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Argomenti di Geometria e Topologia (2015-1S)

Testo / Monografia

Ferrario, Piccinini: Simplicial structures in topology. CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi+243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4

Pagina Springer

E-book scaricabile dal dominio unimib.it.

Calendario

Calendario appelli (di verbalizzazione esame, studio docente):

2015-02-17 1100
(TBA)
+ su appuntamento 

Syllabus (preliminary)

Fundamental concepts: topological spaces, connectedness, compactness, function spaces, general ideas on Categories, push-out diagrams. Euclidean and abstract simplicial complexes. Introduction to homological algebra. Homology with coefficients. Category of polyhedra. Cohomology of polyhedra. Cohomology ring, cap product. Triangulable manifolds. Surfaces and classification. Poincaré Duality. Fundamental group of polyhedra. Fundamental group and homology. Homotopy groups. Obstruction theory.

Lezioni

$8 \text{CFU} \times 7 \dfrac{\text{h}}{\text{CFU}} = 56 \text{h} = 28 \times 2 \text{h}$

Osservazione:

$(\forall x) \qquad x \otimes 0 = x \otimes (0+0) = x \otimes 0 + x \otimes 0 \implies x \otimes 0 = 0 = 0\otimes 0$

Errata corrige:

$ \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_n \neq 0 $ ! ! ! È $\operatorname{Tor}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_n)$ che è zero ! ! !

SEP:
 29 *1 Intro; Function spaces; Compact-open topology; Loc. cpt. spaces and adjoints. 
OCT:
 01  --Lezione sospesa, rimandata in data da destinarsi (ammissioni dottorato)--
 06 *2 Evaluation map, loc. cpt. spaces and function spaces. Categories. 
 08 *3 HTop, omotopie puntate. Funtori, esempi. Diagrammi e limiti.
 13 *4 Coprodotti, somme dirette. Colimiti e limiti diretti. Push-out di spazi topologici. 
 15 *5 Complessi simpliciali euclidei e astratti. Insiemi simpliciali.
 20 *6 Funtore di Realizzazione geometrica dalla categoria dei complessi simpliciali astratti e funzioni simpliciali.
 22 *7 Continuità della realizzazione geometrica di una mappa. Prodotto di complessi simpliciali.
 27 *8 Prodotto di realizzazioni geometriche. Esempi di complessi simpliciali, tori e sfere. Caratteristica di Eulero-Poincaré di un complesso simpliciale astratto. 
 29 *9 Funtore di omologia simpliciale.

NOV:
 03 *10 Omologia: esempi di calcolo, gruppi di omologia di grafi. 
 05 *11 Caratteristica di un grafo, grafi connessi, alberi massimali.
 10 *12 Omologia di grafi, complesso di catene aumentato; funtorialità dell'omomorfismo indotto in omologia. 
 12 *13 Introduzione all'algebra omologica. Complessi di catene e morfismi. Teorema della successione esatta lunga e omomorfismo di connessione. 
 17 *14 Naturalità di lambda; lemma dei cinque; omotopia di complessi di catene.
 19 *15 i0 e i1 sono omotopi come morfismi di complessi di catene: complessi aciclici, induzione e dimostrazione costruttiva. Legame con l'omotopia in Top.
 24 *16 Dimostrazione costruttiva dell'omotopia tra i0 e i1. Successione di Mayer-Vietoris. 
 26 *17 Successione esatta lunga della coppia. Teorema dei coefficienti universali. Prodotto tensoriale. 

DIC:
 01 *18 Prodotto di torsione e Teorema CU. Realizzazione geometrica e suddivisione baricentrica. 
 03 *19 Suddivisione baricentrica di complessi di catene. Teorema di Approssimazione Simpliciale. 
 08 * VAC.
 10 *20 Dimostrazione del Teorema di Approssimazione Simpliciale. Esempi. 
 15 *21 Corollari del TAS. Teorema di Lefschetz. Teorema di Brouwer. Schema di dimostrazione (Hopf).
 17 *22 Calcolo di omologia delle sfere. Grado. Sfere di dimensioni pari e applicazioni del numero di Lefschetz. 

GEN:
 07 *23 Funtore Hom e gruppi di coomologia. Coomologia di S^1.
 12 *24 Successione esatta lunga della coppia in coomologia. Teorema dei Coeff.Univ. in coomologia. Prodotto cup e anello di coomologia. 
 14 *25 Anticommutatività. Varietà topologiche: esempi. 
 19 *26 Superfici chiuse. Somma connessa e poligoni identificativi. Omologia.
 21 *27 Omologia di somme connesse di P2 e di tori: Teorema di Classificazioni di superfici chiuse. 
 26 *28 Dimostrazione del teorema di classificazione. Congettura di Poincaré. 
 28 [*29]