2. Incidenza e parallelismo

(Cfr.)1

(2.1) Definizione. Due sottospazi affini $S,T\subset X$ di uno spazio affine $X$ sono paralleli se $\overrightarrow {S} \subset \overrightarrow {T}$ (o $\overrightarrow {T} \subset \overrightarrow {S}$?) , e si indica con $S\parallel T$. 2 I due sottospazi $S$ e $T$ si dicono incidenti se $S\cap T \neq \emptyset $3.

(2.2) Proposizione. Se $S\subset X$ e $T\subset X$ sono due sottospazi affini paralleli e $S\cap T\neq \emptyset $, allora $S\subset T$ oppure $T\subset S$.

Dim. Sia $P\in S\cap T$. A meno di scambiare $S$ con $T$, possiamo supporre $\dim (S) \leq \dim (T)$ e quindi $V\subset W$ se $V$ e $W$ sono le giaciture di $S$ e $T$ rispettivamente. Per ogni $x\in S$ si ha $x-P \in V$, e quindi $x-P\in W$, da cui $x\in T$. Cioè $S\subset T$.
QED

(2.3) Corollario. Se $S\subset X$ e $T\subset X$ sono due sottospazi affini paralleli, $\dim (S) = \dim (T)$, e $S\cap T\neq \emptyset $ allora $S=T$.

Dim. Nella notazione della dimostrazione precedente, risulta $V=W$, e quindi $S=T$.
QED

(2.4) Corollario. Se $S\subset X$ è un sottospazio affine e $x\in X$ è un punto di $X$, allora esiste un unico sottospazio affine $T\subset X$ di dimensione $\dim (S)$ che contiene $x$ e parallelo a $S$.

Dim. Due sottospazi $T’$ e $T$ con la stessa dimensione, contenenti $x$ e paralleli a $S$, in particolare sono paralleli tra loro e con intersezione non vuota ($x\in T\cap T’$), per cui si può usare il corollario (2.3).
QED

(2.5) Nota. Nel caso in cui $X=\AA ^2(\RR )$, ritroviamo la proposizione (1.12) (quinto postulato di Euclide – “assioma delle parallele”).

(2.6) Definizione. Due sottospazi affini $S,T\subset X$ si dicono sghembi se non hanno punti in comune e non sono paralleli.

(2.7) Proposizione. Siano $S,T\subset X$ sottospazi affini di $X$. Se l’intersezione $S\cap T$ non è vuota, allora è un sottospazio affine di $X$, la cui dimensione soddisfa la disuguaglianza \[ \dim (S) + \dim (T) \leq \dim (X) + \dim \left( S\cap T \right) \] Vale l’uguaglianza nella disequazione se e solo se $\dim ( \overrightarrow {S} + \overrightarrow {T} ) = \dim (\overrightarrow {X})$.

Dim. Sia $x_0 \in S\cap T$. Allora risulta \[ \begin{aligned} S & = x_0 + \overrightarrow {S} \\ T & = x_0 + \overrightarrow {T} \\ \end{aligned} \] da cui si deduce che \[ S \cap T = x_0 + \overrightarrow {S}\cap \overrightarrow {T}, \] e quindi $S\cap T$ è un sottospazio affine con giacitura $\overrightarrow {S\cap T} = \overrightarrow {S} \cap \overrightarrow {T}$. Ora, la formula di Grassmann (dimensioni di sottospazi vettoriali di uno spazio di dimensione finita) dà (1)\begin{equation} \dim (\overrightarrow {S}) + \dim (\overrightarrow {T}) = \dim (\overrightarrow {S}+\overrightarrow {T}) + \dim (\overrightarrow {S}\cap \overrightarrow {T} ), \end{equation} da cui si deduce \[ \begin{aligned} \dim (S ) + \dim ( T) & = \dim ( \overrightarrow {S} + \overrightarrow {T} ) + \dim (S\cap T) \\ & \leq \dim (X) + \dim (S\cap T), \end{aligned} \] dato che $\dim ( \overrightarrow {S} + \overrightarrow {T} ) \leq \dim (\overrightarrow {X})=\dim (X) $. È altresì chiaro che vale l’uguaglianza quando vale l’uguaglianza in quest’ultima disequazione.
QED

(2.8) Nota. Osserviamo che dalla dimostrazione di (2.7) si può dedurre un metodo per calcolare la dimensione dell’intersezione di due sottospazi affini (calcolando il rango della matrice del sistema di equazioni).

(2.9) Proposizione. Siano $S,T\subset X$ sottospazi affini di $X$ tali che $\overrightarrow {S} + \overrightarrow {T} = \overrightarrow {X}$. Allora l’intersezione $S\cap T$ non è vuota.

Dim. Siano $x_ S$ e $x_ T$ punti di $S$ e $T$ rispettivamente. Un punto $x\in X$ appartiene all’intersezione $S\cap T$ se e solo se esistono $v\in \overrightarrow {S}$ e $w\in \overrightarrow {T}$ tali che \[ x = x_ S + v = x_ T + w, \] cioè l’intersezione è non vuota se e solo se esistono $v\in \overrightarrow {S}$ e $w\in \overrightarrow {T}$ tali che \[ x_ T - x_ S = v - w. \] Ma per ipotesi $\overrightarrow {S} + \overrightarrow {T} = \overrightarrow {X}$, e dato che $x_ T - x_ S \in \overrightarrow {X}$ esistono $s\in \overrightarrow {S}$ e $t\in \overrightarrow {T}$ per cui \[ x_ T - x_ S = s + t. \] Basta porre $v=s\in \overrightarrow {S}$ e $w=-t\in \overrightarrow {T}$ per ottenere le soluzioni $v$ e $w$ cercate.
QED

(2.10) Definizione. Consideriamo un sottospazio affine $S\subset X$, $S\neq X$ e un sottospazio $W\subset \overrightarrow {X}$ tale che $\overrightarrow {S} \oplus W = \overrightarrow {X}$ (complemento). Allora si può definire la proiezione di $X$ su $S$ parallela a $W$, indicata con $p_{S,W}\from X \to S$, come segue: se $x\in X$, allora per (2.4) esiste unico il sottospazio affine $T=T_{x,W}$ passante per $x$ con giacitura $W$. L’intersezione $S\cap T_{x,W}$ è non vuota per (2.9), e dato che $\overrightarrow {S} + \overrightarrow {T_{x,W}} = \overrightarrow {S} + W = \overrightarrow {X}$ per (2.7), la dimensione è $\dim (S\cap T_{x,W}) = 0$, cioè consiste di un solo punto. Si può dunque definire la proiezione su $S$ parallela a $W$ $p_{S,W}$ mediante la relazione

\[ \forall x\in X, p_{S,W}(x) \in S \cap T_{x,W}. \]


(2.11) Definizione. In modo analogo definiamo la riflessione $r_{S,W}\from X \to X$, lungo $S$ parallela a $W\subset \overrightarrow {X}$ (con $\overrightarrow {S} \oplus W = \overrightarrow {X}$), mediante la formula

\[ r_{S,W}(x) = p_{S,W}(x) + \overrightarrow {xp_{S,W}(x)} \]


(2.12) Proposizione. Riflessioni e proiezioni sono mappe affini. Le riflessioni sono affinità con la proprietà che $r^2=r\circ r=1_ X$. Se $S$ è il sottospazio su cui si proietta (risp., lungo la quale si riflette), allora $S$ rimane fissata dalla proiezione (risp., dalla riflessione).

Dim. Cominciamo a mostrare che le proiezioni sono mappe affini: sia $f=p_{S,W}$, dove $S$ è un sottospazio affine di $X$ e $W$ un sottospazio vettoriale di $\overrightarrow {X}$ complemento di $\overrightarrow {S}$. È facile dedurre dalla definizione che se $x\in S$, allora $f(x) = x$. Vogliamo mostrare che per qualche $x\in X$ la mappa $L\from \overrightarrow {X} \to \overrightarrow {S}$ definita da $L(v) = f(x+v) - f(x)$ è lineare in $v$. Per definizione $\{ p_{S,W}(x+v) \} = S \cap T_{x+v,W}$ e $\{ p_{S,W}(x) \} = S \cap T_{x,W} $, dove $T_{x,W}$ e $T_{x+v,W}$ sono i sottospazi con giacitura $W$ passanti per $x$ e $x+v$ rispettivamente. Nulla ci vieta di considerare $x\in S$, per cui si ha $f(x) = x$. Dal momento che per ipotesi $\overrightarrow {X} = \overrightarrow {S} \oplus W$, ogni $v\in \overrightarrow {X}$ si scrive in modo unico come $v = s + w$ con $s\in \overrightarrow {S}$ e $w\in W$. Ora, se $w\in W$, allora per ogni $y\in X$ i sottospazi con giacitura $W$ passanti per $y$ e per $y+w$ coincidono

\[ y + W = y + w + W, \]

e quindi

\[ T_{x+v,W} = T_{x+s+w,W} = T_{x+s,W}, \]

da cui $f(x+v) = f(x+s)$. Ma dato che $x\in S$ e $s\in \overrightarrow {S}$, anche $x+s\in S$, per cui $f(x+s) = x+s$. Ma allora

\[ f(x+v) - f(x) = f(x+s) - f(x) = x+s - x = s, \]

cioè $L(v) = s$, ovvero $L\from \overrightarrow {X} = \overrightarrow {S} \oplus W \to \overrightarrow {S}$ è la proiezione (vettoriale) sul primo fattore, ed è lineare.

Passiamo a dimostrare che le riflessioni sono affini: se $r=r_{S,W}$ è una riflessione $X\to X$, allora si scrive mediante la formula vista poco sopra

\[ r(x) = p(x) + \overrightarrow {xp(x)} = p(x) + \left( p(x) - x \right) \]

dove $p$ è la corrispondente proiezione parallela. Scelto $x\in X$, la corrispondente funzione $L(v) =r(x+v) - r(x)$ è quindi uguale a

\[ \begin{aligned} L(v) & = p(x+v) + \left( p(x+v) - (x+v) \right) - \left( p(x) + \left( p(x) - x \right) \right) \\ & = p(x+v) - p(x) + \left( p(x+v) - p(x) - (x+v) + x \right) \\ & = 2( p(x+v) - p(x) ) - v, \\ \end{aligned} \]

che è lineare in $v$ dato che $p(x+v) - p(x)$ lo è (e quindi è somma di funzioni lineari in $v$).

QED

(2.13) Nota. Se $K=\RR $ oppure $K=\CC $ (con la topologia metrica), allora ogni spazio vettoriale $V \cong K^ n$ ha la topologia data dal prodotto. Quindi, se $X$ è uno spazio affine con spazio vettoriale associato $\overrightarrow {X} \cong K^ n$, è possibile, fissato $x_0\in X$, definire una topologia su $X$ tramite la biiezione $\overrightarrow {X} \to X$ definita da

\[ v \mapsto x_0 + v. \]

Si può mostrare che la topologia non dipende dalla scelta di $x_0$ e che tutte le traslazioni sono omeomorfismi. Quando non indicato altrimenti, uno spazio affine si intende munito della topologia di $K^ n$. In questo modo si può facilmente vedere che tutte le mappe affini sono continue, e che le affinità sono omeomorfismi. Tutti i sottospazi affini risultano chiusi (dato che sono controimmagini di $0$ mediante mappe affini, cioè funzioni continue).

(2.14) Esempio. In $\AA ^3(K)$ con coordinate $x,y,z$, sia $(\alpha ,\beta ,-1)$ un vettore direzione. La proiezione parallela a $(\alpha ,\beta ,-1)$ sul piano $z=0$ associa a $(x,y,z)$ l’intersezione tra la retta

\[ \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ -1 \end{bmatrix} \quad : \quad t\in K \right\} \]

e il piano $z=0$, cioè

\[ p\from \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x + \alpha z \\ y + \beta z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}. \]


(2.15) Esempio. Proiettiamo $\AA ^4(K)$ con coordinate $x,y,z,w$ sul piano di equazioni $w=0$, lungo la direzione $(a,b,c,-1)$. Facciamo seguire poi la proiezione di $\AA ^3(K)$ con coordinate $x,y,z$ ($w=0$) sul piano di equazione $z=0$ parallelamente a $(\alpha ,\beta ,-1)$. Per la prima, si ha

\[ \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ -1 \end{bmatrix} \quad : \quad t\in K \right\} \bigcap \left\{ w = 0 \right\} \]

cioè

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x +aw \\ y+bw \\ z+cw \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{bmatrix} \]

La composizione è quindi descritta dal prodotto di matrici

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha & a + \alpha c \\ 0 & 1 & \beta & b + \beta c \end{bmatrix} \]

Consideriamo invece la proiezione di $\AA ^4(K)$ sul suo piano di equazioni $z=w=0$, parallelo alla giacitura generata dai due vettori $(a,b,c,-1)$, $(\alpha ,\beta ,-1,0)$. La proiezione del punto $(x,y,z,w)$ è la soluzione in $X,Y,Z,W$ del sistema

\[ \left\{ \begin{aligned} X & = x + s a + t \alpha \\ Y & = y + s b + t \beta \\ Z & = z + s c - t \\ W & = w -s \\ W & = 0 \\ Z & = 0 \end{aligned} \right. \]

cioè

\[ \left\{ \begin{aligned} X & = x + s a + t \alpha \\ Y & = y + s b + t \beta \\ s & = w \\ t & = z + s c\\ \end{aligned} \right. \iff \left\{ \begin{aligned} X & = x + w a + (z+wc) \alpha \\ Y & = y + w b + (z+wc) \beta \\ s & = w \\ t & = z + w c\\ \end{aligned} \right. \]

che è

\[ \begin{aligned} X & = x + \alpha z + (a+\alpha c) w \\ Y & = y + \beta z + (b+\beta c) w . \end{aligned} \]

La sua matrice rappresentativa è stata vista poco fa, infatti …

Può essere un buon modo per proiettare gli spigoli di un cubo di dimensione 4?

Footnotes

  1. Cfr: Nacinovich, Cap V, §6 [2].
  2. Alcuni definiscono sottospazi paralleli i sottospazi per cui $\overrightarrow {S} = \overrightarrow {T}$, mentre se $\overrightarrow {S} \subset \overrightarrow {T}$ allora $S$ e $T$ sono paralleli in senso lato.
  3. Forse sarebbe meglio, seguendo la tradizione italiana, definire incidenti due rette che si incontrano in un solo punto, due piani dello spazio che si incontrano in una retta, una retta e un piano nello spazio che si incontrano in un punto, etc. etc. Nella tradizione anglosassone questi vengono chiamati concorrenti (invece che incidenti). C’è il problema dell’uniformità: due piani nello spazio $\AA ^3(\RR )$ che si incontrano in una retta sarebbero incidenti, ma lo sarebbero se immersi in $\AA ^4(\RR )$, per esempio aggiungendo una coordinata nulla?