1. Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici

(Cfr.)1

Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici.

(1.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme $X$ munito di una funzione $d\from X\times X \to \RR $ tale che per ogni $x_1$, $x_2$, $x_3\in X$:

  1. $\forall x_1,\forall x_2, d(x_1,x_2) \geq 0$ e $d(x_1,x_2) = 0$ se e solo se $x_1 = x_2$.

  2. Simmetria: $d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1)$.

  3. Disuguaglianza triangolare: $d(x_1,x_3) \leq d(x_1,x_2) + d(x_2,x_3)$.

La funzione $d$ viene chiamata metrica su $X$. Gli elementi di $X$ vengono anche chiamati punti.

(1.2) Esempio. Metrica su $\RR $: $d\from \RR \times \RR \to \RR $, $d(x,y) = |x-y|$, ha le proprietà che per ogni $x,y\in \RR $

  1. $|x-y|\geq 0$ e $|x-y|=0 \iff x=y$.

  2. $|x-y| = |y-x|$.

  3. $|x-z| \leq |x-y| + |y-z|$.


Importante concetto associato al concetto di metrica e di distanza:

(1.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio $r$ e centro in $x_0\in X$ ($X$ spazio metrico):

\[ B_ r(x_0) = \{ x \in X : d(x,x_0) < r \} . \]

(Anche più esplicitamente $B_ r(x_0,X)$)

(1.4) Nota. Una funzione $f\from A \subset \RR \to \RR $ è continua nel punto $x\in A$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che $|x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon $. Cioè, equivalentemente, $f$ è continua in $x\in \RR $ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $y\in B_\delta (x) \implies f(y)\in B_\epsilon (f(x))$, cioè

\[ f \left( B_\delta (x) \right) \subset B_\epsilon (f(x) ). \]

In generale, $f\from A \to \RR $ è continua in $A\subset \RR $ se è continua per ogni $x\in A$, cioè se per ogni $\epsilon > 0$ e per ogni $x\in A$ esiste $\delta $ (dipendente da $\epsilon $ e $x$) tale che $ f \left( B_\delta (x) \right) \subset B_\epsilon (f(x) ) $.

Dal momento che $f(U) \subset V \iff U \subset f^{-1} V$ (esercizio 1.7 a pagina *), la funzione $f$ è continua in $x\in A$ se e solo se per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\delta $ (dipendente da $\epsilon $) tale che $ B_\delta (x) \subset f^{-1} \left( B_\epsilon (f(x)) \right) $.

(1.5) Definizione. Un sottoinsieme2 $U$ di uno spazio metrico $X$ si dice intorno di un punto $x\in U$ se contiene un intorno circolare di $x$, cioè se esiste $\delta > 0$ tale che

\[ B_\delta (x) \subset U \]

Se $U$ è un intorno di $x$, si dice che $x$ è interno ad $U$.

(1.6) Nota. Se $U$ è un intorno di $x$ e $U \subset V$, allora $V$ è un intorno di $x$.

Con questo linguaggio, la definizione di continuità in $x$ diventa: la controimmagine $f^{-1}(B_\epsilon (f(x)))$ di ogni intorno circolare di $f(x)$ è un intorno di $x$. Notiamo anche il fatto importante che una palla è intorno di ogni suo punto (esercizio 1.10 a pagina *).

(1.7) Se $f\from A\subset X \to Y$ è continua in $A$, allora la controimmagine di ogni palla $B_ r(y)$ in $Y$ (intervallo!) è intorno di ogni suo punto.

Dim. Se $x\in f^{-1} B_\epsilon (y)$, cioè $f(x) \in B_{\epsilon }(y)$, allora esiste $r$ abbastanza piccolo per cui $B_ r(f(x)) \subset B_\epsilon (y)$. Dal momento che $f$ è continua in $x$, $f^{-1}( B_ r(f(x)))$ è intorno di $x$. Ma \[ B_ r(f(x)) \subset B_\epsilon (y) \implies f^{-1} \left( B_ r(f(x)) \right) \subset f^{-1} \left( B_\epsilon (y) \right) \] e quindi $f^{-1} \left( B_\epsilon (y) \right)$ è un intorno di $x$.
QED

(1.8) Definizione. Un sottoinsieme $A\subset X$ di uno spazio metrico si dice aperto se è intorno di ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di $A$ ha un intorno circolare tutto contenuto in $A$, o, equivalentemente, ogni punto di $A$ ha un intorno tutto contenuto in $A$).

(1.9) Una palla aperta $B_ r(x)$ è un aperto.

Dim. (Esercizio 1.10 di pagina *)
QED

(1.10) Una funzione $f\from X \to Y$ è continua in $X$ se e soltanto se la controimmagine in $X$ di ogni palla $B_ r(y)$ di $Y$ è un aperto.

Dim. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmagine di ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni palla $B_ r(y)$ è un aperto. Allora, per ogni $x\in X$ e per ogni $\epsilon > 0$ \[ f^{-1} \left( B_\epsilon (f(x)) \right) \] è un aperto, ed in particolare è un intorno di $x$; per definizione di intorno, quindi per ogni $x$ e $\epsilon $ esiste $\delta > 0$ tale che $B_\delta (x) \subset f^{-1} \left( B_\epsilon (f(x)) \right)$, cioè $f$ è continua.
QED

Footnotes

  1. Cfr: Cap I, §1; Sernesi Vol II [1].
  2. $U$ può non essere aperto…