3.4. Richiami di logica matematica

(Cfr.)1

Definire cos’è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini di una proprietà dell’enunciato: l’essere vero o falso (logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato, per esempio).

Variabili: Lettere dell’alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apici o pedici): $A$, $x$, $B_1$, $j$, ... Assegnamento di valore alle variabili.

Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuove proposizioni a partire da proposizioni date.

Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati $p$, $q$, ... assumo valori di verità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità.

$p$

$\neg p$

1

0

0

1

$p$

$q$

$p\wedge q$

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

$p$

$q$

$p\vee q$

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

$p$

$q$

$p\ {\tt XOR}\ q$

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

$p$

$q$

$p \implies q$

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

$p$

$q$

$p \iff q$

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1


Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date $p$, $q$, $r$, ... si costruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono sempre vere (cioè assumono valore di verità $1$ per ogni possibile scelta dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valore di verità $0$ per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. $A$ e $B$ sono equivalenti se e solo se $A \iff B $ è una tautologia.

Le seguenti sono tautologie:

  1. $A \vee \neg A$ (terzo escluso);

  2. $\neg (A \wedge \neg A)$ (non contraddizione);

  3. $\neg (\neg A) \iff A$ (doppia negazione);

  4. $A\wedge A \iff A$, $A \vee A \iff A$;

  5. $A \vee B \iff B \vee A$, $A\wedge B \iff B \wedge A$ (commutatività);

  6. associatività: $(A \vee B) \vee C \iff A \vee (B \vee C) $; $(A \wedge B) \wedge C \iff A \wedge (B \wedge C)$;

  7. Leggi distributive: $A \wedge (B \vee C) \iff (A\wedge B) \vee (A\wedge C)$; $A \vee (B \wedge C) \iff (A\vee B) \wedge (A\vee C)$;

  8. Leggi di de Morgan: $\neg (A \wedge B) \iff \neg A \vee \neg B$; $\neg (A \vee B) \iff \neg B \wedge \neg A$;

Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi di sillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni.

  1. $(A \wedge B) \implies A$;

  2. $(A \implies B) \iff (\neg B \implies \neg A)$ (contronominale, contrapposizione, per assurdo);

  3. $(A\implies B) \wedge A \implies B$ (modus ponens);

  4. $(A\implies B) \wedge \neg B \implies \neg A$ (modus tollens);

  5. $(A\implies B) \wedge (B\implies C) \implies (A \implies C)$ (modus barbara, sillogismo ipotetico);

  6. $\left((A \vee B) \wedge \neg A\right) \implies B$ (sillogismo disgiuntivo).

Predicati: Quando una espressione $p(x)$ contiene delle variabili ($x$) che non sono state assegnate (variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciato aperto.

Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate.

Footnotes

  1. Cfr: M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all’analisi, Apogeo, 2006. Cap. $\aleph $.