2. Topologia prodotto

(Cfr.)1

(2.1) Definizione. Siano $X$ e $Y$ spazi topologici. Il prodotto cartesiano $X\times Y$ ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base

\[ \text {base} = \{ U\times V \subset X\times Y : \text {\begin{minipage}{0.3\textwidth } $U$ è aperto in $X$ e \\ $V$ è aperto in $Y$\end{minipage}} \} . \]


Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per $X\times Y$: esercizio 2.1.

Le funzione $p_1\from X\times Y \to X$ e $p_2\from X\times Y \to Y$ definite da $p_1(x,y) = x$ e $p_2(x,y) = y$ si dicono le proiezioni.

(2.2) Se $X\times Y$ ha la topologia prodotto, allora $X\times Y \approx Y \times X$ (sono omeomorfi), e le proiezioni $p_1\from X\times Y \to X$, $p_2\from X\times Y \to Y$ sono continue e aperte.

Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi topologici $X_1$,$X_2$, ... , $X_ n$, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo $U_1\times U_2\times \dot\times U_ n \subset X_1\times X_2 \times ... \times X_ n$.

(2.3) Proposizione. Una funzione $f\from X \to Y_1\times Y_2$ (che si può scrivere quindi come $f(x) = ( f_1(x), f_2(x) )$) è continua se e solo se le sue due componenti ($f_1 = p_1 \circ f$ e $f_2 = p_2 \circ f$) sono continue.

Dim. Se $f$ è continua, allora $f_1$ e $f_2$ sono continue perché composizioni di $f$ con le funzioni continue $p_1$ e $p_2$. Viceversa, se $f_1$ e $f_2$ sono continue, allora se $V_1\times V_2\subset Y_1 \times Y_2$ è un aperto della base per la topologia (prodotto) di $Y_1 \times Y_2$, si ha \[ \begin{aligned} f^{-1}(V_1\times V_2) & = \{ x\in X : (f_1(x),f_2(x))\in V_1\times V_2 \} \\ & = \{ x\in X : f_1(x) \in V_1 \text {\ e } f_2(x) \in V_2 \} \\ & = f_1^{-1} (V_1) \cap f_2^{-1} (V_2), \end{aligned} \] che è aperto perché intersezione di due aperti.
QED

(2.4) Esempio. La topologia di $\RR ^ n$ indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale alla topologia prodotto.

(2.5) Esempio. $I\times I$ è il quadrato (pieno) di $\RR ^2$. Analogamente, $I^ n$ è il cubo di dimensione $n$.

(2.6) Esempio. Le proiezioni $p_1\from X\times Y \to X$ e $p_2\from X\times Y \to Y$ sono aperte ma possono non essere chiuse. Per esempio, se $X=Y=\RR $,

\[ C = \{ (x,y) \in \RR ^2 : xy = 1 \} \]

è chiuso, ma

\[ p_1 (C) = \{ x \in \RR : x\neq 0 \} = \RR \smallsetminus \{ 0\} \]

non è chiuso.

(2.7) Nota. Nell’esercizio precedente $C$ è chiuso perché, se si pone $f\from \RR ^2 \to \RR $ definita da $f(x,y) = xy$, si ha che $f$ è continua e

\[ C = f^{-1}(\{ 1\} ), \]

che è chiuso in $\RR ^2$, dato che $\{ 1\} $ è chiuso in $\RR $ (con la topologia metrica).

(2.8) Nota. In generale non è detto che $f\from X \to Y$ continua e biunivoca sia un omeomorfismo (potrebbe non essere una mappa aperta e/o chiusa, cioè l’inversa di $f$ potrebbe non essere continua). Per gli spazi euclidei, però, vale il seguente teorema dimostrato da Brouwer nel 1912 (di cui non possiamo dare la dimostrazione – Hanc marginis exiguitas non caperet).

(2.9) Teorema.[Invarianza del dominio] Se $X\subset \RR ^ n$ è un aperto e $f\from X \to \RR ^ n$ (lo spazio $\RR ^ n$ è inteso con la topologia metrica) è una funzione continua e iniettiva, allora $f$ è anche una mappa aperta.

(2.10) Corollario. Se $f\from \RR ^ n \to \RR ^ n$ è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.



Footnotes

  1. Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §6 [1].