1.1. Proprietà dei sottoinsiemi aperti

Se $A\subset X$ è aperto, allora per ogni $x\in A$ esiste $r=r(x) > 0$ tale che $B_{r(x)} \subset A$, e quindi $A$ è unione di (anche infinite) palle aperte

\[ A = \bigcup _{x\in A} B_{r(x)}(x). \]

Viceversa, si può mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindi vale:

(1.11) Un sottoinsieme $A\subset X$ è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle).

(1.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.

(1.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzano null’altro che proprietà degli intorni circolari in $\RR $. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici.

(1.14) Sia $X$ uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e $X$ sono aperti.

(1.15) Siano $A$ e $B$ due aperti di $X$ spazio metrico. Allora l’intersezione $A\cap B$ è un aperto.

Dim. Sia $x\in A\cap B$. Dato che $A$ e $B$ sono aperti, esistono $r_ A$ e $r_ B > 0$ tali che \[ B_{r_ A}(x)\subset A \mbox{\ e } B_{r_ B}(x)\subset B. \] Sia $r$ il minimo tra $r_ A$ e $r_ B$: $B_ r \subset B_{r_ A}$, $B_ r \subset B_{r_ B}$, e quindi $B_ r \subset A \wedge B_ r \subset B (\iff B_ r \subset A\cap B)$. Quindi $A\cap B$ è intorno di $x$ e la tesi segue dall’arbitrarietà di $x$.
QED

Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell’insieme delle parti $\mathcal{A} \subset 2^ X$ che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di $X$.

(1.16) L’insieme $\mathcal{A}$ di tutti gli aperti (secondo la definizione (1.8) di pagina *) di uno spazio metrico $X$ verifica le seguenti proprietà:

  1. $\emptyset \in \mathcal{A}$, $X \in \mathcal{A}$,

  2. $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}\implies \bigcup _{B\in \mathcal{B}}B \in \mathcal{A}$,

  3. $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ è finito, allora $\bigcap _{B\in \mathcal{B}} B \in \mathcal{A}$.


(1.17) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico $X$:

  1. Ogni elemento $x\in X$ ha almeno un intorno (aperto) $B\ni x$.

  2. L’intersezione di due intorni circolari $B_1\cap B_2$ è un aperto, e quindi per ogni $x\in B_1\cap B_2$ esiste un terzo intorno circolare $B$ di $x$ per cui $x\in B\subset B_1 \cap B_2$.


(1.18) Definizione. La topologia di uno spazio metrico $X$ è la famiglia $\mathcal{A}$ di tutti i sottoinsiemi aperti definita poco sopra. Si dice anche che $\mathcal{A}$ è la topologia di $X$ generata dagli intorni circolari (definiti a partire dalla metrica).

\[ (X,d) \mapsto (X,d,\mathcal{A}) \]


Si possono riassumere tutti i fatti visti sulle funzioni continue nel seguente teorema.

(1.19) Teorema. Una funzione $f\from X \to Y$ (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di $Y$ è un aperto di $X$.

Dim. Sia $V$ un aperto di $Y$. Allora è unione di intorni circolari $B_ j := B_{r_ j}(y_ j)$ \[ V = \bigcup _{j\in J} B_ j \] e dunque la sua controimmagine \[ f^{-1}V = f^{-1} \left( \bigcup _{j\in J} B_ j \right) = \bigcup _{j\in J} f^{-1}B_ j \] è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in $Y$ è un aperto di $X$, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di $Y$ è un aperto di $X$, e quindi $f$ è continua.
QED

La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di $f$ sulle famiglie di aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica.

Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere le famiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che due metriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia.

(1.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme $X$ sono equivalenti se inducono la stessa topologia su $X$.

(1.21) Due metriche $d$ e $d’$ su $X$ sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: per ogni $x\in X$ e per ogni palla $B_ r^ d{(x)}$ (nella metrica $d$) esiste $r’ > 0$ tale che $B_{r'}^{d'}(x) \subset B_ r^ d(x)$ (dove $B_{r'}^{d'}(x)$ è la palla nella metrica $d’$) e, viceversa, per ogni $r’$ e $x$ esiste $r$ tale che $B_ r^ d(x) \subset B_{r'}^{d'}(x)$.

Dim. Supponiamo che le due metriche $d$ e $d’$ siano equivalenti e siano $x$ e $r > 0$ dati. Per (1.9) la palla $B_ r^ d(x)$ è aperta nella topologia indotta da $d$ e quindi anche nella topologia indotta da $d’$: pertanto esiste $r’$ tale che $B_{r'}^{d'}(x) \subset B_ r^ d(x)$. Analogamente se si scambia il ruolo di $d$ e $d’$. Viceversa, supponiamo $A$ aperto secondo la topologia indotta da $d$. Per ogni $x\in A$ esiste, per definizione, $r=r(x) > 0$ tale che \[ B_ r^ d(x) \subset A, \] ed un corrispondente $r’ > 0$ tale che \[ B_{r'}^{d'}(x) \subset B_ r^ d(x). \] Cioè, per ogni $x$ esiste $r’=r’(x) > 0$ tale che \[ B_{r'}^{d'}(x) \subset A, \] e quindi $A$ è aperto nella topologia indotta da $d’$. Analogamente, ogni aperto nella topologia indotta da $d’$ è anche aperto nella topologia indotta da $d$ e quindi le due topologie coincidono.
QED

(1.22) Esempio. Esempi di metriche su $\RR ^2$:

  1. $\displaystyle d(x,y) = \sqrt { (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 } = |x-y|$ (metrica euclidea).

  2. $\displaystyle d(x,y) = \begin{cases} 0 & \mbox{ se $x=y$ } \\ 1 & \mbox{ altrimenti } \\ \end{cases}$ (metrica discreta).

  3. $\displaystyle d(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| $.

  4. $\displaystyle d(x,y) = \max _{i=1,2} |x_ i - y_ i|$.

  5. $\displaystyle d(x,y) = \min _{i=1,2} |x_ i - y_ i|$ (?).

  6. $\displaystyle d(x,y) = (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2$ (?).


(1.23) Esempio. Sia $p\in \NN $ un primo $ \geq 2$. Sappiamo che ogni intero $n\in \ZZ $ ha una decomposizione in fattori primi, per cui esiste unico l’esponente $\alpha $ per cui $n=p^\alpha k$, dove l’intero $k$ non contiene il fattore primo $p$. Si consideri in $\ZZ $ la funzione $|\cdot |_ p$ definita da

\[ |p^\alpha k|_ p =p^{-\alpha } \]

ogni volta che $k$ è primo con $p$, e $|n|_ p = 0$ quando $n=0$. Sia quindi $d\from \ZZ \times \ZZ \to \QQ \subset \RR $ la funzione definita da $d(x,y) = |x-y|_ p$. Si può vedere che è una metrica su $\ZZ $ (perché?).

(1.24) Esempio. Consideriamo la funzione $f\from \RR ^2 \to \RR $, definita da

\[ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {x\lvert y\rvert }{x^2+y^2} & \text { se $(x,y) \neq (0,0)$; } \\ 0 & \text {se $(x,y)=(0,0)$.} \end{cases} \]

Osserviamo che per ogni $x_0\in \RR $ la funzione

\[ f(x_0,-) \from \RR \to \RR \]

è continua, e che per ogni $y_0\in \RR $ la funzione

\[ f(-,y_0) \from \RR \to \RR \]

è continua. Si può dedurre che la funzione $f$ è continua, quindi? Se $f$ fosse continua, dovrebbe essere continua anche la funzione

\[ \varphi (t) = f(t,t) = \dfrac { t \lvert t\rvert }{2t^2} = \dfrac {t}{2\lvert t\rvert }, \]

che continua non è, malgrado le apparenze.