2. Spazi metrici completi

(2.1) Definizione. Una successione $\{ x_ n\} _ n$ in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un intero $N=N(\epsilon )$ per cui

\[ n,m > N \implies d(x_ n,x_ m) < \epsilon . \]


(2.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy.

Dim. Se $\lim _{n} x_ n = \bar{x}$, allora per ogni $\epsilon > 0$ esiste $n_0 > 0$ tale che $n > n_0 \implies d(\bar{x} , x_ n ) < \epsilon $. Quindi se $n,m > n_0$ si ha (per la disuguaglianza triangolare) \[ d( x_ n, x_ m ) \leq d(x_ n,\bar{x}) + d(\bar{x} , x_ m ) < 2\epsilon , \] e quindi la successione è di Cauchy.
QED

(2.3) Ogni successione di Cauchy è limitata.

Dim. Per definizione, esiste $N\geq 1$ tale che $m,n\geq N \implies d(x_ n,x_ m) < 1$. Ma allora in particolare per ogni $n\geq N$ $d(x_ n,x_ N) < 1$ e quindi per ogni $n\geq 1$ \[ d(x_ n, x_1 ) \leq M = \max \{ d(x_1,x_2), d(x_1,x_3), ... , d(x_1,x_ N) \} + 1, \] e dunque $\{ x_ n\} \subset B_{M}(x_1)$ è limitata.
QED

(2.4) Definizione. Uno spazio metrico $X$ si dice completo se ogni successione di Cauchy in $X$ converge in $X$.

(2.5) Uno spazio metrico $X$ è completo se e solo se ogni successione di Cauchy in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.

Dim. È ovvio che se è completo allora ogni successione di Cauchy converge, e dunque basta prendere la successione stessa $\{ x_ n\} $. Supponiamo invece che ogni successione di Cauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia $\{ x_ n\} $ una successione di Cauchy e $\{ x_{n_ k}\} $ la sottosuccessione convergente a $\bar{x}\in X$. Per ogni $\epsilon > 0$ esiste $N$ tale che \[ m,n > N \implies d(x_ n,x_ m) < \epsilon /2, \] ed un $K$ tale che $k > K \implies n_ k > N$ e \[ d(x_{n_ k},\bar{x}) < \epsilon /2. \] Ma allora se $n > N$ si ha per ogni $k > K$ \[ d(x_ n,\bar{x}) \leq d(x_ n,x_{n_ k}) + d(x_{n_ k},\bar{x}) < \epsilon , \] cioè $\{ x_ n\} $ converge a $\bar{x}$.
QED

(2.6) Corollario. Se $X$ è uno spazio metrico compatto, allora $X$ è completo.

Dim. Per (1.1), ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente. In particolare, quindi, ogni successione di Cauchy in $X$ ammette una sottosuccessione convergente. Ma allora per (2.5) lo spazio metrico $X$ è completo.
QED

(2.7) Siano $X$ e $Y$ due spazi metrici con metriche $d_ X$ e $d_ Y$. Allora $X\times Y$ è uno spazio metrico con la metrica prodotto definita da \[ d\left((x_1,y_1),(x_2,y_2) \right) = \sqrt {d_ X(x_1,x_2)^2 + d_ Y(y_1,y_2)^2 } \]

Dim. Esercizio 2.20.
QED

(2.8) Se $X$ e $Y$ sono spazi metrici completi, allora $X\times Y$ con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo.

Dim. Esercizio -1.1.
QED

(2.9) Un sottospazio $S\subset X$ di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in $X$.

Dim. Esercizio -1.2.
QED

(2.10) Teorema. La retta reale $\RR $ è uno spazio metrico completo. Per ogni $n\geq 1$ lo spazio euclideo $\RR ^ n$ è completo.

Dim. Cominciamo a mostrare che $\RR $ è completo. Se $\{ x_ n\} $ è una successione di Cauchy, allora per (2.3) è una successione limitata che per (1.12) ha una sottosuccessione convergente ad un limite in $\RR $ (se non fosse infinita sarebbe immediato trovare il limite…). Ma per (2.5) allora $\{ x_ n\} $ converge in $\RR $, e dunque $\RR $ è completo. La seconda parte dell’enunciato segue da (2.8).
QED

(2.11) Nota. Il campo $\QQ $ non è completo: come sopra, basta trovare successioni di razionali convergenti a numeri irrazionali.

(2.12) Nota. Per gli spazi metrici, la compattezza e la completezza sono concetti vicini, ma non equivalenti. Infatti, $\RR $ è completo, ma non è certamente compatto. Esistono anche spazi metrici compatti che non sono completi? Come visto in (2.6), uno spazio metrico compatto è anche completo. Il legame può essere dato in modo più preciso, dato che vale una generalizzazione del Teorema di Heine-Borel (che si chiama anch’esso Teorema di Heine-Borel): uno spazio metrico è compatto se e soltanto se esso è completo e totalmente limitato. Ricordiamo che uno spazio metrico è totalmente limitato quando vale la proprietà della proposizione (1.3) a pagina * (si veda la nota a pie’ di pagina). Comunque, anche se è vero che uno spazio metrico compatto è certamente completo, in generale uno spazio compatto non è necessariamente metrizzabile, e quindi a fortiori può non essere completo.