1. Funzioni continue

(Cfr.)1

Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente come in (2.10) e in (1.10), che vale la seguente proposizione.

(1.1) Sia $f$ una funzione $f\from X \to Y$ tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti:

  1. $f$ è continua

  2. $\forall A\subset X$, $ f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) }. $

  3. per ogni $C\subset Y$ chiuso, la sua controimmagine $f^{-1}(C) \subset X$ è chiuso in $X$.

  4. Se $\mathcal{B}$ è una base per $Y$, allora per ogni elemento della base $B\in \mathcal{B}$ la controimmagine $f^{-1}{B}$ è aperto in $X$.


(1.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.

Dim. Sia $f\from X \to Y$ una funzione continua e $g\from Y \to Z$ una funzione continua. La composizione $gf\from X \to Z$ è continua se e solo se $(gf)^{-1}(A)$ è aperto in $X$ ogni volta che $A$ è aperto in $Z$. Ora, \[ \begin{aligned} (gf)^{-1}(A) & = \{ x\in X : g(f(x)) \in A \} \\ & = \{ x\in X : f(x) \in g^{-1}(A) \} \\ & = f^{-1} ( g^{-1}(A) ) \end{aligned} \] e dunque se $A$ è aperto anche $g^{-1}(A)$ è aperto in $Y$ (dato che $g$ è continua), e poiché $f$ è continua $f^{-1}(g^{-1}(A))$ è aperto in $X$.
QED

(1.3) Teorema. Sia $f\from X \to Y$ una funzione continua. Se $A\subset X$ ha la topologia indotta, allora la restrizione $f|_{A}$ è continua.

Dim. Sia $B\subset Y$ un aperto. La controimmagine $f^{-1}(B)$ è aperta in $X$, dato che $f$ è continua. La controimmagine di $B$ mediante la funzione ristretta $f|_{A}$ è data dall’insieme \[ \{ x\in A : f(x) \in B \} , \] e quindi da $A \cap f^{-1}(B)$. Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di $A$.
QED

(1.4) Definizione. Una funzione $f\from X \to Y$ tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia $f$ che la funzione inversa $f^{-1}$ sono continue. Si dice allora che $X$ e $Y$ sono omeomorfi (e si indica con $X\approx Y$).

La topologia studia gli spazi a meno di omeomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro che un “cambiamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti viene conservata.

(1.5) Esempio. Sia $X$ l’insieme delle matrici $2\times 2$ a coefficienti reali. Sia $d$ la metrica munito della metrica

\[ d( (a_{ij}),(b_{ij})) = \displaystyle \max _{ij}({ |a_{ij} - b_{ij}| })~ . \]

$X$ è omeomorfo a $\RR ^4$ con la metrica euclidea

\[ d( (x_ i), (y_ i) ) = \sqrt {\sum _{i=1}^4 (x_ i - y_ i)^2} \]

tramite l’omeomorfismo

\[ \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{array} \right) \mapsto \left[ \begin{array}{c} a_{1,1}\\ a_{2,1}\\ a_{1,2}\\ a_{2,2}\\ \end{array} \right] \]

Dimostrazione: esercizio.

(1.6) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione stereografica). La sfera meno un punto è omeomorfa al piano, analogamente. Esercizio: in coordinate.

Described image figs/stereographic
Proiezione stereografica di una sfera sul piano: si consideri una sfera appoggiata ad un piano tangente ad essa, in modo che il punto di contatto sia il polo Sud. Dal polo Nord si facciano partire tutte le semirette che toccano la sfera in un punto qualsiasi, oltre il polo Nord. Per ogni punto della sfera diverso dal polo Nord c'è una tale semiretta, per ogni tale semiretta i punti di intersezione sono esattamente due, tra i quali il polo Nord. Queste semirette intersecano il piano in uno e un solo punto: ecco una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e i punti della sfera tranne il polo Nord.
Figura 2.1: Proiezione stereografica


(1.7) Esempio. La retta reale è omeomorfa ad un segmento aperto: $\RR \approx (a,b)$ per ogni $a < b$. Definiamo $ f \from (-1,1) \to \RR \quad f(x) = \dfrac {x}{1-x^2}. $ La funzione è continua perché composizione di funzioni continue. Osserviamo poi che $f(x) = f(y)$ se e soltanto se

\[ \begin{aligned} x(1-y^2) = y(1-x^2) & \iff xy^2 -x^2y +y - x = 0 \\ & \iff xy(y-x) + (y-x) = 0 \\ & \iff (xy+1)(y-x) =0, \end{aligned} \]

e quindi se $x,y\in (-1,1)$ e $f(x)=f(y)$, allora $x=y$, dato che certamente $xy+1\neq 0$ (perché?). Quindi $f$ è iniettiva2. Mostrare che è suriettiva equivale a mostrare che per ogni $y\in \RR $ esiste un $x\in (-1,1)$ tale che $f(x)=y$, cioè che l’equazione

\[ yx^2 + x - y = 0 \]

ha una soluzione in $x$ compresa tra $-1$ e $1$. Se $y=0$, allora è vero. Se $y\neq 0$, dato che $\Delta = 1 + 4y^2$, delle due soluzioni dell’equazione almeno una deve avere norma minore di $1$, visto che il loro prodotto è uguale a $-1$,

\[ (x - x_1)(x-x_2) = x^2 + \frac{x}{y} - 1. \]

Quindi $f$ è suriettiva. Le due soluzioni sono

\[ x_1 = \dfrac { -1 + \sqrt {1+4y^2}}{2y}, \quad x_2 = \dfrac { -1 - \sqrt {1+4y^2}}{2y}. \]

Per ogni $y > 0$ si ha $- x_2 > \frac{1+2y}{2y} > 1$, e di conseguenza per ogni $y < 0$ $x_2 > 1$: quindi necessariamente $x_1\in (-1,1)$. In altre parole, la funzione inversa di $f$ è

\[ \begin{aligned} g(y) & = \dfrac {\sqrt {1+4y^2} - 1}{2y} \\ & = \dfrac { (1+4y^2) - 1 }{ 2y(\sqrt {1+4y^2}+1)} \\ & = \dfrac { 2y}{\sqrt {1+4y^2}+1}, \end{aligned} \]

e anch’essa è continua, dato che è composizione di funzioni continue. Per finire: omeomorfismo lineare

\[ (a,b) \approx (-1,1) \approx \RR . \]


(1.8) Esempio. La funzione $f\from [0,2\pi )\subset \RR \to S^1\subset \CC $ definita ponendo $f(t) = e^{it} \in S^1$ per ogni $t$ è continua e biunivoca. Ma non è aperta: $f([0,1))$ non è aperto in $S^1$, ma $[0,1)\subset [0,2\pi )$ è aperto in $[0,2\pi )$. Quindi non è un omeomorfismo. Vedremo in seguito che non possono esistere omeomorfismi tra $[0,2\pi )$ e $S^1$ (cioè i due spazi non sono omeomorfi).

(1.9) Esempio. Quali tra i seguenti spazi sono omeomorfi tra di loro?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z


(1.10) Esempio. [Curva di Peano] Curva continua e suriettiva $f\from I =[0,1] \to I^2\subset \RR ^2$. Figura 2.2.

Punto di partenza della costruzione della Curva di Peano Primo passo della costruzione della Curva di Peano

Secondo passo della costruzione della Curva di Peano Terzo passo della costruzione della Curva di Peano

Figura 2.2: Curva di Peano


Described image figs/Konigsberg
Figura originale dall'articolo di Eulero della mappa dei sette ponti di Konigsberg: due rami del fiume Pregel passano per il centro della città, si uniscono per poifinire nel Mar Baltico. Nel punto di confluenza c'è una grossa isola. In pratica è come se in un fiume circolare si immettono da Nord-Est e Sud-Est due rami di fiume, e il corso prosegue a Ovest con un terzo ramo. L'isola è collegata con la terraferma da cinque ponti: due a Nord-Ovest e Nord, due a Sud-Ovest Sud, e uno a Est. In più ci sono due ponti che attraversano i due rami di fiume entranti.
Figura 2.3: I sette ponti di Königsberg (figura originale di Euler)
Described image figs/Kaliningrad
Immagine aerea attuale dell'attuale Kaliningrad (ex-Konigsberg): mancano un po' di ponti... Alcuni ponti sono stati distrutti dai bombardamenti della seconda guerra mondiale, altri demoliti. Quindi ora mancano due dei cinque ponti che collegano l'isola centrale. Il ponte a Sud-Est non si vede in foto, ma è solo stato ricostruito più a Sud.
Figura 2.4: I (sette?) ponti di Kaliningrad

(1.11) Esempio. [I sette ponti di Königsberg] Il grande matematico Leonhard Euler (1707–1783) nel 1735 si trovò ad affrontare il seguente problema: trovare una passeggiata (cammino) nella città di Königsberg (o Regiomontium il latino; ora è chiamata Kaliningrad) che attraversi una e una sola volta tutti i sette ponti (si veda la figura 2.3). La sua soluzione (negativa) fu data nel 1736 e pubblicata nel 1741 in Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1741, pp. 128-140)3. Si parla di questo lavoro come la nascita della topologia. Nella foto da satellite 2.4 è possibile notare che negli anni un certo numero di ponti sono stati distrutti. È possibile ai giorni nostri risolvere in modo positivo il problema dei ponti superstiti di Kaliningrad?

(1.12) Definizione. Una funzione $f\from X \to Y$ è

  1. aperta se l’immagine $f(A)$ di ogni aperto $A$ di $X$ è aperta in $Y$.

  2. chiusa se l’immagine $f(C)$ di ogni chiuso $C$ di $X$ è chiusa in $Y$.


(1.13) Una funzione $f\from X \to Y$ è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà è vera:

  1. $f$ è biunivoca, continua e aperta.

  2. $f$ è biunivoca, continua e chiusa.



Footnotes

  1. Cfr: Sernesi vol II, cap I, §4 [1].
  2. La funzione è iniettiva, anche perché è differenziabile e monotona crescente $f’(x) = \dfrac {x^2+1}{(1-x^2)^2}$.
  3. http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html