3.1. Base di una topologia

La topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gli aperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famiglia di insiemi genera una topologia in questo modo. Basta prendere le proprietà degli intorni circolari di spazi metrici di (1.17).

(3.10) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi $\mathcal{B}\subset 2^ X$ di un insieme $X$ si dice base se le seguenti proprietà sono soddisfatte:

  1. per ogni $x\in X$ esiste almeno un elemento della base $B\in \mathcal{B}$ che contiene $x$ (equivalentemente, $X = \bigcup _{B\in \mathcal{B}} B $).

  2. Se $B_1$, $B_2 \in \mathcal{B}$ e $x\in B_1\cap B_2$, allora esiste $B_ x\in \mathcal{B}$ tale che $x\in B_ x \subset B_1 \cap B_2$ (equivalentemente, $B_1\cap B_2$ è unione di elementi della base).


Possiamo riscrivere (1.17) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo di generare una topologia a partire da una base procede dall’osservazione che gli aperti sono le unioni di intorni circolari.

(3.11) Sia $X$ un insieme. Data una base $\mathcal{B}\subset 2^ X$, sia $\mathcal{A}\subset 2^ X$ la famiglia di tutte le unioni di elementi di $\mathcal{B}$ unita a $\emptyset $. Allora $\mathcal{A}$ è una topologia per $X$ ed è la più piccola topologia in cui gli elementi della base $\mathcal{B}$ sono aperti.

Dim. Esercizio.
QED

(3.12) Definizione. La topologia generata come in (3.11) si dice topologia generata dalla base $\mathcal{B}$.

(3.13) Esempio. In $X=\NN = \{ 1,2,3,\ldots \} $ siano $B_ i = \{ ki : k \in \NN \} = \{ n \in \NN : n \equiv 0 \mod i \} $. Sono una base? La topologia in $\NN $ è quella metrica? È quella discreta? È metrizzabile (cioè può essere generata da una metrica)?