3. Spazi topologici

(Cfr.)1

Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti, chiusi e funzioni continue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famiglia degli intorni circolari e alcune proprietà caratterizzanti.

Sia $X$ un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi $\mathcal{A}\subset 2^ X$ che verifica le proprietà di (1.16) consente di fatto di introdurre una definizione non solo metrica di continuità.

(3.1) Definizione. Una famiglia $\mathcal{A} \subset 2^ X$ di sottoinsiemi di un insieme $X$ si dice topologia se verifica le seguenti proprietà:

  1. $\emptyset \in \mathcal{A}$, $X \in \mathcal{A}$,

  2. $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}\implies \bigcup _{B\in \mathcal{B}}B \in \mathcal{A}$,

  3. $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ è finito, allora $\bigcap _{B\in \mathcal{B}} B \in \mathcal{A}$.

Uno spazio $X$ munito di una topologia $\mathcal{A}\subset 2^ X$ (spesso indicata con la lettera $\tau $) viene detto spazio topologico2 e gli elementi di $\mathcal{A}$ si dicono gli aperti di $X$.

È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associare ad ogni spazio metrico una topologia come nella definizione (1.18), che è detta anche topologia metrica. Sappiamo già che spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (se le metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono l’esistenza di una metrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono metrizzabili).

(3.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più aperti possibile e quella con meno aperti possibile.

  1. Topologia banale: ha solo i due aperti $\mathcal{A}= \{ \emptyset , X \} \subset 2^ X$ (che devono esistere per poter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (3.1)).

  2. Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti $\mathcal{A}= 2^ X$.


Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che è intrinseco per gli spazi metrici.

(3.3) Definizione. Se $X$ è uno spazio topologico, $A\subset X$ è un sottoinsieme e $x\in A$, si dice che $A$ è un intorno di $x$ se contiene un aperto $B$ tale che $x\in B \subset A$.3 Allora $x$ si dice punto interno di $A$.

Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (1.19).

(3.4) Definizione. Siano $X$ e $Y$ spazi topologici. Una funzione $f\from X \to Y$ si dice continua se per ogni aperto $A\subset Y$ la controimmagine $f^{-1}A$ è aperto di $X$.

Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura può essere esteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni dei propri punti.

(3.5) Definizione. Sia $A\subset X$ un sottoinsieme di uno spazio topologico $X$. Un punto $x\in X$ si dice di accumulazione (anche: punto limite) per $A$ in $X$ se per ogni intorno $B$ di $x$ l’intersezione $B \cap A$ contiene almeno un altro punto oltre a $x$. La chiusura $\overline{A}$ di $A$ è definita come l’unione di $A$ con tutti i suoi punti di accumulazione.

(3.6) Sia $X$ uno spazio topologico e $C \subset X$ un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizioni sono equivalenti.

  1. $X\smallsetminus C$ è aperto.

  2. $C$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.


Dim. Basta ripetere la dimostrazione di (2.4) sostituendo ovunque intorni aperti invece che intorni circolari.
QED

(3.7) Definizione. Un sottoinsieme $C\subset X$ di uno spazio topologico si dice chiuso se una delle due proposizioni equivalenti di (3.6) è verificata.

Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (2.9) si può dimostrare che (vedi esercizio 1.26):

(3.8) La chiusura $\overline{A}$ di un sottoinsieme $A\subset X$ è il più piccolo sottoinsieme chiuso di $X$ che contiene $A$ (in altre parole: l’intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$). In particolare, è un chiuso.

(3.9) Definizione. Se $A\subset X$ è un sottoinsieme tale che $\overline{A} = X$, allora si dice che $A$ è denso in $X$.

Footnotes

  1. Cfr: Cap I § 2-3, Sernesi Vol II [1].
  2. Così come uno spazio metrico $X$ è più propriamente una coppia $(X,d)$, anche uno spazio topologico dovrebbe essere indicato come coppia $(X,\tau )$ con $\tau \subset 2^ X$, ma per brevità la topologia non viene espressamente indicata, se non quando necessario.
  3. Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono $x$.