1. Spazi affini

(Cfr.)1

Sappiamo come è definita l’azione di un gruppo $G$ su un insieme e l’azione di un gruppo topologico su uno spazio topologico. Ricordiamo anche che cosa è uno spazio vettoriale su un campo $K$ (per esempio, $K=\RR $, $K=\CC $).

(1.1) Definizione. Uno spazio vettoriale $V$ è un gruppo abeliano (additivo) su cui il campo degli scalari $K$ “agisce”; l’azione di un campo $K$ su un gruppo abeliano è data in termini di una legge di composizione (“prodotto per uno scalare”)

\[ (k,\vv ) \in K\times V \mapsto k\vv \in V \]

con le proprietà seguenti.

  1. Per ogni $k\in K$ la funzione indotta $\vv \in V \mapsto k\vv \in V$ è un omomorfismo del gruppo additivo $V$ (cioè è additiva, manda lo zero nello zero, ... )

  2. Per ogni $k_1,k_2\in K$, $\vv \in V$:

    1. $(k_1 + k_2) \vv = k_1 \vv + k_2 \vv $,

    2. $(k_1 k_2) \vv = k_1 ( k_2 \vv )$

  3. $1v = v$.


(1.2) Esempio. Sia $\RR ^ n$ il prodotto diretto di $n$ copie di $\RR $. Ha per elementi le $n$-uple di numeri reali, ed è un gruppo additivo rispetto alla somma componente per componente. Il prodotto di uno scalare per una $n$-upla è il modello di prodotto di scalare per vettore più in generale. Infatti, in molti contesti non si distingue il concetto di vettore (riga o colonna) dal concetto di $n$-upla.

L’idea di spazio affine è l’applicazione della omogeneità degli spazi vettoriali (vedi definizione (2.8)) rispetto al gruppo delle traslazioni: a meno di traslazioni, gli intorni dei punti $\RR ^ n$ sono gli stessi.2 Si può dire che uno spazio affine è uno spazio che localmente è come uno spazio vettoriale, e dati due punti c’è ben definita una unica trasformazione (traslazione) che manda un punto nell’altro (trasporto parallelo). Vedremo poi come da questa idea si deducono i concetti di parallelismo e incidenza.

(1.3) Definizione. Uno spazio affine $X$ su un campo $K$ è un insieme $X$ (insieme di punti) su cui agisce in modo fedele e transitivo uno spazio vettoriale $\overrightarrow {X}$ su $K$ (considerato solo come gruppo additivo – cioè come il gruppo delle traslazioni). Gli elementi di $X$ si chiamano punti, gli elementi di $\overrightarrow {X}$ si dicono vettori affini o traslazioni, e il campo $K$ viene detto campo dei coefficienti.

(1.4) Sia $X$ uno spazio affine e $\overrightarrow {X}$ lo spazio vettoriale (su campo $K$) associato. Allora esiste (unica) una funzione $X\times X \to \overrightarrow {X}$, indicata da $(A,B) \mapsto \overrightarrow {AB} $ (indicato anche come $\overrightarrow {AB}=B-A$), con le seguenti proprità:

  1. $\forall A\in X$, $\forall \vv \in \overrightarrow {X}$, $\exists \mbox{\ unico } B\in X: \overrightarrow {AB} =\vv $.

  2. $\forall A,B,C \in X$, $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.


Dim. L’azione di $\overrightarrow {X}$ su $X$ è per definizione transitiva: dunque per ogni scelta di $A$ e $B$ in $X$ esiste $\vv \in \overrightarrow {X}$ tale che $\vv + A = B$. Ora, se $\vv ,\vw \in \overrightarrow {X}$ sono due vettori di $\overrightarrow {X}$ tali che $\vv +A = B$ e $\vw +A = B$, allora si ha $\vv +A = \vw + A$, cioè il vettore $\vv -\vw $ fissa il punto $A$ ($(\vv -\vw ) + A = A$). Ma se $\vv -\vw $ fissa il punto $A$ allora, dal momento che (essendo l’azione transitiva) ogni punto $P$ di $X$ si può scrivere come $P=\vz +A$ per qualche $\vz \in \overrightarrow {X}$, per ogni $P\in X$ si ha

\[ \begin{aligned} (\vv -\vw ) + P & = (\vv -\vw ) + (\vz + A) \\ & = (\vv -\vw + \vz ) + A \\ & = (\vz + (\vv -\vw )) +A \\ & = \vz + ( \vv -\vw + A ) \\ & = \vz + A \\ & = P \\ \end{aligned} \]

e dunque $\vv -\vw $ fissa ogni punto $P$ di $X$. Ma l’azione è fedele, e quindi deve essere $\vv =\vw $ (cioè per ogni $A$, $B$ in $X$ esiste unico $\vv \in \overrightarrow {X}$ per cui $B = \vv + A$). Si può dunque indicare con $\overrightarrow {AB} = \vv $.

Ora mostriamo che $\forall A,B,C \in X$, $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$. Infatti, per definizione risulta

\[ \begin{aligned} \overrightarrow {AB} +A & = B \\ \overrightarrow {BC} +B & = C \end{aligned} \]

e quindi

\[ C = \overrightarrow {BC} + B = (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} )+ A \]

che per definizione (e commutatività) si legge come

\[ \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}. \]
QED

(1.5) Supponiamo di avere un insieme non vuoto $X$ e uno spazio vettoriale $\overrightarrow {X}$, insieme con una funzione $X\times X \to \overrightarrow {X}$, indicata da $(A,B) \mapsto \overrightarrow {AB} $ che soddisfa i due assiomi:

  1. $\forall A\in X$, $\forall \vv \in \overrightarrow {X}$, $\exists \mbox{\ unico } B\in X: \overrightarrow {AB} = \vv $.

  2. $\forall A,B,C \in X$, $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ (assioma di Chasles3)

Allora $X$ è spazio affine rispetto all’azione \[ (\vv ,A) \in \overrightarrow {X} \times X \mapsto A + \vv , \] dove si definisce $A+\vv $ l’unico punto $B\in X$ tale che $\overrightarrow {AB} = \vv $ (primo assioma).
Dim. Vedi esercizio 7.1.
QED

(1.6) Esempio. $\overrightarrow {X} = X = \RR ^ n$. Allora lo spazio affine si indica con $\AA ^ n(\RR )$. Analogamente, per $K=\CC $, lo spazio affine $n$-dimensionale si indica con $\AA ^ n(\CC )$.

(1.7) Definizione. Una retta nello spazio affine $X$ è un sottoinsieme di $X$ che si può scrivere come

\[ r = \{ x_0 + t\vv : t\in K \} \]

per un certo $x_0 \in X$ e $\vv \in \overrightarrow {X}\smallsetminus \{ 0\} $.4 Si dice che la retta passa per un punto se il punto appartiene alla retta. Lo spazio vettoriale $\langle \vv \rangle \subset \overrightarrow {X}$ di dimensione uno generato da $\vv $ è la giacitura della retta.

(1.8) Definizione. Tre punti $A,B,C$ di uno spazio affine $X$ sono allineati se stanno su una stessa retta.

(1.9) Tre punti distinti $A,B,C$ di uno spazio affine $X$ sono allineati se e soltanto se i vettori $\overrightarrow {AB}$ e $\overrightarrow {AC}$ sono linearmente dipendenti (equivalentemente, se $\overrightarrow {BC}$ e $\overrightarrow {BA}$ sono linearmente dipendenti, oppure se $\overrightarrow {CA}$ e $\overrightarrow {CB}$ sono linearmente dipendenti).

Dim. Esercizio 7.2.
QED

(1.10) Due rette $r= \{ A + t\vv : t\in K \} $ e $s = \{ B + t\vw : t\in K \} $ coincidono se e solo se i vettori $\vv $ e $\vw $ sono linearmente dipendenti (cioè se le giaciture coincidono) e $A\in s \wedge B\in r$.

Dim. Supponiamo che $r=s$. Allora è ovvio che $A\in s \wedge B\in r$. Ora, dato che $A\in s$, esiste $t_ A\in K$ tale che $A= B + t_ A\vw $; analogamente, esiste $t_ B \in K $ tale che $B= A + t_ B\vv $. Segue che

\[ B-A = -t_ A\vw = t_ B \vv , \]

cioè $t_ A \vw + t_ B \vv = 0$. Se $t_ A\neq 0$ oppure $t_ B \neq 0$, allora abbiamo dimostrato che $\vv $ e $\vw $ sono linearmente dipendenti. Altrimenti, $t_ A=0=t_ B$ cioè $A=B$. Ma allora, dato che $A + \vv \in r=s$ , esiste $t’\in K$ tale che $A+\vv = A + t’\vw $, e quindi $\vv -t’\vw = 0$ (ancora, $\vv $ e $\vw $ sono linearmente dipendenti).

Viceversa, supponiamo che $A\in s$ e $B\in r$ e che $\vv $ e $\vw $ siano linearmente dipendenti. Segue che $A=B+t_ A\vw $ per un certo $t_ A\in K$ e che esiste $t’\in K$, $t’\neq 0$, tale che $\vv =t’\vw $; quindi

\[ \begin{aligned} r & = \{ A + t\vv : t\in K \} \\ & = \{ B + t_ A\vw + t\vv : t\in K \} \\ & = \{ B + t_ A\vw + tt’\vw : t\in K \} \\ & = \{ B + (t_ A + tt’)\vw : t\in K \} \\ & = \{ B + t\vw : t \in K \} \\ & = s \\ \end{aligned} \]
QED

(1.11) Corollario. Per due punti distinti $A\neq B$ di uno spazio affine $X$ passa una e una sola retta.

Dim. Sia $\KK $ il campo dei coefficienti. Dato che $A\neq B$, il vettore $\overrightarrow {AB} = B-A$ non è nullo, e quindi è ben definita la retta \[ r = \{ A + t \overrightarrow {AB} : t \in \KK \} \subset X\, . \] Dato che $A\in r$ (per $t=0\in \KK $) e $B\in r$ (per $t=1\in \KK $), la retta $r$ passa per due punti. Se ce ne fosse un’altra \[ s = \{ x_0 + t \vv \} \subset X, \] dovrebbero esistere $t_ A, t_ B\in \KK $ tali che \[ A = x_0 + t_ A \vv , \quad B = x_0 + t_ B \vv , \] e quindi \[ \overrightarrow {AB} = B-A = (t_ B-t_ A)\vv , \] cioè $\vv $ e $\overrightarrow {AB}$ sarebbero linearmente dipendenti. Inoltre, sostituendo si otterrebbe \[ x_0 = A - t_ A \vv = A - \dfrac {t_ A}{t_ B-t_ A} \overrightarrow {AB}, \] dunque $x_0 \in r$. Dalla (1.10) segue quindi che $r=s$.
QED

Vedremo più avanti come generalizzare (1.11) a insiemi di più di due punti. Un altro importante teorema di geometria affine è il seguente.

(1.12) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se $A\in \AA ^2(K)$ è un punto e $r$ una retta che non passa per $A$, allora esiste unica la retta per $A$ che non interseca $r$ (che chiamiamo la parallela a $r$ passante per $A$). Tale retta ha la stessa giacitura di $r$.5

Dim. Per definizione esistono un punto $x_0$ e un vettore $v\neq 0 $ per cui

\[ r = \{ x_0 + t\vv : t\in K \} , \]

e non esiste $t\in K$ per cui $x_0 + t\vv = A$ (dato che $r$ non passa per $A$). La retta

\[ r’ = \{ A + t\vv : t\in K \} \]

passa certamente per $A$. Supponiamo che $r\cap r’ \neq \emptyset $. Allora esistono $t_1,t_2\in K$ tali che

\[ A + t_1 \vv = x_0 + t_2 \vv \in r\cap r’, \]

e quindi

\[ A = x_0 + (t_2 - t_1)\vv \implies A \in r \]

che è assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca $r$.

Supponiamo di avere due rette $s$ e $s’$ tali che $s\cap r=\emptyset $ e $s’\cap r = \emptyset $ e passanti per $A$. Allora si possono scrivere con le equazioni $s=\{ A+t\vw \} $ e $s’ = \{ A + t\vw ’ \} $. Per la proposizione (1.10) le due rette coincidono se e solo se $\vw $ e $\vw ’$ sono linearmente dipendenti. Analogamente a quanto visto sopra, $s \cap r = \emptyset $ se e solo se non esistono $t_1$ e $t_2 \in K$ tali che $A + t_1 \vw = x_0 + t_2 \vv $, cioè se e solo se l’equazione vettoriale (nelle incognite $t_1$ e $t_2$)

\[ t_1 \vw - t_2 \vv = x_0 - A \]

non ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore $x_0 - A$ non appartiene al sottospazio di $K^2$ generato da $\vw $ e $\vv $. Ora, se $\vv $ e $\vw $ sono linearmente indipendenti allora tale sottospazio coincide con $K^2$, per cui la soluzione c’è. Affinché la soluzione non esista è necessario che $\vv $ e $\vw $ siano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che $\vw $ è necessariamente multiplo di $\vv $. Dato che lo stesso vale per $\vw ’$, risulta che $\vw $ e $\vw ’$ sono linearmente dipendenti e quindi $s=s’$.

QED

(1.13) Nota. Osserviamo che valgono le seguenti proprietà: Se $X$ è un piano affine, allora

  1. Per ogni due punti distinti passa una unica retta (1.11).

  2. Per ogni retta $r$ e punto $A\not\in r$, esiste una unica retta per $A$ che non interseca $r$ (detta parallela).

  3. Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate.


(Osserviamo che le prime due proprietà (ma non la terza) valgono anche per una retta affine.)

(1.14) Esempio. Sia $\FF $ un campo finito di ordine $p^ k$ (prossimo anno, algebra?). Primo $p$. Allora, $\AA ^2( \FF )$ è un piano affine sul campo $\FF $. Per $p=2$, $k=1$, $\FF _2$, $\AA ^2(\FF _2 )$ quanti punti ha? Quante rette? Che legame ha con un tetraedro? Per $p=3$, $k=1$, con $\FF _3= {\ZZ }_3$ (si veda l’esercizio 7.22)? In generale, se $\FF $ è un campo finito di ordine $n$, allora $\AA ^2(\FF )$ ha $n^2$ punti, una retta affine ha $n$ punti, e per un punto passano $n+1$ rette (perché? considerare il fascio di rette per un punto e le intersezioni delle rette del fascio con una retta che non passa per il centro del fascio). Per ognuna delle $n^2(n^2-1)$ coppie (ordinate) di punti distinti di $\AA ^2(\FF )$ c’è una sola retta, e in una retta ci sono $n(n-1)$ coppie (ordinate) di punti distinti. Quindi in totale le rette sono

\[ \dfrac {n^2(n^2-1)}{n(n-1)} = n^2 + n. \]


(1.15) Nota. Segue che esiste una relazione di equivalenza tra rette (relazione di parallelismo: $r \parallel s \iff r=s \vee r\cap s = \emptyset $). In particolare, un piano affine ha una struttura di incidenza, nel senso che si ha un insieme $P$ di punti, un insieme $R$ di rette, e una relazione di appartenenza $\in \from P\times R \to \{ 0,1\} $.

È possibile definire il rapporto (ratio) $\overrightarrow {AC} : \overrightarrow {AB}$ di tre punti allineati in uno spazio affine $A$, $B$, $C$ come quell’unico $\rho $ tale che

\[ \overrightarrow {AC} = \rho \overrightarrow {AB}. \]

(1.16) Il rapporto di tre punti allineati in uno spazio affine su campo $\KK $ esiste ed è unico in $\KK $.

Dim. Esercizio 7.14.
QED

(1.17) Nota. Dati tre punti $A$, $B$, $C$ di uno spazio affine, il rapporto $\rho $ sopra definito si indica come

\[ \rho = \overrightarrow {AC} : \overrightarrow {AB} = \dfrac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AB}} = \dfrac {AC}{AB}, \]

e con un abuso di notazione si pone

\[ \dfrac {AC}{BA} = \dfrac {CA}{AB} = - \dfrac {CA}{BA} = - \dfrac {AC}{AB} \]


(1.18) Teorema.[Talete ($\sim $624–546)] Siano $l_ i$, $i=1,2,3$ tre rette parallele distinte di un piano affine $X$, e $r_1$, $r_2$ altre due rette non parallele a $l_ i$, con intersezioni $P_{i,j} = r_ i \cap l_ j$. Allora \[ \overrightarrow {P_{1,1}P_{1,3}} : \overrightarrow {P_{1,1}P_{1,2}} = \overrightarrow {P_{2,1}P_{2,3}} : \overrightarrow {P_{2,1}P_{2,2}}. \] Viceversa, se $B$ è un punto di $r_1$ tale che \[ \overrightarrow {P_{1,1}B} : \overrightarrow {P_{1,1}P_{1,2}} = \overrightarrow {P_{2,1}P_{2,3}} : \overrightarrow {P_{2,1}P_{2,2}}, \] allora $B=P_{1,3}$.

Dim. Per semplicità chiamiamo $A_ i = P_{1,i}$ e $B_ i=P_{2,i}$ per $i=1,2,3$, e $a= \overrightarrow {A_1A_3} : \overrightarrow {A_1A_2}$, $b= \overrightarrow {B_1B_3} : \overrightarrow {B_1B_2}$. Per prima cosa dobbiamo mostrare che $a=b$. I tre vettori $B_ i - A_ i$, per $i=1,2,3$, sono tutti multipli di un vettore non nullo $\vv $ (dato che le tre rette $l_ i$ sono parallele), cioè \[ \begin{aligned} B_ i = A_ i + \beta _ i \vv \end{aligned} \] per certi $\beta _ i \in K$, $i=1,2,3$. Le rette $r_ i$ d’altra parte non sono parallele a $\vv $. Per definizione si ha \begin{multline*} \left\{ \begin{aligned} A_3 & = A_1 + a (A_2-A_1)\\ B_3 & = B_1 + b (B_2-B_1) \end{aligned} \right. \\ \implies B_3 - A_3 = (B_1-A_1) + b(B_2-B_1) - a(A_2-A_1). \\ \implies a(A_2-A_1) - b(B_2-B_1) \in \langle \vv \rangle . \end{multline*} Ma \[ \begin{aligned} B_2 - B_1 & = (A_2 + \beta _2 \vv ) - (A_1 + \beta _1\vv ) \\ & = A_2 - A_1 + (\beta _2 - \beta _1) \vv \end{aligned} \] e quindi \[ \langle \vv \rangle \ni a(A_2-A_1) - b [ A_2-A_1 + (\beta _2-\beta _1) \vv ] \] \[ \implies a(A_2-A_1) - b(A_2-A_1) \in \langle \vv \rangle , \] cioè $(a-b) (A_2-A_1) \in \langle \vv \rangle $. Ma $r_1$ non è parallela a $\vv $, quindi deve necessariamente essere $a-b = 0$, cioè la tesi. Viceversa: poniamo $B_3=B$ (senza supporre $B_3 \in l_3$), e siano $a,b,\vv $, con $a=b$, e $\beta _1$, $\beta _2$ come sopra. Non è difficile mostrare che \[ B_3 \in l_3 \iff B_3 - A_3 \in \langle \vv \rangle . \] Se ripercorriamo le uguaglianze al contrario possiamo dedurre che \[ \begin{aligned} B_3 - A_3 & = (B_1-A_1) + b(B_2-B_1) - b(A_2-A_1). \\ & = B_1 - A_1 + b (B_2 - A_2) - b (B_1 - A_1) \\ & = A_1 + \beta _1 \vv - A_1 + b (\beta _2 - \beta _1) \vv \in \langle \vv \rangle \end{aligned} \] Per esercizio provare a completare i dettagli della dimostrazione (o a trovarne un’altra): esercizio 7.15 a pagina *.
QED


Footnotes

  1. Cfr: Nacinovich, Cap V, §1 [2].
  2. La parola affine fu usata per la prima volta da Eulero, ma la geometria affine fu riconosciuta come disciplina soltanto dopo l’avvio del programma di Erlangen di Felix Klein (1849–1925) – cioè il famoso discorso tenuto nel 1872 da Klein nell’Università di Erlangen, in cui Klein propone una unificazione delle geometrie note al tempo (euclidea piana e dello spazio, non-euclidea, proiettiva, affine, ... ) con una interpretazione in termini di gruppi di simmetria – o meglio gruppi di trasformazioni: gli spazi tradizionali sono “spazi omogenei” rispetto ad una opportuna scelta del gruppo di trasformazioni (le similitudini e le rototraslazioni per la geometria euclidea, le trasformazioni lineari per la geometria affine, ... ) e le proprietà che si studiano sono quelle invarianti rispetto all’azione di tale gruppo (angoli, lunghezze, ... ). Questo approccio ha avuto una significativa influenza sul modo in cui la geometria è stata insegnata e divulgata nei successivi ($\geq 50$) anni.
  3. Michel Chasles, matematico francese (1793–1880).
  4. In altre parole, una retta è l’orbita del punto $x_0\in X$ mediante l’azione di un sottogruppo $1$-dimensionale ($\cong K$) dello spazio di traslazioni $\overrightarrow {X}$
  5. Due rette sono quindi parallele se e solo se hanno la stessa giacitura?