Didattica 2010/11

Università degli Studi di Padova

Analisi Stocastica

Laurea Magistrale in Matematica

Secondo trimestre 2010/11

In collaborazione con David Barbato

Foto di gruppo: uno e due.

[Se qualche persona ritratta nelle fotografie non gradisce che queste siano disponibili su questa pagina web, me lo segnali (per esempio scrivendomi un'email) e provvedo a rimuovere i collegamenti.]

Terzo appello (4 luglio 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Secondo appello (30 marzo 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Primo appello (22 marzo 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Orari delle lezioni

  • Mercoledì 9:30-11:15 e 13:15-14:00, aula 2AB/45
  • Giovedì 9:30-11:15, aula 2AB/45
  • Venerdì 9:30-11:15, aula 2AB/45

Prima lezione: mercoledì 19 gennaio 2011.

Ultima lezione: mercoledì 16 marzo 2011.

Fogli di esercizi (PDF)

Dispense (PDF)

[Versione 3.1 (15 aprile 2011): corretti alcuni refusi. Non è necessario ristampare le dispense.]

[La costruzione dell'integrale stocastico presentata nel capitolo 5 differisce leggermente da quella svolta a lezione.]

Programma per la prova orale

Programma per la prova orale

Registro delle lezioni

  • 16 Mar (3 ore). Esercizi sul moto Browniano - e sull'integrale stocastico (foglio 8). - Moto browniano e laplaciano. Unicità della soluzione per il problema di Dirichlet.
  • 11 Mar (2 ore). Formula di integrazione per parti stocastica. Teorema di Girsanov. - Equazioni differenziali stocastiche: definizione di soluzione e soluzione forte; definizione di unicità in legge e unicità per traiettorie. Teorema di esistenza ed unicità. Lemma di Gromwall.
  • 9 Mar (2 ore). Esercizi sull'integrale stocastico (foglio 7, es. 1, 2, 3 [Processo di Ornstein-Uhlenbeck], 4).
  • 4 Mar (2 ore). Variazione quadratica di un processo di Ito. Formula di Ito generalizzata. Moto browniano geometrico. Supermartingala esponenziale. - Covariazione quadratica. Fromula di Ito Multidimensionale. M1loc[0,T] e M1loc. Processi di Ito.
  • 3 Mar (2 ore). Formula di Ito per il moto browniano in dimensione 1 (con dimostrazione). - Processi M1loc[0,T] e M 1loc. Processi di Ito.
  • 2 Mar (3 ore). Esercizi sull'integrale stocastico (foglio 6, es. 2, es. 1ad). Proprietà dell'integrale stocastico in M2[0,T]: tempi d'arresto, località (enunciati). - L'integrale stocastico in M2loc[0,T]. - Proprietà dell'integrale stocastico in M2loc[0,T] (enunciati). Martingale locali. L'integrale stocastico in M2loc[0,T] è una martingala locale.
  • 25 Feb (2 ore). Prime proprietà dell'integrale stocastico. - L'integrale stocastico di processi in M2[0,T] è è una martingala di quadrato integrabile.
  • 24 Feb (2 ore). Densità dei processi semplici in M2[0,T]. - Isometria dell'integrale stocastico di processi semplici. Integrale stocastico in M2[0,T].
  • 23 Feb (3 ore). Esercizi su martingale e moto browniano (foglio 5, es. 1,3). - Estensione di isometrie densamente definite. Introduzione all'integrale stocastico. - Spazio di processi M2[0,T]. Processi semplici. (M2[0,T] è uno spazio di Hilbert.)
  • 18 Feb (2 ore). Disuguaglianza massimale nel caso di tempo continuo. Variazione quadratica di una martingala continua, covarianza quadratica di martingale a tempi continui.
  • 17 Feb (2 ore). Martingale a tempi discreti: processi arrestati; teorema di arresto; Disuguaglianza Massimale. Martingale a tempi continui: processi arrestati e teorema di arresto con applicazione al moto browniano.
  • 16 Feb (3 ore). Esercizi sul moto browniano (foglio 4, es. 1,3). - Definizione di Speranza Condizionale. Principali proprietà della Speranza condizionale. Alcune applicazioni della speranza condizionale al moto browniano. Martingale, submartingale e supermartingale, proprietà elementari delle Martingale. Alcune Martingale speciali: Bt, |Bt|2 -t, ...
  • 11 Feb (2 ore). Definizione di tempo di arresto e principali proprietà. Nozione di tempo di ingresso. Approssimazione dall'alto di tempi di arresto continui con tempi di arresto discreti. Proprietà di Markov forte del moto browniano. Principio di riflessione.
  • 10 Feb (2 ore). Moto browniano rispetto ad una filtrazione. Moto browniano rispetto alla filatrazione naturale. Proprietà di Markov semplice del moto browniano. Legge 0-1 di Blumenthal.
  • 9 Feb (3 ore). Esercizi sul moto browniano (foglio 3, es. 1,2). - Nozione di modificazione e indistinguibilità di processi. Continuità e misurabilità di processi. Esercizi sul moto browniano (foglio 3, cenni sull'es. 3). - Filtrazioni e loro proprietà, ampliamento standard. Processi adattati e progressivamente misurabili.
  • 4 Feb (2 hours). Reformulation of Brownian motion using its natural filtration (second part). Brownian motion in Rd and its properties. - The Wiener measure on C([0,∞),Rd). Donsker's invariance principle (no proof).
  • 3 Feb (2 hours). Infinte variation of the trajectories of Brownian motion. Law of the iterated logarithm (no proof) and its corollaries. - σ-algebra associated to a process; independence of processes. Natural filtration of a process. Reformulation of Brownian motion using its natural filtration (first part).
  • 2 Feb (3 hours). Esercises (n. 1 and 2, sheet 2). - Esercises (n. 3, sheet 2). Continuity of t B1/t in t = 0. Law of large numbers for Brownian motion. - Quadratic variation of Brownian motion. Finite variation functions. Measurability of functionals of Browinan motion: the importance of the continuity of paths.
  • 28 Jan (2 hours). Paul Lévy's construction of Brownian motion.
  • 27 Jan (2 hours). Stochastic processes. Gaussian processes and their properties. Definition of Brownian motion. - Density of the finite-dimensional laws of Brownian motion (no proof). Brownian motion as a Gaussian process. Transformations of Brownian motion (proof left as an exercise).
  • 26 Jan (3 hours). Exercises (n. 1abc and 3ab, sheet 1). - Exercises (n. 3c and 2, sheet 1). Existence of the normal law on Rd with given mean and covariance matrix. - Properties of normal laws on Rd. Stability of the normal laws under limits. Exercises (n. 4a, sheet 1). Proof that convergence in probability implies convergence in law.
  • 21 Jan (2 hours). Weak convergence of laws. Convergence of random variables (in Lp, a.s., in probability, in law) and proof of their relations (except "convergence in probability implies convergence in law"). - Reminders: characteristic functions, Normal laws on R. Normal laws on Rd and their properties (no proofs).
  • 20 Jan (3 hours). Reminders: covariance matrix, complete probability spaces, convergence theorems, inequalities. - Reminders: law of a random variable, change of variables formula, absolute continuitiy, absolutely continuous laws on Rd, independence, Fubini's theorem. - Reminders: Borel-Cantelli lemma. Exercises on Fubini's theorem and Borel-Cantelli Lemma.
  • 19 Jan (2 hours). (Heuristic) introduction to the course. - Reminders: measurable spaces, σ-algebras, measurable functions, probability, random variables, expected value, Lp spaces, covariance.

Libri consigliati

  • P. Baldi, Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Editrice, Bologna (2000)
  • F. Comets, T. Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusion, Dunod, Paris (2006)

Prove d'esame degli anni precedenti

Date degli esami

Primo appello
Prova scritta: martedì 22 marzo 2011, ore 9.30, aula 1AD/100.
Prova orale: lunedì 28 marzo 2011, ore 9.30, aula 2AB/45, e martedì 29 marzo 2011, ore 9.30, aula 2AB/45.

Secondo appello
Prova scritta: mercoledì 30 marzo 2011, ore 9.30 ore 14:30, aula 1AD/100.
Prova orale: mercoledì 6 aprile 2011, ore 9.30, aula 2AB/45, e giovedì 7 aprile 2011, ore 9.30, aula 2AB/45.

Appello di recupero estivo
Prova scritta: lunedì 4 luglio 2011 ore 9.30 (aula 2AB/40)

A photo of me - by Noemi Kurt