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Argomenti di Geometria e Topologia (2016-1S)

Testo / Monografia

Ferrario, Piccinini: Simplicial structures in topology. CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi+243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4

Pagina Springer

E-book scaricabile dal dominio unimib.it.

Calendario

Calendario appelli (di verbalizzazione esame, studio docente):

INSEGNAMENTO: ARGOMENTI DI GEOMETRIA E TOPOLOGIA                     
CODICE: F4001Q083

2016-02-16 10:00
2016-03-15 10:00
2016-04-12 10:00
2016-06-21 10:00
2016-09-13 10:00

+ su appuntamento 

Syllabus (preliminary)

Fundamental concepts: topological spaces, connectedness, compactness, function spaces, general ideas on Categories, push-out diagrams. Euclidean and abstract simplicial complexes. Introduction to homological algebra. Homology with coefficients. Category of polyhedra. Cohomology of polyhedra. Cohomology ring, cap product. Triangulable manifolds. Surfaces and classification. Poincaré Duality. Fundamental group of polyhedra. Fundamental group and homology. Homotopy groups. Obstruction theory.

Lezioni

Lunedì    0830 - 1030, aula 2107
Mercoledì 1030 - 1230, aula 2109
Venerdì   0830 - 1030, aula 2107 

$8 \text{CFU} \times 7 \dfrac{\text{h}}{\text{CFU}} = 56 \text{h} = 28 \times 2 \text{h}$

OCT
 05 *01 Introduzione. 
        Topologia compact-open e spazi di funzioni. 
 07 *02 Funzione di valutazione per localmente compatti Hausdorff. 
        Cenni di categorie e omotopia. 
 09 *03 Gruppi di omotopia. 
        Esempi di categorie. 
        Epi/mono/isomorfismi. 
        Categoria Δ ($\Delta$).
 12 *04 Simplex category. 
        Funtori (co e controvarianti). 
        Esempi. 
        Simplessi e complessi simpliciali euclidei. 
 14 *05 Complessi simpliciali astratti.
 16 *06 Realizzazione geometrica di complessi simpliciali astratti. 
        Continuità.
 19 *07 Delta-insiemi e realizzazione geometrica. 
 21 *08 Triangolazione del toro di Császár. 
        Immersione di complessi simpliciali. 
        https://en.wikipedia.org/wiki/Cs%C3%A1sz%C3%A1r_polyhedron
 23 *09 Delta-insiemi e insiemi simpliciali. Realizzazione geometrica. 
 26 *10 Esempio di insieme simpliciale. Prodotto di insiemi simpliciali. 
 28 *11 Realizzazione geometria di prodotti. Prodotto di complessi simpliciali astratti. 
 30 *12 Omologia di un complesso simpliciale. 

NOV
 02 *13 Funtore omologia. Complessi di catene. Successioni esatte. 0ABC0.
 04 *14 Successione esatta lunga della coppia. H0 di un grafo.
 06 *15 H1 di un grafo. Alberi. Caratteristica di Eulero-Poincaré. 
 09 *16 Rango e prodotto tensore con Q. Caratteristica di E.P. Successione di complessi di catene di Mayer-Vietoris. 
 11 *17 Successione lunga di Mayer-Vietoris e applicazioni. Join e cono. Omologia di un cono. 
 13 *18 Omotopia di complessi di catene. 
 16 *19 Omotopia di catene tra i0 e i1. Omotopia simpliciale. Omologia delle sfere. 
 18 *20 Suddivisione baricentrica. Omeomorfismo.
 20 *21 Metrica della suddivisione baricentrica. Suddivisione r-esima. Approssimazione simpliciale. 
 23 *22 Teorema di Approssimazione Simpliciale. 
 25 *23 Applicazioni: teorema di punto fisso di Brouwer. Funtorialità in Top.
 27 *24 Funtore tensore e hom ed esattezza: esercitazioni. 
 30 *25 Coomologia. Tor e Ext: Teorema dei Coefficienti universali in omologia e coomologia. 

DIC
 02 *26 Ext e Tor. Operazioni in coomologia: cup e cap.  
 04 *27 Somma connessa, poligoni di identificazione e (co)omologia. 
 09 *28 Teorema di classificazione delle superfici chiuse. Varietà triangolabili.
 14 *29 (?) Dim. Teorema di classificazione. Dualità di Poincaré. Gruppo fondamentale. 
 16 *30 (?)
 18 *31 (?) 
 21 *32 (?)