1.1. Spazi connessi per archi

(Cfr.)1

Un arco (oppure un cammino) in uno spazio $X$ è una mappa (funzione continua) $\gamma \from [0,1] \to X$. Si dice che l’arco parte da $\gamma (0)$ e arriva a $\gamma (1)$.

(1.32) Definizione. Si dice che uno spazio $X$ è connesso per archi se per ogni coppia di punti $x_0,x_1\in X$ esiste un arco $\gamma $ tale che $\gamma (0)=x_0$ e $\gamma (1)=x_1$.

(1.33) Se $f\from X \to Y$ è una funzione continua suriettiva e $X$ è connesso per archi, allora $Y$ è connesso per archi.

Dim. Siano $y_0$, $y_1$ due punti di $Y$. La funzione è suriettiva, e dunque esistono $x_0$ e $x_1$ in $X$ tali che $f(x_0)=y_0$ e $f(x_1)=y_1$. Dato che $X$ è connesso, esiste un cammino $\gamma \from [0,1] \to X$ tale che $\gamma (0)=x_0$ e $\gamma (1) = x_1$. Ma la composizione di funzioni continue è continua, e quindi il cammino ottenuto componendo $\gamma $ con $f$: $f\circ \gamma \from [0,1] \to X \to Y$ è un cammino continuo che parte da $y_0$ e arriva a $y_1$.
QED

(1.34) Corollario. Se due spazi $X$ e $Y$ sono omeomorfi, allora $X$ è connesso per archi se e solo se $Y$ è connesso per archi.

Dim. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (1.18).
QED

(1.35) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso.

Dim. Sia $X$ uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, e dunque che esista $A\subset X$, $A\neq \emptyset $, $A\neq X$ sia aperto che chiuso. Dato che $A\neq \emptyset $, possiamo scegliere un punto $x_0\in A$. Dato che $A\neq X$, possiamo scegliere un punto $x_1\not\in A$. Dato che $X$ è connesso, esiste un cammino $\gamma \from [0,1] \to X$ che parte da $x_0$ e arriva a $x_1$. La controimmagine $\gamma ^{-1}(A)$ è un sottoinsieme chiuso di $[0,1]$ (dato che $\gamma $ è continua e $A$ è chiuso) ed al tempo stesso un sottoinsieme aperto (dato che $\gamma $ è continua e $A$ aperto). Ma $[0,1]$ è connesso, quindi $\gamma ^{-1}A$ può solo essere $\emptyset $ oppure tutto $[0,1]$. Ma $x_0\in A$, e quindi $\gamma ^{-1}A \neq \emptyset $, e $x_1\not\in A$, e quindi $\gamma ^{-1}A \neq [0,1]$, e questo ci porta ad una contraddizione.
QED

(1.36) Teorema. Se $X$ è un sottoinsieme aperto e connesso di $\RR ^ n$, allora $X$ è connesso per archi.

Dim. Vedi esercizio 5.20
QED

(1.37) Proposizione. I sottoinsiemi connessi di $\RR $ sono connessi per archi.

(1.38) Proposizione. Non è vero in generale che se $X$ è connesso allora è connesso per archi.

La dimostrazione (opzionale) è data dal seguente esempio.

img #1
Figura 5.1: La pulce e il pettine dell’esempio (1.39).

(1.39) Esempio. [La pulce e il pettine] Sia $A\subset \RR ^2$ il seguente insieme (con la topologia euclidea di $\RR ^2$):

\[ A = \{ (\frac{1}{n}, y ) : 0\leq y\leq 1, n\geq 1 \text {\ intero} \} \cup \{ (x,0) : 0 < x \leq 1 \} . \]

Applicando (1.22) si vede che $A$ è connesso. È anche connesso per archi: per esempio c’è un cammino che collega tutti i punti di $A$ con $(1,0)\in A$.

Se $P$ denota il punto di coordinate $(0,\frac{1}{2}$), allora anche lo spazio $X=\{ P\} \cup A$ è connesso: infatti $P$ è di accumulazione per $A$ in $\RR ^2$, e quindi la chiusura di $A$ in $X$ coincide con $X$. Ma per (1.30) la chiusura di $A$ in $X$ è connesso, visto che lo è $A$, e quindi $X$ è connesso perché coincide con la chiusura di $A$ in $X$.

Non è connesso per archi: sia $\gamma \from I \to X$ una funzione continua tale che $\gamma (0) = P$ e $\gamma (1) \neq P$. Le componenti di $\gamma $ sono due funzioni continue $(x(t), y(t))$. Sia $m= \sup \{ t\in I : x(t) = 0 \} $ (l’estremo superiore esiste dato che $x(0) = 0 $). Per continuità, si ha $x(m) = 0$ e $y(m) = \frac{1}{2}$ (cioè $\gamma (m) = P$). Visto che $\gamma (1) \neq P$ e $P$ è il solo punto con ascissa nulla, si ha $x(1) > 0 $ e quindi $m < 1$. Si prenda $m’$ tale che $m < m’\leq 1$. Se $m’-m$ è abbastanza piccolo, si ha che $y(t)$ è abbastanza vicino a $\frac{1}{2}$ per ogni $t\in [m,m’]$: supponiamo quindi che $m’-m$ è cosí piccolo (ma positivo) da far sí che per ogni $t\in [m,m’]$ si abbia $y(t) \geq \frac{1}{4}$. Osserviamo che per costruzione comunque $x(m’) > 0$; l’insieme

\[ B = \{ x(t) : m \leq t \leq m’ \} \]

è l’immagine dell’intervallo chiuso $[m,m’]$ mediante la funzione continua $x(t)$, e quindi è un intervallo (perché connesso) chiuso (perché compatto), cioè è della forma

\[ B = \{ x(t) : m \leq t \leq m’ \} = [0,M], \]

dove $M$ è il massimo di $x(t)$ in $[m,m’]$ e risulta $M > 0$.

Ma ogni punto di $\gamma ([m,m’])$ ha ordinata maggiore di $\frac{1}{4}$, e quindi deve avere ascissa uguale a un valore del tipo $\frac{1}{n}$ con $n$ intero, e dunque $B$ non può essere un intervallo del tipo $[0,M]$. È quindi assurdo supporre che $\gamma (1) \neq P$, cioè tutti i cammini continui con $\gamma (0) = P$ sono costanti in $P$: segue che $X$ non è connesso per archi.

(1.40) Esempio.

Grafico
Figura 5.2: Figura per l’esempio (1.40).

Il sottoinsieme $X\subset \RR ^2$ definito da

\[ X = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x + y + xy \neq 1 \} \]

è un aperto di $\RR ^2$, quindi è connesso per archi se e soltanto se è connesso. Non è connesso, dato che la sua immagine in $\RR $ mediante la funzione continua $f(x,y) = x+y+xy$ non è un intervallo (e quindi non è connesso) perché contiene i due punti $f(2,0) = 2$ e $f(0,0) = 0$, ma non $1$ che è intermedio. Osserviamo che $X$ è l’unione disgiunta dei due aperti $A_1$ e $A_2$ non vuoti definiti da

\[ \begin{aligned} A_1 & = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x+y+xy > 1 \} \\ A_2 & = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x+y+xy < 1 \} . \end{aligned} \]

Verifichiamo che $A_2$ è connesso per archi (e quindi connesso): se $(x_1,y_1) \in A_2$, allora il cammino $\gamma (t)$ definito per $t\in [0,1]$ da

\[ \gamma (t) = \left(-1 + t(x_1+1), -1 + t(y_1+1) \right) \]

parte da $\gamma (0) = (-1,-1)$ e arriva a $\gamma (1) = (x_1,y_1)$. Per ogni $t\in [0,1]$ si ha

\[ \begin{aligned} & (-1+t(x_1+1)) + (-1 + t(y_1+1) ) + (-1+t(x_1+1))(-1+t(y_1+1)) \\ & = -1 +t^2 ( x_1 + y_1 + x_1y_1 +1) \\ & < -1 + t^2 ( 1+1) = 2t^2 - 1 \\ & \leq 2-1 = 1, \end{aligned} \]

e quindi $\gamma (t) \in A_2$.

Invece $A_1$ non è connesso: si può scrivere come unione di aperti disgiunti non vuoti $A_{1}^+$ e $A_{1}^-$ definiti da

\[ \begin{aligned} A_1^+ & = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x+y+xy > 1 \wedge x+y > 0 \} \\ " A_1^- & = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x+y+xy > 1 \wedge x+y < 0 \} . \end{aligned} \]

Sono ovviamente disgiunti, inoltre $x+y+xy > 1 \implies x+y\neq 0$ (perché?), e quindi $A_1 = A_1^+ \cup A_1^-$. Verifichiamo che $A_1^+$ e $A_1^-$ sono connessi per archi, e quindi connessi. Cambiamo coordinate in $\RR ^2$, e prendiamo le nuove coordinate $a=x+1$, $b=y+1$ (è un omeomorfismo $\RR ^2 \approx \RR ^2$). Allora nella coordinate $(a,b)$ si ha

\[ A_1^+ \approx \{ (a,b) \in \RR ^2 : ab > 2 \wedge a+b > 2 \} . \]

Definiamo $\gamma (t) = ( a_1+b_1 - tb_1, a_1+b_1-ta_1 ) $. Si ha

\[ \begin{aligned} \gamma (0) & = (a_1+b_1,a_1+b_1) \\ \gamma (1) & = (a_1,b_1). \end{aligned} \]

Inoltre per ogni $t\in [0,1]$ si ha $a_1 > 0$, $b_1 > 0$ e quindi

\[ \begin{aligned} & ( a_1+b_1 - tb_1 )( a_1+b_1-ta_1 ) \\ & \geq a_1 b_1 > 2, \\ & a_1+b_1- t b_1 + a_1 + b_1 - ta_1 = (2-t) (a_1+b_1) \\ & \geq (a_1+b_1) > 2, \end{aligned} \]

quindi $\gamma (t) \in A_1^+$. Definiamo ora un’altro cammino $\eta (t)$ ponendo per $t\in [0,1]$

\[ \eta (t) = (2+t(a_1+b_1-2), 2+t(a_1+b_1-2) ). \]

Si ha

\[ \begin{aligned} \eta (0) & = (2,2) \\ \eta (1) & = (a_1+b_1,a_1+b_1). \end{aligned} \]

Dato che

\[ (t,t) \in \{ (a,b) \in \RR ^2 : ab > 2 \wedge a+b > 2 \} \]

se e soltanto se $t^2 > 2$, per mostrare che $\eta (t) \in A_1^+$ occorre mostrare che

\[ (2+t(a_1+b_1-2))^2 > 2. \]

Ma questo segue dal fatto che $a_1+b_1 > 2$, quindi $2+t(a_1+b_2-2) > 2$, e quindi il suo quadrato è maggiore di $2$. Nelle coordinate $a,b$, quindi possiamo definire il cammino $\alpha (t)$ in $A_1^+$ ponendo

\[ \alpha (t) = \begin{cases} \eta (2t) & \text { se $t\in [0,1/2]$ } \\ \gamma (2t-1) & \text { se $t\in [1/2,t]$, } \end{cases} \]

che collega $(2,2)$ con qualsiasi punto $(a_1,b_1)$ di $A_1^+$. Per $A_1^-$ si procede allo stesso modo (esercizio). Concludiamo quindi dicendo che $X$ ha tre componenti connesse: $A_2$, $A_1^+$ e $A_1^-$ (c’era una dimostrazione più veloce?).


Footnotes

  1. Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §12 [1].