2.1. Area e volume negli spazi affini

Abbiamo definito la lunghezza e gli angoli a partire da un prodotto scalare definito sui vettori di $\EE ^ n$. Possiamo fare lo stesso con la definizione di volume? Qual è la definizione assiomatica di volume? Proponiamo al lettore di discutere e riflettere sulla validità e naturalezza dei seguenti assiomi, per una funzione di area con segno $A$ di un triangolo $ABC$ (o equivalentemente di un parallelogramma $ABCD$), in cui $\va = \overrightarrow {CA}$ e $\vb =\overrightarrow {CB}$:

(disegnare le figure corrispondenti agli assiomi)

Analogamente, una funzione di volume con segno $V$ di un parallelogramma con i tre spigolo concorrenti $\va =\overrightarrow {DA}$, $\vb =\overrightarrow {DB}$, $\vc =\overrightarrow {DC}$ probabilmente dovrebbe soddisfare gli assiomi

In generale, per uno spazio affine $X$ reale, una funzione di volume con segno (chiamiamola forma di volume) sarà una funzione $\omega \from \overrightarrow {X}^ n \to \RR $

\[ \omega ( \vv _1, \vv _2, \ldots , \vv _ n ), \quad \vv _ i \in \overrightarrow {X}, i=1,\ldots , n \]

che sia multilineare (cioè lineare in ogni sua variabile) e tale che $\omega (\vv _1,\vv _2, \ldots , \vv _ n) = 0$ quando almeno due dei $\vv _ i$ coincidono. Osserviamo che da questa proprietà segue che

\[ \small \omega ( \vv _1, \ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ n) + \omega (\vv _1, \ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ n) = 0. \]

Infatti

\[ \small \begin{aligned} 0& = \omega (\vv _1, \ldots , \vv _ i+\vv _ j, \ldots , \vv _ i + \vv _ j, \ldots , \vv _ n) \\ & = \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ n) + \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ n) + \\ & + \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ n) + \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ n) \\ & = \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ n) + \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ j, \ldots , \vv _ i, \ldots , \vv _ n). \end{aligned} \]

Quindi se si scambiano due variabili $\vv _ i$ la funzione $\omega $ cambia di segno, cioè $\omega $ è alternante. Ora, quante sono le funzioni con queste due proprietà (multilineari e alternanti)? Nello spazio euclideo standard ce n’é una, a meno di costante, e cioè il determinante, che viene presa come unità di misura per il calcolo delle aree e dei volumi. Lo studio dei determinanti di fatto non è altro che lo studio della misura (nel senso di area/volume) con segno dei corrispondenti parallelogrammi/parallelepipedi. Provare a dimostrare che le isometrie di $\EE ^ n$ conservano le aree (vs. volumi) dei parallelogrammi (vs. parallelepipedi): occorre osservare che se $\vv _1,\ldots , \vv _ n$ sono vettori di $\RR ^ n$ e $L$ è una applicazione lineare $\RR ^ n \to \RR ^ n$ (che è la parte lineare della mappa affine corrispondente), allora per la formula di Binet

(1)\begin{equation} \omega (L\vv _1,\ldots , L\vv _ n) = \det (L) \omega (\vv _1,\ldots , \vv _ n). \end{equation}

Ma per una isometria si ha $L\in O(n)$, e quindi $\det (L) = \pm 1$. Quindi, a meno di segno, ...

(2.11) Nota. La definizione di volume data sopra si riferisce ai parallelogrammi/parallelepipedi. Come è possibile usarla per definire il volume per i triangoli/tetraedri (o in generale gli inviluppi convessi di $n+1$ punti in $\RR ^ n$? Più precisamente, dato che il parallelogramma che ha per spigoli i vettori $\vv _1, \ldots , \vv _ n$ si può scrivere come

\[ P = \{ O + t_1 \vv _1+ \ldots + t_ n \vv _ n : t_ i \in [0,1] \} \subset \EE ^ n, \]

come calcolare il volume del solido

\[ T = \{ O + t_1 \vv _1 + \ldots + t_ n \vv _ n : t_ i \in [0,1], \sum _{i=1}^ n t_ i \leq 1 \} ? \]

Assumiamo che la funzione “volume di poliedri” in $\EE ^ n$ soddisfi l’equazione (1), e se un poliedro è unione di poliedri con interni disgiunti allora il suo volume è la somma dei volumi. Vediamo come da questo calcolare il volume di un tetraedro $n$-dimensionale.

Per prima cosa osserviamo che basta calcolare il volume di un solo $n$-tetraedro (con i vertici indipendenti dal punto di vista affine, cioè con i $\vv _ i$ indipendenti come vettori): il volume di ogni altro $n$-tetraedro si ottiene con un cambio di coordinate e un calcolo di determinante.

Cominciamo con l’ipercubo che ha per spigoli i vettori $\vv _ i = \ve _ i$ (i vettori della base standard)

\[ I^ n = \{ (x_1,x_2, \ldots , x_ n) : x_ i \in [0,1] \} \subset \EE ^ n. \]

Il suo volume è (nella forma di volume standard) uguale a $1$. Gli $n+1$ vertici dell’ $n$-tetraedro $T_0\subset I^ n$ definito da

\[ T_0 = \{ (x_1,x_2,\ldots , x_ n) : x_ i \in [0,1], \sum _{i=1}^ n x_ i \leq 1 \} \]

sono $O=(0,0,\ldots , 0)$ e $E_ i=\ve _ i$, con $i=1,\ldots , n$.

Ora consideriamo altri $(n+1)$ vertici di $I^ n$ (comunque indipendenti dal punto di vista affine)

\[ \begin{aligned} A_0& = (0,0, \ldots , 0,0) \\ A_1 & = (0,0,\ldots , 0,1) \\ A_2 & = (0,0, \ldots , 1, 1 \\ \vdots & \hspace{2cm} \vdots \\ A_{n-1} & = (0,1,\ldots , 1,1) \\ A_ n & = (1,1,\ldots , 1,1). \end{aligned} \]

Il solido che ha gli $A_ i$ per vertici si scrive come

\[ \begin{aligned} T& = \{ A_0 + t_1A_1 +\ldots + t_ n A_ n : t_ i \in [0,1], \sum _{i=1}^ n t_ i \leq 1 \} \\ & = \{ (x_1,\ldots , x_ n ) : 0 \leq x_1\leq x_2 \leq \ldots \leq x_ n \leq 1 \} . \end{aligned} \]

Osserviamo ora che il gruppo simmetrico $\Sigma _ n$ di tutte le permutazioni di $n$ indici (di ordine $n!$) agisce su $\EE ^ n$ permutando le coordinate, e per ogni $g\in \Sigma _ n$, $g\neq 1$, si ha che $gT$ e $T$ hanno interni disgiunti (perché?). Inoltre

\[ I^ n = \bigcup _{g\in \Sigma _ n} gT, \]

da cui segue che

\[ \sum _{g\in \Sigma _ n} |\omega (gT)| = 1. \]

Ma $gT$ e $T$ hanno lo stesso volume ($\pm 1$), dato che $g$ è una isometria, e quindi

\[ n! |\omega (T)| = \omega (I^ n) = 1 \implies |\omega (T)| = \dfrac {1}{n!}. \]

Per la formula (1), si ha quindi che se $LP$ è un $n-$parallelepipedo e $LT$ l’$n$-tetradro corrispondente a $T$ si ha

\[ |\omega (LT)| = \dfrac {|\det (L)|}{n!}. \]

Ora, osserviamo che la trasformazione lineare che manda $O$ in $A_0$ e $E_ i$ in $A_{n-i}$, per $i=1,\ldots , n$ ha la matrice $L$ della forma triangolare inferiore

\[ L= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]

e quindi $\det (L) = 1$. Segue che $\omega (T_0) = \dfrac {1}{n!}$, e anche in generale l’$n$-tetraedro con spigoli $\vv _ i$ ha volume uguale a

\[ \dfrac {\omega (\vv _1,\vv _2,\ldots , \vv _ n)}{n!}. \]


(2.12) Esempio. [Solidi platonici] Come vedremo nell’esercizio 9.25, è possibile classificare i sottogruppi finiti di rotazioni in $SO(3)$, che sono legati ai gruppi di simmetrie dei poliedri regolari, i solidi platonici.

Disegno di un icosaedro di Piero della Francesca
Figura 9.2: Icosaedro, di Piero Della Francesca (nel De Divina Proportione di Luca Pacioli)
Dodecaedro, disegnato da Leonardo da Vinci
Figura 9.3: Leonardo Da Vinci, Dodecaedro (dal De Divina Proportione di Luca Pacioli)