2. Sottospazi affini

(Cfr.)1

(2.1) Definizione. Sia $X$ uno spazio affine e $\overrightarrow {X}$ lo spazio vettoriale su campo $K$ associato. Se $P\in X$ è un punto fissato di $X$ e $W\subset \overrightarrow {X}$ è un sottospazio vettoriale, allora il sottospazio

\[ S = \{ x \in X : x - P \in W \} \]

di tutti i punti $x$ per cui $x-P\in W$ si dice sottospazio affine passante per $P$ e parallelo a $W$. Il sottospazio $W$ si dice giacitura di $S$. La dimensione di $S$ è per definizione la dimensione di $W$.

(2.2) Nota. I sottospazi affini sono le orbite mediante l’azione del sottospazio $W$, che agisce mediante traslazioni sullo spazio affine. Osserviamo anche che, seguendo la definizione (2.1), le rette sono proprio i sottospazi affini di dimensione $1$. Inoltre non è difficile vedere che i punti sono i sottospazi affini di dimensione $0$. I sottospazi di dimensione $\dim (X)-1$ (codimensione $1$ in $X$) si dicono iperpiani. I sottospazi di dimensione $2$ si dicono piani. Se $n=3$, piani e iperpiani coincidono.

(2.3) Proposizione. Se $S\subset X$ è un sottospazio affine con giacitura $W\subset \overrightarrow {X}$, allora è uno spazio affine con spazio vettoriale associato $\overrightarrow {S} =W \subset \overrightarrow {X}$

Dim. Il gruppo additivo $\overrightarrow {X}$ agisce in modo fedele e transitivo su $X$ per definizione, e dunque $W\subset \overrightarrow {X}$ agisce in modo fedele e transitivo sulla sua orbita, che per definizione è $S$!
QED

(2.4) Proposizione. Siano $P_1, P_2\in X$ due punti di uno spazio affine $X$, $W_1,W_2\subset \overrightarrow {X}$ due sottospazi vettoriali e $S_1 = P_1 + W_1$, $S_2=P_2 + W_2$ i due sottospazi affini passanti per $P_ i$ con giacitura $W_ i$ ($i=1,2$). Allora $S_1=S_2$ se e solo se $W_1 = W_2$, $P_2\in S_1$ e $P_1\in S_2$. Cioè, un sottospazio affine è identificato da uno qualsiasi dei suoi punti e dalla giacitura.

Dim. Supponiamo che $S_1 = S_2$. Allora è ovvio che $P_1 \in S_2$ e $P_2\in S_1$. Vogliamo dimostrare che $W_1 = W_2$. Osserviamo che per definizione $W_1 = S_1 - P_1$ e $W_2 = S_2 - P_2$. Dato che $P_1 \in S_1 = S_2$, per definizione il vettore $P_1 - P_2 $ appartiene a $W_2$. Inoltre $P_2 = P_1 + (P_2 - P_1)$ da cui si trae che

\[ \begin{aligned} S_2 & = P_2 + W_2 \\ & = P_1 + (P_2 - P_1) + W_2 \\ & = P_1 + W_2\\ \end{aligned} \]

dato che $w+W_2 = W_2$ (come insiemi!) per ogni $w\in W_2$ (vedi esercizio 7.7), ed in particolare per $P_2 - P_1$. Ora, questo implica che $S_1 = S_2$ se e solo se

\[ P_1 + W_1 = P_1 + W_2 \]

ma questo accade se e solo se $W_1 = W_2$.

Viceversa, se $P_1 \in S_2$ e $P_2\in S_1$ e $W_1 = W_2$, allora come sopra si può scrivere $S_1 = P_1 + W_1$ e $S_2 = P_2 + W_2$, e quindi $S_1 = S_2$.

QED

(2.5) Per due punti distinti di uno spazio affine passa una unica retta. Per tre punti non allineati di uno spazio affine passa un unico piano.

Osserviamo che la proposizione (2.4) generalizza la proposizione (1.10): basta considerare i sottospazi $1$-dimen­sio­na­li generati da $v$ e $w$.

(2.6) Definizione. Consideriamo un insieme di $d+1$ punti $P_0$, $P_1$, ... $P_ d$ in uno spazio affine $X$. Il più piccolo sottospazio affine $S\subset X$ che contiene tutti i punti $P_0$, ... , $P_ d$ si dice sottospazio affine generato dai $d+1$ punti $P_0$, ... , $P_ d$.

(2.7) Nota. Dobbiamo dimostrare che la definizione (2.6) è ben posta, dal momento che potrebbe non esistere un sottospazio con la proprietà cercata. Vediamo come.

(2.8) Proposizione. Il sottospazio affine di $X$ generato da $d+1$ punti $P_0$, ... , $P_ d\in X$ è il sottospazio passante per $P_0$ e con giacitura \[ \langle \overrightarrow {P_0P_1}, \overrightarrow {P_0P_2}, ... \overrightarrow {P_0P_ d} \rangle \subset \overrightarrow {X}, \] e non dipende dall’ordine con cui i punti $P_0$, ... , $P_ d$ sono stati scelti.

Dim. Sia $S$ il sottospazio affine di $X$ passante per $P_0$ e con giacitura

\[ W = \langle \overrightarrow {P_0P_1}, \overrightarrow {P_0P_2}, ... \overrightarrow {P_0P_ d} \rangle \subset \overrightarrow {X}. \]

Si ha ovviamente $P_0 \in S$ e, inoltre, per ogni $i$ $P_ i \in S$ dato che per ogni $i=1, ... d$ si ha $P_ i = P_0 + (P_ i - P_0) \in P_0 + W = S$ (per definizione $P_ i - P_0 \in W$). Quindi $S$ contiene tutti i punti $P_0$, ... , $P_ d$.

Supponiamo che $S’$ sia un altro sottospazio affine contenente i punti $P_0$, ... , $P_ d$. In particolare, $P_0\in S’$, per cui esiste $W’\subset \overrightarrow {X}$ tale che

\[ S’ = P_0 + W’. \]

Dal momento che per ogni $i=1$, ... , $d$ $P_ i\in S’$, e quindi $P_ i - P_0 \in W’$,

\[ W = \langle \overrightarrow {P_0P_1}, \overrightarrow {P_0P_2}, ... \overrightarrow {P_0P_ d} \rangle \subset W’. \]

Cioè $S$ è contenuto in ogni sottospazio affine contenente i $d+1$ punti. Sia ora $S’$ il sottospazio affine costruito a partire da una permutazione dei $d+1$ punti esattamente come $S$. Allora l’argomento di sopra si applica sia a $S$ che a $S’$, per cui $S\subset S’$ e $S’\subset S$, cioè $S=S’$.

QED

(2.9) Nota. Consideriamo $d+1$ punti $P_0$, $P_1$, ... , $P_ d$ nello spazio affine $X$. A priori non ha senso scrivere la somma

\[ \sum _{i=0}^ d \lambda _ i P_ i = ? \]

per dei coefficienti $\lambda _ i \in K$, dal momento che non abbiamo definito prodotto di uno scalare $\lambda _ i$ per un punto $P_ i$ (potremmo farlo solo moltiplicando vettori con scalari, non punti con scalari). Però, come nel caso di $\RR ^ n$, si potrebbe prendere un punto qualsiasi $O\in X$ (l’origine) e definire tale somma come

\[ \sum _{i=0}^ d \lambda _ i P_ i = O + \sum _{i=0}^ d \lambda _ i \overrightarrow {OP_ i} . \]

Questa definizione però dipende dalla scelta fatta per $O$. È interessare notare, però, che nel caso $\sum _{i=0}^ d \lambda _ i = 1$ la somma non dipende dalla scelta di $O$: se $Q$ è un altro punto,

\[ \begin{aligned} \sum _{i=0}^ d \lambda _ i (\overrightarrow {OP_ i}) + O & = \sum _{i=0}^ d \lambda _ i (\overrightarrow {QP_ i}) + Q \\ \iff & \sum _{i=0}^ d \lambda _ i (P_ i - O - (P_ i - Q)) + O-Q & = 0 \\ \iff & \sum _{i=0}^ d \lambda _ i (Q-O) + O-Q & = 0 \\ \iff & 0 = 0. \end{aligned} \]

Possiamo in questo modo definire anche il baricentro di $d+1$ punti, interpretando $\lambda _ i$ come masse (più propriamente, densità di massa). Se le masse sono uguali, il baricentro affine (geometrico) ha $\lambda _ i = 1/(n+1)$.

(2.10) Definizione. In uno spazio affine di dimensione $n$, si dice che $d+1$ punti sono indipendenti se la dimensione del sottospazio affine generato è $d$, altrimenti si dicono dipendenti. È chiaro che se sono indipendenti, allora $d\leq n$. Due punti sono dipendenti se e solo se coincidono. Tre punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad una stessa retta (e si dicono allineati. Analogamente, quattro punti sono indipendenti se non sono contenuti in un piano, per cui quattro punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad uno stesso piano.

(2.11) $d+1$ punti $x_0,x_1, ... , x_ d$ sono dipendenti se e soltanto se esistono $\lambda _1$, ... , $\lambda _ d$ non tutti nulli tali che $\sum _{i=0}^ d \lambda _ i \overrightarrow {x_0x_ i} = 0 $.

Dim. Segue dalla definizione.
QED

(2.12) Nota. Due punti distinti nel piano sono sempre allineati. È vero che tre punti nello spazio sono allineati (dipendenti) se e soltanto se il determinante della matrice $3\times 3$ delle loro coordinate è nullo? Quale direzione della doppia implicazione è vera e quale no?

(2.13) Definizione. Sia $X$ uno spazio affine su campo $K$ di dimensione $n\geq 1$. Un riferimento affine in $X$ è (equivalentemente):

  1. Una scelta di $n+1$ punti di $X$ indipendenti (dal punto di vista affine).

  2. Una scelta di un punto $x_0$ di $X$ e di $n$ vettori indipendenti di $\overrightarrow {X}$ (cioè, di una base per $\overrightarrow {X}$, visto che $\dim (\overrightarrow {X}) = \dim (X) = n$).


(2.14) [Equazioni parametriche] Sia $S\subset X$ un sottospazio affine. Allora se si sceglie un riferimento affine $P_0,P_1, ... , P_ d \in S$ si può scrivere $S$ mediante le equazioni parametriche come \[ S = \{ P_0 + \sum _{i=1}^ d t_ i\overrightarrow {P_0P_1} : t_ i \in \KK \} , \] o anche come \[ P = P_0 + \sum _{i=1}^ d t_ i\overrightarrow {P_0P_1} \]

(2.15) Nota. Ritroviamo qui le equazioni parametriche di rette ($P = P_0 + t\vv $) e piani ($P= P_0 + s\vv + t\vw $).

(2.16) Nota. Come abbiamo visto nella nota (2.9), dati $d+1$ punti $P_0,\ldots P_ n$ in uno spazio affine $X$ di dimensione $n$ si possono considerare i punti $P$ che si scrivono come

\[ P = \sum _{i=0}^ d \lambda _ i P_ i,\quad \sum _{i=0}^ d \lambda _ i = 1 \]

con $\lambda _ i\in K$. Questi sono tutti e soli i punti del sottospazio affine generato dai $P_ i$, e i coefficienti $\lambda _ i\in K$ sono unici, nel senso che se

\[ P = \sum _{i=0}^ d \lambda _ i P_ i,\quad \sum _{i=0}^ d \lambda _ i = 1,\qquad = \sum _{i=0}^ d \lambda ’_ i P_ i,\quad \sum _{i=0}^ d \lambda ’_ i = 1 \]

allora $\lambda _ i=\lambda ’_ i$ per ogni $i$. I $(d+1)$ elementi $\lambda _ i\in K$ si chiamano le coordinate baricentriche del punto $P$. Quando $K=\RR $, gli insiemi dei punti con coordinate baricentriche positive o nulle vengono chiamati

Segmenti : per $d=1$ (con estremi $P_0$ e $P_1$);

Triangoli : per $d=2$ (con vertici $P_0$, $P_1$ e $P_2$, e lati dati dai segmenti ottenuti ponendo $\lambda _ i=0$, per $i=0,1,2$).

In altre parole, il segmento che ha per estremi $A,B\in \AA ^ n(\RR )$ si scrive come

\[ \begin{aligned} AB & = \{ \lambda _0 A + \lambda _1 B : \lambda _0\geq 0, \lambda _1\geq 0, \lambda _0+\lambda _1 = 1 \} \\ & = \{ A + \lambda _1\overrightarrow {AB} : 0\leq \lambda _1 \leq 1 \} . \end{aligned} \]

I punti del triangolo che ha per vertici $A,B,C\in \AA ^ n(\RR )$ sono gli elementi dell’insieme

\[ \begin{aligned} ABC & = \left\{ \begin{aligned} \lambda _0 A + \lambda _1 B + \lambda _2 C : \lambda _0& \geq 0, \\ \lambda _1 & \geq 0, \\ \lambda _2 & \geq 0, \\ \lambda _0+\lambda _1+\lambda _2 & = 1 \end{aligned}\right\} \\ & = \{ A + \lambda _1\overrightarrow {AB} + \lambda _2 \overrightarrow {AC} : \lambda _1\geq 0, \lambda _2\geq 0, \lambda _1 +\lambda _2 \leq 1 \} . \end{aligned} \]

I lati del triangolo $ABC$ sono \[ \begin{aligned} AB & = \left\{ \begin{aligned} \lambda _0 A + \lambda _1 B + \lambda _2 C : \lambda _0& \geq 0, \\ \lambda _1 & \geq 0, \\ \lambda _2 & \geq 0, \\ \lambda _0+\lambda _1+\lambda _2 & = 1,\\ \lambda _2& =0 \end{aligned} \right\} \\ & = \{ \lambda _0 A + \lambda _1 B : \lambda _0\geq 0, \lambda _1 \geq 0, \lambda _0+\lambda _1 = 1 \} \\ BC & = \left\{ \begin{aligned} \lambda _0 A + \lambda _1 B + \lambda _2 C : \lambda _0 & \geq 0, \\ \lambda _1 & \geq 0, \\ \lambda _2 & \geq 0, \\ \lambda _0+\lambda _1+\lambda _2 & = 1, \\ \lambda _0 & =0 \end{aligned}\right\} \\ & = \{ \lambda _1 B + \lambda _2 C : \lambda _1\geq 0, \lambda _2 \geq 0, \lambda _1+\lambda _2 = 1 \} \\ CA & = \left\{ \begin{aligned} \lambda _0 A + \lambda _1 B + \lambda _2 C : \lambda _0 & \geq 0, \\ \lambda _1 & \geq 0, \\ \lambda _2 & \geq 0,\\ \lambda _0+\lambda _1+\lambda _2 & = 1, \\ \lambda _1& =0 \end{aligned}\right\} \\ & = \{ \lambda _0 A + \lambda _2 C : \lambda _0\geq 0, \lambda _2 \geq 0, \lambda _0+\lambda _2 = 1 \} . \end{aligned} \]

Footnotes

  1. Cfr: Nacinovich, Cap I, §2 [2].