2.1. Opzionale: costruzione di $\RR $ (Cantor)

(-1.1) [*] Dimostrare che se $X$ e $Y$ sono spazi metrici completi, allora $X\times Y$ con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo.

(-1.2) [*] Un sottospazio $S\subset X$ di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in $X$.

(-1.3) [*] Si consideri $\QQ $ con la topologia generata dagli intervalli aperti $(a,b)$, con $a,b\in \QQ $, $a < b$ (generata dalla metrica $d(x,y) = |x-y|$, notiamo che è una metrica a valori razionali). Dimostrare che se $\{ x_ n\} $ e $\{ y_ n\} $ sono due successioni di Cauchy in $\QQ $, allora la somma $\{ x_ n + y_ n\} $ e il prodotto $\{ x_ n y_ n\} $ sono successioni di Cauchy in $\QQ $. (Suggerimento: per la moltiplicazione usare il fatto che ogni successione di Cauchy è limitata (2.3))

(-1.4) [*] Consideriamo l’insieme $R$ di tutte le successioni di Cauchy su $\QQ $. Dimostrare che $R$ è un anello commutativo con unità, cioè che valgono i seguenti assiomi:

  1. $\forall x,y,z\in \RR $, $(x+y) + z = x + (y + z)$, $(xy)z = x(yz)$.

  2. $\forall x,y\in \RR $, $x+y = y+x$, $xy = yx$.

  3. $\exists 0 \in \RR : \forall x\in \RR x+0=x$; $\exists 1 \in \RR : \forall x\in \RR , x\neq 0 \implies 1x=x$.

  4. $\forall x\in \RR , \exists \mbox{~ unico~ } y\in \RR : x+y=0$.

  5. $\forall x,y,z\in \RR $, $x(y+z) = xy + xz$.


(-1.5) [*] Sia $R$ come nell’esercizio precedente l’anello delle successioni di Cauchy, e $N\subset R$ il sottoinsieme definito da

\[ N = \{ \{ x_ n\} \in R : \lim _ n x_ n = 0\in \QQ \} . \]

Mostrare che $N$ è un ideale in $R$, cioè che $N$ è un sottogruppo additivo e se $\{ x_ n\} $ è una successione di Cauchy e $\{ z_ n\} $ una successione di Cauchy convergente a zero allora la successione $\{ z_ n x_ n\} $ converge a zero. Dedurre che il quoziente (algebrico) $\RR := R/N$ è un anello (cioè l’insieme di classi di equivalenza di successioni di Cauchy, dove $\{ x_ n\} \equiv \{ y_ n\} \iff \lim _ n(x_ n-y_ n)= 0$).

(-1.6) [*] Dimostrare che $\RR $, definito come quoziente nell’esercizio precedente, è un campo, che contiene il campo dei razionali $\QQ $ come sottocampo. (Suggerimento: basta far vedere che se $\{ x_ n\} \not\in N$, allora esiste $\epsilon > 0$ per cui se $n$ è abbastanza grande $x_ n > \epsilon $ (oppure $x_ n < -\epsilon $), e dunque…)

(-1.7) [*] Dimostrare che la relazione di ordine di $\QQ $ può essere estesa a $\RR $ ponendo $x < y \iff y-x > 0$ (e dunque è sufficiente descrivere l’insieme dei numeri reali positivi, cioè le classi di equivalenza di successioni di Cauchy che sono definitivamente positive), e cioè che $\RR $ è un campo ordinato.

(-1.8) [*] Dimostrare che $\RR $ (definito sopra) è completo (cioè che ogni successione di Cauchy in $\RR $ converge). (Suggerimento: una successione in $\RR $ è una successione di classi di equivalenza di successioni: possiamo scrivere la successione $\{ x_ n\} $ come $\{ [a_{n,k}]\} $, dove $x_ n$ è uguale alla classe di equivalenza $[a_{n,k}]$ della successione di Cauchy (in $k$) $ \{ a_{n,k} \} _ k $)

(-1.9) [*] Dimostrare che $\RR $ ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè che ogni sottoinsieme limitato superiormente ha estremo superiore in $\RR $). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo “bisezione di intervalli” per associare ad un insieme limitato superiormente una successione decrescente di intervalli chiusi, e quindi la successione di Cauchy degli estremi – razionali – di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (1.8))

(-1.10) [*] Se invece della metrica euclidea in $\QQ $ si ripete il procedimento degli esercizi precedenti partendo dalla metrica discreta su $\QQ $, cosa si ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Il quoziente $R/N$ è ancora una estensione del campo dei razionali $\QQ $? Quale?