1.1. Spazi di funzioni e convergenza puntuale (opzionale)

Nella prossima nota introduciamo alcuni esempi di spazi di funzioni, cioè spazi costituiti da tutte le funzioni (non necessariamente continue) da un certo insieme $A$ a un certo spazio topologico $X$. La topologia che prenderemo in considerazione per questo spazio sarà quella della convergenza puntuale, cioè la topologia per cui una successione $f_ n$ di funzioni $f_ n \from A \to X$ converge ad un limite $\bar f$ se e solo se per ogni $\alpha \in A$ la successione di punti di $X$ definita da $f_ n(\alpha )$ converge a $\bar f (\alpha )$. Faremo vedere in seguito nella nota (1.14) a pagina * che il cubo di Hilbert (cubo di dimensione infinita, che è uno spazio di questo tipo) è compatto rispetto alla topologia della convergenza puntuale ma non è vero che ogni successione di suoi punti ha sottosuccessioni convergenti.

(1.26) Nota. Il teorema appena visto non è il teorema di Tychonoff: il vero teorema stabilisce che il prodotto di una famiglia qualsiasi di compatti è compatto (nella topologia prodotto); se infatti la famiglia è infinita non si può ripetere il ragionamento sopra esposto.

La cosa importante, in generale, però è la definizione stessa di topologia prodotto per una famiglia infinita di spazi. Per semplicità, consideriamo il prodotto di infinite copie dello stesso spazio $Y$, che indichiamo con $Y^ A$, con $A$ insieme infinito. La notazione $Y^ A$ è scelta per l’analogia con gli interi, dato che $Y\times Y = Y^2$, $Y\times Y \times Y = Y^3$, etc. Osserviamo che gli elementi di $Y^2$ sono le coppie $(y_1,y_2)$ con $y_ i\in Y$, e quindi sono le funzioni $\{ 1,2\} \to Y$ dall’insieme con due elementi ad $Y$ (basta porre $y_1=f(1)$ e $y_2=f(2)$). Gli elementi di $Y^3$ sono le 3-uple $(y_1,y_2,y_3)$, cioè le funzioni $\{ 1,2,3\} \to Y$; gli elementi di $Y^ n$ sono le funzioni $\{ 1,2,3,\ldots , n\} \to Y$. Gli elementi di $Y^ A$ sono quindi le funzioni, non necessariamente continue, $A\to Y$ (anche l’insieme delle parti $2^ X$ dell’insieme $X$ non è altro che l’insieme di tutte le funzioni $X\to \{ 0,1\} $ da $X$ all’insieme con due elementi $\{ 0,1\} $). Un altro simbolo usato è

\[ Y^ A = \prod _{\alpha \in A} Y \]

(con questa notazione potremmo definire il prodotto di infiniti spazi arbitrari, non necessariamente copie dello stesso $Y$). Se $x\in X$ è un elemento di $X$, indicheremo anche con $x_\alpha = x(\alpha ) \in Y$ l’immagine di $\alpha $ in $Y$ (la componente $\alpha $-esima di $x$).

Per ogni insieme finito di indici $\alpha _1,\alpha _2,\ldots , \alpha _ n\in A$ si possono scegliere $n$ aperti $U_{\alpha _1}$, $U_{\alpha _2}$, …, $U_{\alpha _ n}$ di $Y$. La topologia prodotto per $X=Y^ A$ (detta anche topologia di Tychonoff) è quella che ha per base tutti i sottoinsiemi del tipo

\[ \left\{ x \in X : x(\alpha ) \in U_\alpha \text {\ per ogni\ } \alpha \in \{ \alpha _1,\alpha _2,\ldots , \alpha _ n \} \right\} \]

al variare di $n\in \NN $, degli indici $\alpha _ i$ e delle $n$-uple $U_{\alpha _ i}$. Si tratta cioè degli insiemi del tipo

\[ \prod _{\alpha \in A} U_\alpha \]

dove gli $U_\alpha $ sono tutti uguali a $Y$, tranne per un numero finito di indici $\alpha $ per cui sono aperti di $Y$.

Una successione $x_ n$ di elementi di $X$ converge a $\bar{x}\in X$ se per ogni intorno $U$ di $\bar{x}$ esiste $N$ tale che $n\geq N \implies x_ n \in U$. Se quindi $x_ n$ converge a $x$, in particolare per un $\alpha \in A$ arbitrario fissato accade che per ogni aperto $U_\alpha \subset Y$ che contiene $\bar{x}(\alpha )$ l’aperto di $X$

\[ \left\{ x \in X : x(\alpha ) \in U_\alpha \right\} \]

è un intorno di $\bar{x}$, e quindi si ha che per $n$ abbastanza grande

\[ x_ n \in \left\{ x \in X : x(\alpha ) \in U_\alpha \right\} \]

e dunque $x_ n(\alpha ) \in U_{\alpha }$, cioè $x_ n(\alpha )$ converge a $\bar{x}(\alpha )$. Cioè, se $x_ n$ converge a $x$ in $Y^ A$ con la topologia prodotto, allora per ogni $\alpha \in A$ la successione $x_ n(\alpha )$ converge a $\bar{x}(\alpha )$ in $Y$. Viceversa, supponiamo che per ogni $\alpha $ la successione $x_ n(\alpha )$ converge ad un certo $\bar{x}(\alpha ) \in Y$. Questo definisce un elemento $\bar{x}\in X$. Mostriamo che allora $x_ n$ converge a $\bar{x}$ in $X$ con la topologia prodotto. Infatti, sia

\[ U=\left\{ x \in X : x(\alpha ) \in U_\alpha \text {\ per ogni\ } \alpha \in \{ \alpha _1,\alpha _2,\ldots , \alpha _ k \} \right\} \]

un intorno (della base) di $\bar{x}$, con $k \geq 1$ qualsiasi. Dato che per ipotesi $x_ n(\alpha _1)$ converge a $\bar{x}(\alpha _1)$, esiste $N_1$ tale che $n\geq N_1 \implies x_ n(\alpha _1) \in U_{\alpha _1}$. Dato che per ipotesi $x_ n(\alpha _2)$ converge a $\bar{x}(\alpha _2)$, esiste $N_2$ tale che $n\geq N_2 \implies x_ n(\alpha _2) \in U_{\alpha _2}$. Dato che per ipotesi $x_ n(\alpha _3)$ converge a $\bar{x}(\alpha _3)$, esiste $N_3$ tale che $n\geq N_3 \implies x_ n(\alpha _3) \in U_{\alpha _3}$ …Dato che per ipotesi $x_ n(\alpha _ k)$ converge a $\bar{x}(\alpha _ k)$, esiste $N_ k$ tale che $n\geq N_ k \implies x_ n(\alpha _ k) \in U_{\alpha _ k}$. Ma allora esiste certamente $N$ (il massimo di tutti gli $N_ i$) per cui vale che $n\geq N \implies x_ n(\alpha _ i) \in U_{\alpha _ i}$ per ogni $i=1,\ldots , k$, cioè

\[ n\geq N \implies x_ n \in U. \]

Possiamo quindi concludere che $x_ n$ converge a $\bar{x}$ in $X$. Per questa ragione la topologia prodotto si chiama anche la topologia della convergenza puntuale.

È con questa topologia, che vale il teorema di Tychonoff.

Sul prodotto $Y^ A$ si può definire anche un’altra topologia (che coincide con quella prodotto se $A$ è finito): la topologia box. Questa ha per base di aperti la famiglia di tutti i prodotti

\[ \prod _{\alpha \in A} U_\alpha \]

di aperti $U_\alpha \subset Y$, senza la restrizione di finitezza. Al variare delle famiglie di aperti $\{ U_\alpha \} $ (le famiglie di aperti di $Y$ sono le funzioni $A\to 2^ Y$ che hanno per immagini degli elementi $\alpha $ di $A$ gli aperti $U_\alpha \in 2^ Y$), gli insiemi

\[ \left\{ x \in X : x(\alpha ) \in U_\alpha \text {\ per ogni\ } \alpha \in A \right\} \]

sono quindi una base per la topologia box. Ogni aperto nella topologia box è pertanto anche un aperto nella topologia prodotto di $Y^ A$, ma in generale può non essere vero il viceversa.

Prendiamo infatti $A=\NN $ e $Y=\RR $. Lo spazio $X=\RR ^\NN (=\RR ^\omega )$ è lo spazio di tutte le successioni di punti sulla retta reale $\RR $. Si può far vedere che la topologia prodotto è metrizzabile (cioè indotta da una certa metrica): si veda l’esercizio 3.18. Osserviamo che se $\bar{x}\in X$ è una successione limitata in $\RR $, allora $\bar{x}$ è contenuto nell’intorno

\begin{equation} \left\{ x \in X : x_\alpha \in B_\epsilon (\bar{x}_\alpha ) \text {\ per ogni\ } \alpha \in A \right\} \end{equation}

per $\epsilon > 0$ arbitrario, cioè l’insieme delle successioni limitate di $\RR $ costituisce un aperto di $X$ (nella topologia box). Analogamente, se la successione $\bar{x} \in X$ non è limitata in $\RR $, allora $\bar{x}$ è contenuto nell’intorno

\begin{equation} \left\{ x \in X : x_\alpha \in B_\epsilon (\bar{x}_\alpha ) \text {\ per ogni\ } \alpha \in A \right\} , \end{equation}

per $\epsilon > 0 $ arbitrario. Allora anche il complementare dell’insieme delle successioni limitate è un aperto nella topologia box.

D’altro canto, nella topologia prodotto, ogni intorno ha solo un numero finito di vincoli del tipo $x(\alpha ) \in U_\alpha $, per cui ogni intorno di una successione convergente $x\in \RR ^\NN $ con la topologia prodotto contiene certamente successioni non convergenti, e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è un aperto di $\RR ^\NN $ nella topologia della convergenza puntuale (topologia prodotto). (Non è un aperto nemmeno l’insieme delle successioni non convergenti, e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è nemmeno un chiuso).

Il cubo di Hilbert = $[0,1]^\NN \subset \RR ^\NN $ è compatto nella topologia prodotto (per il teorema di Tychonoff), mentre non lo è nella topologia box. Infatti, se $[0,1]^\NN $ fosse compatto nella topologia box, allora lo sarebbe anche il sottoinsieme $\{ 0,1\} ^\NN $, che sarebbe un chiuso di un compatto. Infatti, se $\bar{x}\in [0,1]^\NN $ è nel complementare di $\{ 0,1\} ^\NN $, cioè esiste un $\bar\alpha \in \NN $ tale che $\bar{x}_{\bar\alpha } \not\in \{ 0,1\} $, cioè $0 < \bar{x}_{\bar\alpha } < 1$, allora esiste certamente $\epsilon > 0$ per cui $B_\epsilon (\bar{x}_{\bar\alpha }) \subset (0,1)$, e quindi l’aperto

\[ \{ x\in [0,1]^\NN : \forall \alpha , x({\alpha }) \in B_\epsilon (\bar{x}_{\alpha }) \} \]

è un intorno di $\bar{x}$ contenuto nel complementare di $\{ 0,1\} ^\NN $. In altre parole, $\{ 0,1\} ^\NN $ è un chiuso di $[0,1]^\NN $, e quindi compatto per ipotesi (d’assurdo). Ma basta ora osservare che

  1. $\{ 0,1\} ^\NN $ ha infiniti elementi distinti (sono numerabili?).

  2. Per ogni $\bar{x}\in \{ 0,1\} ^\NN $, se $\epsilon < 1$ allora

    \[ \{ x\in \{ 0,1\} ^\NN : \forall \alpha , x({\alpha }) \in B_\epsilon (\bar{x}_{\alpha }) \} = \{ \bar{x} \} , \]

    cioè $\bar{x}$ ha un intorno aperto che contiene solo $\bar{x}$, tra i punti di $\{ 0,1\} ^\NN $. Quindi la topologia indotta dalla topologia box su $\{ 0,1\} ^\NN $ è la topologia discreta.

I punti stessi di $\{ 0,1\} ^\NN $ costituiscono quindi un ricoprimento aperto, che non ammette sottoricoprimento finito: non può essere compatto.