[ \dim (V) + \dim (W) - \dim (V\cap W) \leq n+1 = \dim (K^{n+1}). \] Dato che $\dim (S\cap T) + 1 = \dim (V\cap W)$, i due sottospazi hanno punti in comune se e solo se $\dim (V\cap W) \geq 1$ (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se $\dim (S) + \dim (T) \geq n$ si ha \[ \begin{aligned} \dim (S\cap T) & = \dim (V\cap W) -1 \\ & \geq (\dim V + \dim W - n - 1) - 1 \\ & = (\dim S + 1 + \dim T + 1 -n -1) -1 \\ & \geq 0, \end{aligned} \] e quindi la tesi.
QED

(1.27) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo $\PP ^2(K)$ si incontrano sempre in un unico punto. Una retta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo $\PP ^3(K)$, si incontrano sempre in un unico punto.

Dim. Per (1.26) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo punto osserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazio proiettivo, per cui due rette non possono avere due punti in comune senza essere coincidenti. Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi 10.12 e 10.15).
QED

(1.28) Nello spazio proiettivo $\PP ^ n(K)$ comunque scelti $n$ iperpiani, essi hanno almeno un punto in comune.

Dim. Di fatto si tratta di $n$ sottospazi di $K^{n+1}$ di dimensione $n$ (codimensione $1$), cioè di $n$ equazioni (omogenee) nelle $n+1$ coordinate di $K^{n+1}$. La dimensione dello spazio di soluzioni è sempre almeno $1$.
QED

(1.29) Se $H\subset \PP ^ n(K)$ è un iperpiano e $P$ un punto non in $H$, allora ogni retta passante per $P$ incontra $H$ esattamente in un punto.

Dim. Sia $H = \PP (V) $ per il sottospazio vettoriale $V\subset K^{n+1}$. Dire che $P=[p] \in \PP ^ n(K)$ non appartiene a $H$ significa dire che il vettore (non nullo) $p$ non appartiene a $V$. Sia $l$ una retta per $P$, cioè $l = \PP (W)$, con $W\subset K^{n+1}$ sottospazio vettoriale di dimensione $2$, e $P=[p]\in l$, cioè $p\in W$. Dato che la somma delle dimensioni $\dim (l) + \dim (H)$ è esattamente $n$, per (1.26) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamente almeno un punto in comune. Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione $V\cap W$ sarebbe $\geq 2$, e quindi $W\subset V \implies l \subset H$. Ma questo non può essere dato che $P \not\in H$ (si veda anche l’esercizio 10.15).
QED

(1.30) Nota. Mediante (1.29) si può dimostrare che è possibile definire la proiezione proiettando non solo parallelamente (come abbiamo visto fare per spazi affini e euclidei), ma anche proiettando da un punto di $\PP ^ n(K)$. Vediamo come: se $Q\in \PP ^ n(K)$ è un punto fissato e $H$ e $H’$ due iperpiani di $\PP ^ n(K)$ che non contengono $Q$, per ogni $[x]\in H$ esiste una (unica) retta passante per $[x]$ e per $Q$; questa retta interseca $H’$ in un unico punto, che chiamiamo $f([x])$. Abbiamo definito quindi una funzione $f\from H \to H’$ (chiamata anche proiezione prospettica, o prospettiva, di $H$ su $H’$). È un isomorfismo proiettivo tra $H$ e $H’$. Per mostrare questo, osserviamo che $H = \PP (V)$ e $H’ = \PP (V’)$ con $V$ e $V’$ sottospazi di $K^{n+1}$ di dimensione $n$. La funzione $f$ è un isomorfismo proiettivo se esiste $F\from V \to V’$ lineare (isomorfismo di spazi vettoriali) che induce $f$. Ora, sia $q\in K^{n+1}$ un vettore per cui $[q] = Q$. Dal momento che $q\not\in V’$, si può scrivere $K^{n+1}$ come somma (diretta) di sottospazi vettoriali

\[ K^{n+1} = \langle q \rangle \oplus V’ \]

e di conseguenza si può definire la proiezione $\pi \from K^{n+1} \to V’$ lungo la direzione del vettore $q$ (meglio, del sottospazio vettoriale generato da $q$, di dimensione $1$). La restrizione di $\pi $ a $V$ è anch’essa un omomorfismo di spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione $F\from V \to K^{n+1} \to V’$, che è un isomorfismo dato che $q\not\in V$. Non rimane che mostrare che per ogni $x\in V$ si ha $[F(x)] = f([x])$. La retta per $[x]$ e $Q$ è il sottospazio (di dimensione $2$) generato da $x$ e da $q$. È chiaro che la sua intersezione con $V’$ coincide con la sua proiezione mediante $\pi $ definita sopra (che proietta su $V’$), dato che la proiezione è parallela a $q$ e $[q]=Q$ è un punto della retta (e quindi del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da $F(x)$.

(1.31) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezione prospettica anche tra iperpiani affini (e quindi non sarà definita in alcuni punti degli iperpiani affini).

(1.32) Esempio. Proiettività $\PP ^1(\RR ) \to \PP ^1(\RR )$ (circonferenza): in coordinate affini sono…Proiettività $\PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ (sfera di Riemann): corrispondono in coordinate affini alle trasformazioni di Möbius

\[ z \mapsto \dfrac {az +b}{cz+d} \]

per $ad - bc \neq 0$. Sottogruppo modulare: con coefficienti interi.

(1.33) Esempio. Siano $A$ una matrice $n\times n$ a coefficienti in $K$, $\vb $ e $\vc $ due vettori di $K^ n$, e $K$ il campo degli scalari. La proiettività (ricordare il prodotto di matrici a blocchi)

\[ \begin{bmatrix} \vx \\ u \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} A & \vb \\ \vc ^ t & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vx \\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A\vx + u \vb \\ \vc ^ t \vx + ud \end{bmatrix} \]

in coordinate affini si scrive

\[ \begin{bmatrix} \vx \\ 1 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \dfrac {1}{\vc ^ t \vx + d} \left( A\vx + \vb \right) \\ 1 \end{bmatrix}, \]

cioè

\[ \vx \mapsto \dfrac {A\vx + \vb }{\vc ^ t \vx + d}. \]

Quando $\vc =\boldsymbol {0}$ (deve essere $d\neq \boldsymbol {0}$ dato che la matrice completa è invertibile), non è altro che una trasformazione affine. Altrimenti, manda l’iperpiano (affine) di equazione $\vc ^ t \vx + d = 0$ all’infinito.

In generale, una proiettività $f$ di $\PP (V)$ in sé induce una corrispondenza biunivoca tra gli iperpiani di $V$ (o, equivalentemente, gli iperpiani di $\PP (V)$) in sé. Se $f$ manda l’iperpiano all’infinito in sé, allora deve essere $\vc =\boldsymbol {0}$. Se invece $\vc \neq \boldsymbol {0}$, non può mandare l’iperpiano all’infinito in sé. Cioè, manda l’iperpiano all’infinito in sé se e solo se $\vc =0$. In altre parole, le trasformazioni affini di $\AA _0^ n(K) \subset \PP ^ n(K)$ sono le restrizioni alla parte affine $\AA ^ n_0(K)$ di tutte quelle proiettività di $\PP ^ n(K)$ che mandano l’iperpiano all’infinito in sé (si veda l’esercizio 10.26).

(1.34) Esempio. Proiettiamo con una prospettiva $\EE ^3$ sul piano $z=0$, con fuoco in $(0,0,1)$: la linea

\[ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} x \\ y \\ z-1 \end{bmatrix} \]

passa per $(x,y,z)$ e $(0,0,1)$, e incontra il piano $z=0$ per $t=\dfrac {1}{1-z}$, quindi la proiezione è

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \dfrac {x}{1-z} \\ \dfrac {y}{1-z} \end{bmatrix} \]

In coordinate omogenee diventa la funzione lineare

\[ [x:y:z:u] \mapsto [x:y:0:u-z]. \]


(1.35) Esempio. Proviamo a invertire la funzione $S^2 \to \PP ^1(\CC )$ definita nell’esempio (1.5),

\[ (x,y,z) \in S^2 \mapsto [ 1-z: x+iy] = [x-iy : 1+z] \in \PP ^1(\CC ). \]

Se $[w_1:w_2] \in \PP ^1(\CC )$, con $w_ i \in \CC $, se poniamo $w = \dfrac {w_2}{w_1}$ (per $w_2\neq 0$) si ha $[1:w] = [1:\frac{w_2}{w_1}]$ e quindi basta invertire la proiezione stereografica ed ottenere

\[ \left\{ \begin{aligned} x & = \frac{2 \Re (w) }{|w|^2 +1} \\ y & = \frac{2 \Im (w) }{|w|^2 +1} \\ z & = \frac{|w|^2 - 1}{|w|^2+1} \end{aligned} \right. \iff \begin{aligned} x & = \frac{2 \Re (w_2/w_1) }{|w_2/w_1|^2 +1} \\ y & = \frac{2 \Im (w_2/w_1) }{|w_2/w_1|^2 +1} \\ z & = \frac{|w_2/w_1|^2 - 1}{|w_2/w_1|^2+1} \end{aligned} \]\[ \left\{ \begin{aligned} x & = \frac{2 \Re (w_2/w_1) |w_1|^2 }{|w_2|^2 +|w_1|^2} = \frac{2 \Re (w_2\overline{w}_1) }{|w_2|^2 +|w_1|^2} \\ y & = \frac{2 \Im (w_2/w_1) |w_1|^2 }{|w_2|^2 +|w_1|^2} = \frac{2 \Im (w_2\overline{w}_1) }{|w_2|^2 +|w_1|^2} \\ z & = \frac{|w_2|^2 - |w_1|^2}{|w_2|^2+|w_1|^2} \end{aligned} \right. \]

Se quindi scriviamo $w_1 = a+ib$, $w_2 = c+id$, la mappa si scrive

\[ \begin{aligned} h(a,b,c,d) & = \dfrac {1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \begin{bmatrix} 2 \Re ( (c+id)(a-ib) ) \\ 2 \Im ( (c+id)(a-ib) ) \\ c^2+d^2 - a^2-b^2 \end{bmatrix}\\ & = \dfrac {1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \begin{bmatrix} 2 (ac+bd) \\ 2(ad -cb) \\ c^2+d^2 - a^2-b^2 \end{bmatrix}\end{aligned} \]

Osserviamo che di fatto è una mappa $\CC ^2\smallsetminus \{ 0\} $ che passa al quoziente con l’azione di $\CC ^*$, e quindi si può restringere ad una mappa sulla sfera $S^3\subset \RR ^4$ definita da $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ come

\[ h \from S^3 \to S^2. \]

Questa è una mappa molto importante in geometria e topologia, chiamata la mappa di Hopf, o anche fibrazione di Hopf. Provare a dimostrare che le controimmagini dei punti di $S^2$ sono circonferenze disgiunte in $S^3$.

Disegno dell'immersione in R^3 del piano proiettivo, con autointersezione.
Figura 10.3: Immersione (non regolare e con auto-intersezioni) del piano proiettivo in $\EE ^3$. r := 1; plot3d([r*(1+cos(v))*cos(u), r*(1+cos(v))*sin(u), -tanh(2/3*(u-Pi))*r*sin(v)], u = 0 .. 2*Pi, v = 0 .. 2*Pi);
Immersione (Superficie di Boy) del piano proiettivo in R^3.
Figura 10.4: Immersione (regolare senza auto-intersezioni: superficie di Boy) del piano proiettivo in $\EE ^3$. X := (sqrt(2)*cos(2*u)*cos(v)^2 + cos(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Y := (sqrt(2)*sin(2*u)*cos(v)^2 - sin(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Z := 3*cos(v)^2/(2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); plot3d([X, Y, Z], u = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, v = 0 .. Pi);