3. Spazi di identificazione e topologie quoziente

(Cfr.)1

Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati.

Ricordiamo che una relazione su un insieme $X$ è detta relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. In genere una relazione di equivalenza su $X$ viene indicata con il simbolo “$\sim $”. Quindi $x\sim x$, $(x\sim y \iff y \sim x)$ e $(x\sim y \wedge y\sim z \implies x\sim z)$ Il fatto fondamentale è questo: ad una relazione di equivalenza si associa naturalmente una partizione di $X$ in classi di equivalenza. Cioè, per ogni $x$ si definisce il sottoinsieme di $X$

\[ [x] = \left\{ y\in X : y\sim x \right\} \subset X, \]

e risulta che $x\sim y \iff [x] = [y]$. Le classi di equivalenza distinte sono a due a due disgiunte

\[ [x] \cap [y] \neq \emptyset \implies [x] = [y] \]

e $X$ è l’unione delle sue classi di equivalenza. L’insieme di tutte le classi di equivalenza in $X$ viene indicato con $X/_\sim $, ed è detto anche insieme quoziente. La funzione $p \from X \to X/_\sim $ che associa ad ogni $x\in X$ la sua classe di equivalnza $[x]\in X/_\sim $ è chiamata la proiezione sul quoziente. Quindi una relazione di equivalenza determina una funzione suriettiva $p\from X \to X/_\sim $ sull’insieme delle classi di equivalenza.

Viceversa, data una funzione suriettiva $f\from X \to Y$, $Y$ è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione

\[ \forall x,y\in X, x\sim y \iff f(x) = f(y). \]

Quindi le relazioni di equivalenza su $X$ e le funzioni suriettive con dominio $X$ si corrispondono.

Problema: sia $\sim $ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e $f\from X \to X/_{\sim }=Y$ la proiezione sull’insieme quoziente. Come dare ad $X/_\sim $ una topologia?

Le relazioni di equivalenza in un certo senso corrispondono con l’operazione di “incollamento” di punti diversi di uno spazio topologico, cioè “identificando” tra loro punti diversi (che quando appartengono alla stessa classe di equivalenza, saranno identificati ad un punto dell’insieme quoziente).

(3.1) Esempio.

  1. $I_{0\sim 1}$: incollare tra di loro gli estremi di un segmento.

  2. $\RR $ con $x\sim y \iff x-y\in \ZZ $. Cos’è l’insieme quoziente? La classe di equivalenza di $x\in \RR $ è per definizione

    \[ \begin{aligned} [x] & = \{ y \in \RR : y-x\in \ZZ \} \\ & = \{ y\in \RR : \exists k \in \ZZ , y-x=k \} \\ & = \{ y \in \RR : \exists k \in \ZZ , y = x+k \} \\ & = \{ x+k : k \in \ZZ \} \\ & = x + \ZZ . \end{aligned} \]

    Qui usiamo la notazione $x+Z = \{ x+z : z \in Z\} $, se $Z$ è un insieme di elementi che si possono sommare a $x$.

  3. $\RR ^2$ con $x=(x_1,x_2) \sim y=(y_1,y_2) \iff x-y\in \ZZ ^2$.

  4. Nastro di Möbius: è possibile costruirlo incollando in modo opportuno gli estremi di un nastro.


(3.2) Definizione. Se $X$ è un insieme e $A\subset X$ un sottoinsieme, si scrive $X/A$ (quoziente di $X$ su $A$) per indicare l’insieme ottenuto identificando $A$ ad un punto, che è l’insieme ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di $X\smallsetminus A$ e l’intero $A$.

(3.3) Definizione. Sia $F\from X \to Z$ una funzione tra insiemi, e $\sim $ una relazione di equivalenza su $X$, con proiezione sul quoziente $p\from X \to X/_\sim $, $p(x) = [x]\in X/_\sim $. Si dice che la funzione $F$ passa al quoziente se è possibile definire una funzione sul quoziente $f\from X_\sim \to Z$ con la proprietà che per ogni $x\in X$

\[ F(x) = f ( p ( x ) ). \]


(3.4) Sia $X$ come sopra un insieme con una relazione di equivalenza $\sim $, e $F\from X\to Z$ una funzione qualsiasi. Allora $F$ passa al quoziente se e soltanto se è costante sulle classi di equivalenza in $X$.

Dim. Supponiamo che $F$ passi al quoziente. Allora esiste $f\from X/_\sim \to Z$ tale che per ogni $x\in X$ si ha $F(x) = f([x])$. Ma allora per ogni $y\in [x]$ vale $p(y)=[y] = [x]$, e quindi

\[ F(y) = f(p(y)) = f([x]) = F(x), \]

cioè $F$ è costante sulla classe di equivalenza $[x]$.

Viceversa, se $F$ è costante sulle classi di equivalenza, definiamo $f\from X/_\sim \to Z$ ponendo

\[ f([x]) = F(x). \]

La definizione di $f$ è ben posta, perché se $[x]=[y]$, allora $F(x) = F(y)$ per ipotesi, e quindi $f([x]) = f([y])$. E per ogni $x$ si ha $F(x) = f(p(x))$, per cui $F$ passa al quoziente.

QED

(3.5) Esempio. Consideriamo i due esempi $I_{0\sim 1}$ e $X=\RR /_\sim $ definiti nell’esempio (3.1). Se indichiamo con $\partial I = \{ 0,1\} $ il bordo di $I$, allora $_{0\sim 1}$ è l’insieme ottenuto identificando $\partial I \subset I = [0,1] \subset \RR $ ad un punto, secondo la definizione (3.2).

Osserviamo che $I_{0\sim 1}$ e $X$ sono in corrispondenza biunivoca. Infatti, la funzione

\[ F \from I \to X \]

definita ponendo $F(t) = [t] = t +\ZZ \in X$ passa al quiziente. Per (3.4), basta verificare che $F$ è costante sulle classi di equivalenza i $I$. Ma visto che c’è una sola classe in $I$ con più di un elemento (cioè $\partial I = \{ 0,1\} $), basta verificare che $F(0) = F(1)$. Infatti, $F(0) = \ZZ \subset \RR $, mentre $F(1) = 1+\ZZ = \ZZ \subset \RR $.

Dimostriamo anche che la funzione indotta $f\from I/_{0\sim 1} \to X$ è biunivoca. Infatti, siano $[s]$ e $[t]$ due punti distinti di $I_{0\sim 1}$, cioè due classi di equivalenza. Dato che sono distinti, almeno uno dei due è diverso dalla classe $\partial I$. Supponiamo che quindi $s\in (0,1)$. Se fosse vero che $f([s]) = f([t])$, allora per definizione dovrebbe essere che $s+\ZZ = t + \ZZ $, cioè esiste $k\in \ZZ $ tale che $s-t =k$. Osserviamo che $s\in (0,1)$ e $t\in [0,1]$, quindi $-t \in [-1,0]$ e

\[ \begin{aligned} s-t & < 1-t \leq 1-0=1 \\ s-t & > 0-t \geq 0-1 = -1, \end{aligned} \]

e quindi $k=s-t$ è un intero compreso nell’intervallo $-1 < k < 1$. Ma l’unico intero possibile è $k=0$, e quindi $s=t$ contro l’ipotesi che $[s] \neq [t]$. Quindi $f$ è iniettiva.

Verifichiamo che è suriettiva: per ogni $x\in \RR $ esistono un intero $n$ (la parte intera di $x$) e un $\delta \in \RR $ tali che

\[ x= n+\delta ,\quad n\in \ZZ ,\quad 0\leq \delta < 1\, . \]

Quindi per ogni $x\in \RR $ si ha che esiste $\delta \in [0,1)$ tale che $x-\delta \in \ZZ $, cioè $[x] = [\delta ]$. Ma questo implica che $f$ è suriettiva, dato che esiste $t=\delta $ per cui l’elemento $[t] \in I_{0\sim 1}$ ha immagine mediante $f$ uguale a $[x]$.

(3.6) Definizione. Se $X$ è uno spazio topologico e $f\from X \to Y$ una funzione suriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su $Y$ come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi $A\subset Y$ per cui la controimmagine $f^{-1}(A)\subset X$ è aperto. Lo spazio $Y$ si dice spazio quoziente di $X$ rispetto alla proiezione $f$.

(3.7) La definizione (3.6) è ben posta: la classe di aperti descritta è in effetti una topologia su $Y$.

Dim. Sia $f\from X \to Y$ come nella definizione (3.6).

$ f^{-1} (\emptyset ) = \emptyset \subset X \implies \text { $\emptyset $ aperto di $Y$.} \\ f^{-1} (Y) = X \implies Y \text { aperto di $Y$; } \\ \forall i, A_ i\subset Y \text { aperto }, f^{-1} \left( \cup _ i A_ i \right) = \cup _ i f^{-1} A_ i \\ \implies \cup _ i A_ i \text { aperto di } Y. \\ A_1,A_2 \subset Y \text { aperti }, f^{-1} \left( A_1 \cap A_2 \right) = f^{-1}A_1 \cap f^{-1} A_2 \\ \implies A_1\cap A_2 \text { aperto di } Y. $

QED

(3.8) Se $f\from X \to Y$ è continua e suriettiva, allora la topologia di $Y$ è contenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di $Y$ è aperto nella topologia quoziente di $X$).

Dim. Per definizione di continuità, se $f\from X\to Y$ è continua e $A\subset Y$ è aperto nella topologia di $Y$, allora $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$, e quindi per definizione di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente.
QED

(3.9) Teorema. Sia $X$ uno spazio topologico, e $p\from X \to X/_\sim = Y$ la proiezione sullo spazio quoziente $Y$. Se una funzione $F\from X \to Z$ è continua e passa al quoziente, allora la funzione indotta sul quoziente $f\from X/_\sim \to Z$ è continua.

Dim. La funzione indotta $f\from Y=X/_\sim \to Z$ è continua se e soltanto se per ogni aperto $A\subset Z$, la controimmagine $f^{-1} A \subset Y$ è un aperto di $Y$. Ma gli aperti di $Y$ sono tutti e soli i sottoinsiemi $B\subset Y$ le cui controimmagini $p^{-1}B$ sono aperti di $X$. Quindi $f^{-1}A$ è aperto se e soltanto se $p^{-1} f^{-1} A\subset X$ è aperto in $X$. Ma $p^{-1} f^{-1} A = F^{-1} A$, dato che $F = f \circ p$ per ipotesi, e dal momento che $F$ è continua $F^{-1} A$ è un aperto di $X$.
QED

(3.10) Esempio. Il toro (superficie di una ciambella)2: $[0,1] \times [0,1]$ con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza…)

  1. $(0,0)\sim (1,0) \sim (1,1) \sim (0,1)$.

  2. $(x,0) \sim (x,1)$ per $0 < x < 1$.

  3. $(0,y) \sim (1,y)$ per $0 < y < 1$.

È omeomorfo a $S^1 \times S^1$?

Toro: è la superficie di una ciambella, oppure di una camera d'aria.
Figura 2.5: Toro, $\approx S^1 \times S^1$


(3.11) Esempio. Il disco: $D_1(0,\RR ^2) = D^2 = \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \} $, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza:

\[ x\sim y \iff \begin{cases} x\in \partial D^2 \wedge y \in \partial D^2 & \mbox{($x$ e $y$ stanno sul bordo)} \\ x=y & \mbox{altrimenti} \end{cases} \]

Il quoziente risulta essere omeomorfo ad una sfera. Perché?

(3.12) Esempio. Il piano proiettivo3: $D^2$ quozientato rispetto alla relazione:

\[ x\sim y \iff \begin{cases} x=-y & \mbox{ se\ } x\in \partial D^2 \wedge y \in \partial D^2 \\ x=y & \mbox{altrimenti} \end{cases} \]

Analogo: $S^2/_\sim $ dove $x\sim y \iff x=\pm y$ (antipodale).

Disco con i punti del bordo identificati a due a due x ~ -x.
Figura 2.6: Identificazione antipodale dei punti sul bordo del disco

Perché le due definizioni sono equivalenti? Lo vedremo meglio più avanti.

(3.13) Esempio. Nastro di Möbius: si prenda un nastro sufficientemente lungo, e si incollino i due estremi, dopo aver fatto fare mezzo giro al nastro. Lo spazio che risulta deve avere una faccia sola4.

Nastro di Moebius: incollare un nastro facendo fare mezzo giro agli estremi.
Figura 2.7: Il nastro di Möbius

Cosa succede se si taglia un nastro di Möbius esattamente a metà, lungo la sua linea mediana? Si ottengono due nastri di Möbius? Due cilindri? Un nastro di Möbius? Un cilindro? E se il taglio inizia a 1/4 dalla linea mediana?

(3.14) Esempio. La bottiglia di Klein si può ottenere come somma di due nastri di Möbius, incollati lungo i bordi, oppure identificando opportunamente i lati opposti di un quadrato, a due a due, in modo che due siano identificati per il medesimo verso, e due per il verso opposto5.

Bottiglia di Klein: incollare due nastri di Moebius lungo i loro bordi.
Figura 2.8: Bottiglia di Klein: somma di due nastri di Möbius, incollati lungo i bordi



Footnotes

  1. Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §7 [1].
  2. Si veda [http://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria)] per approfondimenti.
  3. Si veda [http://it.wikipedia.org/wiki/Piano_proiettivo] per approfondimenti. Comunque ritorneremo più avanti sul piano proiettivo.
  4. Si veda [http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius] e [http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm] per approfondimenti.
  5. Si veda [http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein] per approfondimenti.